2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第一章 二元一次方程组（压轴题专练）（解析版）

第一章二元一次方程组（压轴题专练）一、选择题1．（2023下·福建福州·七年级统考期末）已知中每一个数值只能取2、0、中的一个，且满足，，则中0的个数是（

）A．20 B．19 C．18 D．17【答案】C【分析】先设有个取，个取2，根据，可得出关于，的二元一次方程组，求出，的值即可．【详解】解：设有个取，个取2，有，解得，所以0的个数是（个）．故选：C2．（2022下·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）已知正整数a，b，c，d满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（

）①，，，是该四元方程的一组解；②连续的四个正整数一定是该四元方程的解；③若，则该四元方程有21组解；④若，则该四元方程有504组解．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】将，，，代入到四元方程中看等式两边是否相等即可判断①；设，然后代入四元方程即可判断②；先证明，同理得到，即可推出得到，据此即可判断③；根据③所求可以推出，由此即可判断④．【详解】解：当，，，时，方程左边，方程右边，∴方程左右两边相等，∴，，，是四元方程的一组解，故①正确；设，∴，，∴当，四元方程左右两边相等，∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解，故②正确；∵，，且c、d均为正整数，∴，∴，同理，∴，又∵，∴，∴，∴时，或或或或或，同理时，或或或或，时，或或或，，时，，∴当，该四元方程一共有组解，故③正确；由③得，∵，∴，∴，∵a，c都是正整数，且，∴当时，，当时，，，当时，，∴满足题意的a、b、c、d的值有504组，∴若，则该四元方程有504组解，故④正确；故选D．3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（）A．6种 B．5种 C．4种 D．30种【答案】B【分析】设甲组有名干部，乙组有名干部，则丙组有名干部，根据将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，列二元一次方程，求解即可．【详解】设甲组有名干部，乙组有名干部，则丙组有名干部，由题意得，化简得，∴，∴当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，综上，有5种方案，故选：B．4．（2023下·福建漳州·七年级统考期中）某学校为了增强学生体质，决定让各班去购买跳绳和毽子作为活动器械．七年1班生活委员小亮去购买了跳绳和毽子共5件，已知两种活动器械的单价均为正整数且跳绳的单价比毽子的单价高．在付款时，小亮问是不是30元，但收银员却说一共45元，小亮仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了，则小亮实际购买情况是（

）A．1根跳绳，4个毽子 B．3根跳绳，2个毽子C．2根跳绳，3个毽子 D．4根跳绳，1个毽子【答案】D【分析】设实际小亮去购买跳绳根，购买毽子件，则，得且是正整数，设跳绳单价为元，毽子单价为元，且，得，且是正整数，依题意得由得即，且是正整数，由得，即，，建立方程组求解即可．【详解】解：设实际小亮去购买跳绳根，购买毽子件，则，且是正整数，设跳绳单价为元，毽子单价为元，且，，且是正整数，依题意得：，由得：，即，即，，且是正整数，由得：，，，，解得：，故选：D．5．（2023下·重庆巴南·七年级统考期末）对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根据新定义运算可得，可得，可得，再根据运算法则逐一分析各说法即可．【详解】解：∵，，，∴，解得：，∴，∴，故①符合题意；∵，∴，整理得：，∴其正整数解为：，，，，故②符合题意；∵，∴，∴，上式对任意实数x，y均成立，∴，∴，故③符合题意；故选A6．（2023上·江苏南通·八年级校联考期末）已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（

）A．16 B．22 C．34 D．36【答案】D【分析】由得.由于，据此列出关于m、n的方程组，求出每一组m、n的值，再求出相应的的值，即可找到的最大值.【详解】由得∵m，n均为正整数或或或或或或

或解得或或或或或或或∴或22或18或16∴的最大值是36故选：D7．（2022下·浙江舟山·七年级统考期末）若方程组的解是，则方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将变形为，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可．【详解】解：将变形为,设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：，因为方程组的解是，所以，解得：，所以方程组的解是，故选：A．8．（2022下·浙江金华·七年级校联考阶段练习）若方程组的解是，则方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将方程组变形为，进而可得到，求解即可．【详解】解：方程组变形为，∴由题意知，，解得，故选：C．9．（2022下·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期中）用如图①中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有m张长方形纸板和n张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值有可能是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【分析】设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒y个，由所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再由x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．【详解】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个，根据题意得：，整理得：m+n＝5（x+y），∵x、y都是正整数，∴m+n是5的倍数，∵2020、2021、2022、2023四个数中只有2020是5的倍数，∴m+n的值可能是2020．故选：A．10．（2019下·浙江湖州·七年级校考期中）现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为()A． B． C． D．【答案】B【分析】观察图③可知3个小长方形的宽与1个小长方形的长的和等于大长方形的宽，小长方形的4个长等于小长方形的3个长与3个宽的和，可列出关于a，b的方程组，解方程组得出a，b的值；利用a，b的值分别求得阴影部分面积与整个图形的面积，即可求得影部分面积与整个图形的面积之比．【详解】解：根据题意、结合图形可得：，解得：，∴阴影部分面积，整个图形的面积，∴阴影部分面积与整个图形的面积之比，故选B．11．（2020下·七年级统考课时练习），其中，，，，是常数，且，则，，，，的大小顺序是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】本方程组涉及5个未知数，，，，，如果直接比较大小关系很难，那么考虑方程①②，②③，③④，④⑤，⑤①均含有两个相同的未知数，通过可得，，，，的大小关系．【详解】方程组中的方程按顺序两两分别相减得，，，．∵∴，，，，于是有．故选C．二、填空题12．（2023下·江苏南通·七年级统考期中）若方程组的解是，则方程组的解是．【答案】【分析】由方程组的解是得，两式相加得，对两式相加变形得即，对方程进行比较即可求解．【详解】解：的解是，，由得：，，得：，则，即，，，故答案为：．13．（2023下·湖北·七年级统考期末）已知关于x，y的方程组的解为，则关于m、n的方程组的解为；【答案】/【分析】由题意可知，将代入计算即可．【详解】解：根据题意可知，解得，∴关于m，n的方程组的解为故答案为：．14．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）为庆祝五一劳动节，某电商推出适合不同人群的甲，乙两种袋装混合坚果．其中，甲种坚果每袋装有4千克坚果，1千克坚果，1千克坚果；乙种坚果每袋装有1千克坚果，2千克坚果，2千克坚果．甲，乙两种袋装坚果每袋成本价分别为袋中的，，三种坚果的成本价之和．已知坚果每千克成本价为5元，甲种坚果每袋售价为59.8元，利润率为30%，乙种坚果的利润率为20%．若这两种袋装坚果的销售利润率达到24%，则该电商销售甲，乙两种袋装坚果的数量之比是．【答案】/【分析】首先求出甲种坚果中每袋成本价，再求出1千克坚果的成本价1千克坚果的成本价，进而得出乙种坚果每袋售价，然后设该电商销售甲种袋装坚果袋，乙种袋装坚果袋，再根据题意，列出方程求出比例关系即可．【详解】解：∵甲种坚果每袋售价为元，利润率为，∴甲种坚果中每袋成本价为元，∵甲种坚果每袋装有4千克坚果，1千克坚果，1千克坚果，∴1千克坚果的成本价1千克坚果的成本价（元），∵乙种坚果每袋装有1千克坚果，2千克坚果，2千克坚果，∴乙种坚果每袋成本价为（元），∴乙种坚果每袋售价为（元），设该电商销售甲种袋装坚果袋，乙种袋装坚果袋，根据题意，可得：，整理，可得：，∴，∴该电商销售甲，乙两种袋装坚果的数量之比是．故答案为：15．（2023上·重庆九龙坡·九年级校考阶段练习）如果一个四位自然数满足，那么称这个四位数为“弦歌六秩数”．例如：四位数2023，不是“弦歌六秩数”；又如：四位数是“弦歌六秩数”．若四位数是“弦歌六秩数”，则与的关系为；若“弦歌六秩数”满足它的前两位数字组成的两位数与它的后两位数字组成的两位数之差能被11整除，且满足它的前三位数字组成的三位数与它的个位数字之和能被10整除，则满足条件的“弦歌六秩数”的最小值为．【答案】【分析】根据“弦歌六秩数”的定义可得，则；根据“弦歌六秩数”的定义可得，由推出一定能被10整除，再根据c、d的取值范围确定出，由一定能被11整除，推出一定能被11整除，进而得到或，再证明；要保证四位数最小，则a要最小，只需要根据题意求出当时，满足题意的四位数即可．【详解】解：∵四位数是“弦歌六秩数”，∴，∴；∵四位数是“弦歌六秩数”，∴，∴，∵“弦歌六秩数”满足它的前两位数字组成的两位数与它的后两位数字组成的两位数之差能被11整除，且满足它的前三位数字组成的三位数与它的个位数字之和能被10整除，∴（k为整数），（m为整数），∴（m为整数），∴一定能被10整除，∵，∴，当，即时，则，∵不能被11整除，∴不符合题意；∴，即，∴，∵一定能被11整除，∴一定能被11整除，∵，∴，∴或，∵，∴，∴，∵要保证四位数最小，∴a要最小，∴当时，则或，∴或，∴或，当时，则，此时，∴此时满足题意的四位数为；当，∴，∴b为奇数，∴当时，，则，∴四位数为，此时不满足，不符合题意；同理，当时，不满足，不符合题意；当时，，则，不符合题意；∴在保证a最小的情况下，只有数字符合题意，∴满足条件的“弦歌六秩数”的最小值为；故答案为：；．16．（2023上·重庆·九年级重庆一中校考期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且，满足，那么称这个四位数为“中和数”，例如：四位数5138，∵，∴5138是“中和数”；又如四位数7162，∵，∴7162不是“中和数”．已知一个四位自然数（其中），若M是一个“中和数”，且M能被14整除，将M的千位数字与百位数字的和记为，个位数字与十位数字的差记为，则满足条件的的最小值为．【答案】【分析】本题考查的是数的整除，乘法分配律的灵活应用，二元一次方程的正整数解问题，由，可得能被14整除，再分类讨论即可．清晰的分类讨论是解本题的关键．【详解】解：∵（其中），∴，∵M是一个“中和数”，则，∴，∵M能被14整除，∴能被14整除，∵，，且，为整数，∴，∴或或，当时，，此时，∴，∴，，∴，当时，，，，，此时，不符合题意，舍去，或，或，∴或，∴或，当时，，此时，不符合题意舍去；∴最小值，故答案为：17．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数是否是大吉数，可以用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则．若均为“大吉数”，且，（，且、、均为整数），则的最大值为．【答案】91819【分析】本题考查新定义的运算，一次方程及整除问题，根据新定义，列出一次方程，求出未知数的值，即可．解题的关键是理解新定义，根据新定义列出方程．本题的难度较大，属于填空题中的压轴题．【详解】解：∵整数（其中，且为整数）是“大吉数”，∴能被13整除；∵，∴能被13整除，∴，∴，∴；∵，是“大吉数”，∴，是“大吉数”，∴能被13整除，∴能被13整除，∵，∴，∴，∴，∴，∵是“大吉数”，∴，是“大吉数”，∴，能被13整除，∴能被13整除，∵，∴，∴当时，，此时，当时，不存在满足条件；当时，不存在满足条件；当时，，此时，综上：或，∴或；∴或；∴的最大值为819．故答案为：．18．（2023上·重庆江北·八年级重庆市两江育才中学校校考期中）如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“奇异数”，如：三位数，∵，∴是“奇异数”，把一个奇异数m的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把m的百位数字与个位数字之差的2倍记为，则的值为；若三位数A是“奇异数”，且是完全平方数，且百位数字小于个位数字，请求出所有符合条件的A的最大值为．【答案】【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，二元一次方程；根据题意求出和，然后相加即可；设的百位数字是，十位数字是，个位数字是，表示出和，求出，根据是完全平方数，得出，再根据题意求出，可能的取值，即可确定所有符合条件的A的值，问题得解．【详解】解：由题意得：，，∴；设的百位数字是，十位数字是，个位数字是，由题意可得：，，，，、为正整数，，是完全平方数，，，，，，，又，，符合条件的为或或或，所有符合条件的的最大值为，故答案为：；．三、解答题19．（2023下·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）已知关于，的方程组（是常数）．(1)当时，则方程组可化为．①请直接写出方程的所有非负整数解．②若该方程组的解也满足方程，求的值．(2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值．【答案】(1)①，②(2)或0【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案；（2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可．【详解】（1）解：①∵，为非负整数，∴方程的所有非负整数解为，；②∵根据题意可得，解得，将代入中，解得；（2）当时，原方程组可化为，由，可得，整理可得，∵方程组由整数解，且为整数，∴或，当时，解得，此时方程组的解为；当时，解得，此时方程组的解为（舍去）；当时，解得，此时方程组的解为；当时，解得，此时方程组的解为（舍去）．综上所述，整数的值为或0．20．（2023下·湖南长沙·七年级统考期末）阅读材料并回答下列问题：当m，n都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”．例如：点，令，得，，所以不是“郡麓点”；点，令，得，所以是“郡麓点”．(1)请判断点点，是否为“郡麓点”：______；(2)若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值；(3)若以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数a，b的值．【答案】(1)不是“郡麓点”，是“郡麓点”；(2)10(3)或或或．．【分析】（1）根据“郡麓点”的定义分别判断即可；（2）先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点”的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案．（3）先关于x，y的方程组的解，直接利用“郡麓点”的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可．【详解】（1）解：点，令，得，，不是“郡麓点”，点，令，得，，是“郡麓点”；故答案为：B．（2）解：方程组的解为，点，是“郡麓点”，，，，，解得的值为10．（3）解：方程组的解为，点是“郡麓点”，，，，，解得，a，b为正整数，或或或．21．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别、，且满足，O为原点；在A、B两点处各放一个档板，M、N两个小球同时从数轴上的C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴的负方向运动，N以每秒4个单位的速度向数轴的正方向运动，小球碰到档板后立即向反方向运动且速度不变，设小球的运动时间为秒钟（）

(1)填空：线段AB的长为．(2)若M小球第一次碰到A档板时，N小球刚好也是第一次碰到B档板，试确定点C的位置．(3)当时，试判断的值是否随时间的变化而变化？若它的值不变，请求出该值；若它的值会变，请通过计算说明理由．【答案】(1)(2)点C在原点位置(3)不变，【分析】（1）根据绝对值和偶次幂的非负性，列方程组求解即可；（2）根据题意列关于t的方程，解方程进而即可求解；（3）表示出当时，的值就可得的关系式，即可求解；【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴．故答案为：．（2）根据题意得，解得：，，∴点C在原点位置．（3）当时，，∴，∴的值不会随时间的变化而变化．∴．22．（2023下·北京海淀·七年级清华附中校考期中）在平面直角坐标系中，对于与原点不重合的两个点和，关于，的方程称为点的“照耀方程”．若是方程的解，则称点“照耀”了点例如，点的“照耀方程”是，且是该方程的解，则点“照耀”了点．(1)下列点中被点“照耀”的点为____________．，，(2)若点同时被点和点“照耀”，请求出，(3)若个不同的点，，…，，每个点都“照耀”了其后所有的点，如“照耀”了，，…，，“照耀”了，，…，，……“照耀”了，请写出的最大值，并说明理由．【答案】(1)(2)，(3)的最大值为3；理由见解析【分析】（1）根据题目中给出的定义进行解答即可；（2）根据题意列出方程组，求解即可；（3）根据二元一次方程组只有一个解解答即可．【详解】（1）解：点的照耀方程为：，把点代入得：，∴点不是被点“照耀”的点；把点代入得：，∴点不是被点“照耀”的点；把点代入得：，∴点是被点“照耀”的点；故答案为：．（2）解：点的照耀方程为：，点的照耀方程为：，解方程组得：，∴点C为，即，．（3）解：的最大值为3；理由如下：设点，则关于点的照耀方程为，设点，则关于点的照耀方程为，设点是被和的“照耀”的点，∴是方程组，∵方程组为关于x、y的二元一次方程组，又∵二元一次方程组只有一个解，∴被和“照耀”的点只有一个，∴不可能再写出第4个点，∴的最大值为3．23．（2023下·重庆铜梁·七年级铜梁二中校考期中）阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为．(1)学以致用运用上述方法解下列方程组：．(2)拓展提升已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是___________．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即即可求解；（2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为则有，求解即可．【详解】（1）解：令，，原方程组化为，解得，，解得：，∴原方程组的解为；（2）在中，令，，则可化为，且解为，则有，，故答案为：．24．（2022下·福建泉州·七年级校考阶段练习）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为：．(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解；（2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；（3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解．【详解】（1）设，，则原方程组可化为，∵的解为，∴，解得，故答案为：；（2）设，，则原方程组可化为，解得，即有，解得，即：方程组的解为；（3）设，，则原方程组可化为，化简，得，∵关于x，y的二元一次方程组的解为，∴，即有，解得：，故方程组的解为：．25．（2022下·重庆九龙坡·七年级统考期末）阅读材料：已知关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解．小明参考阅读材料，解决该问题如下：解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）．因为，解得因为t为整数，所以t=0或-1．所以该方程的正整数解为和．通过你所知晓的知识，请解决以下问题：(1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则______；(2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；(3)若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组有几组正整数解？并写出其解．【答案】(1)-1(2)，，．(3)该方程组有3组正整数解，分别为：，，．【分析】（1）把x=2代入方程3x-5y=11得，求得y的值，即可求得θ的值；（2）参考小明的解题方法求解即可；（3）先根据（2）得到关于a、b的二元一次方程，再结合a、b均为正整数确定a、b的值，进而得到方程组的所有解．【详解】（1）解：把x=2代入方程3x-5y=11得，6-5y=11，解得y=-1，∵方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则θ=-1，故答案为-1；（2）解：方程2x+3y=24一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）．因为，解得-1＜t＜3．因为t为整数，所以t=0，1，2．所以方程2x+3y=24的全部正整数解为：，，．（3）解：由（2）得：9a+2b=24或6a+4b=24或3a+6b=24∵a、b均为正整数∴∴该方程组有3组正整数解，分别为：，，．26．（2022下·江苏扬州·七年级统考期末）阅读感悟