2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第五章 轴对称与旋转（压轴题专练）（解析版）

第五章轴对称与旋转（压轴题专练）一、选择题1．（2024·山东济宁·一模）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为（）

A． B．C． D．【答案】C【分析】此题考查了图形旋转的坐标的规律计算，分别求出每次旋转后点的对应点的坐标，发现点A的坐标变化规律即可求解，熟练掌握正三角形边角性质，正确探究发现点坐标的变化规律并运用规律解决问题是解题的关键．【详解】由题意可得：第一次旋转后，，点，第二次旋转后，，点，第三次旋转后，，点，第四次旋转后，，点，第五次旋转后，，点，第六次旋转后，，点，第七次旋转后，，点，，第七次旋转后，，，点，故选：．2．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，为折痕，若，则边长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，由折叠可得，，进而由得到，根据三角形面积即可得到，进而求解，由折叠的性质得到是解题的关键．【详解】解：由折叠可得，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，解得，∴，故选：．3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（

）．

A． B． C． D．2【答案】A【分析】由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则可得，则，，求出，即可求解．【详解】解：由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则，

∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：A．4．（22-23八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，长方形的两边分别在x轴，y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为……依此类推，经过2022次翻滚后点A对应点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】求得前几个点的坐标，找出规律，根据规律求解即可．【详解】解：如图所示：

点，进过一次翻滚后，再经过一次翻滚后，，再经过一次翻滚后，再经过一次翻滚后可得：经过4次翻滚后点对应点一循环，∵，矩形的周长为∴经过2022次翻滚后点A对应点的坐标为，即故选：B5．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（

）

A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】由勾股定理可得，作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，据此求解即可．【详解】解：在中，，∴作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，

∵，∴当三点共线时，最小，∵垂线段最短，∴时，最小，连接，∵关于对称，∴，∴，∵，∴，即：，∴．故选D．6．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）如图，点B在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束后，点B所在位置的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先判断三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，可得旋转3次为一个循环．再分别求解第次，第次，第次旋转后的坐标，由规律得到第次旋转后与第1次旋转后的位置相同即可解答．【详解】解：，∵三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，∴旋转3次为一个循环．第1次旋转，如图，过作轴于由旋转的性质可得：

点B所在位置的坐标为；第2次旋转，如图，过作轴于此时与轴重合，

同理可得：点B所在位置的坐标为；第3次旋转，如图，三角形回到原位置，

所以点B所在位置的坐标为；……∵，∴第次旋转后，与第次旋转后的位置相同，所以点B所在位置的坐标为．故选：A．7．（2023九年级·全国·专题练习）如图，，点到的距离是2，到的距离是3，，分别是，上的动点，则周长的最小值是（

）A． B． C．9 D．【答案】A【分析】作点分别关于、的对称点、，连接，分别交、于，则，，，，′，则，，此时周长最小，为，据此解答即可．【详解】作点分别关于、的对称点、，连接，分别交、于，，则，，，，′，∴，，∴此时周长最小，为，延长，交与．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即周长的最小值是．故选：A．二、填空题8．（2024·河南·一模）如图，在等腰中，，，点是射线上的一点，且，连接，以为直角顶点，在的左侧作等腰直角，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点，则的长为．【答案】或【分析】连接，分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况，根据等腰直角三角形的性质得到，，求出，根据全等三角形点的性质与判定，以及勾股定理，即可求解，本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是：根据点的两种情况进行讨论．【详解】解：如图，当点在线段上时，连接，∵是等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，在与，，，∴，，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，如图，当点在线段的延长线上时，连接，同理可得，，∴，∴，综上所述，的长为或，故答案为：或．9．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，是等腰直角三角形，是斜边，点P是内一定点，延长至点，将绕点A旋转后，与重合，如果，那么．【答案】2【分析】本题考查旋转的性质∶旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．根据旋转的性质和全等三角形的性质解答可知．【详解】∵绕点旋转后能与重合，，故答案为：2．10．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）如图1．和中，，，，与重叠．若绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转不停．在旋转过程中．若和中有一组边平行，则称之为一次“边平行”，当旋转到秒时，第三次边平行；当旋转到秒时，第2022次边平行．

【答案】【分析】画出第三次平行的图像，得到三次平行时，计算出绕点O旋转，即可求得时间；由同一种边平行之间相差180度可得绕点O旋转一周有6次边平行出现，再求出绕点O按每秒旋转一周所用时间及2022次边平行需要转几周，进行求解即可．【详解】解：第三次边平行时，如下图所示，此时，

∵，∴，∵，∴，∴此时绕点O旋转，∴旋转时间为：秒；由图2得，第一次平行时，即，∵，∴，∴,故第一次平行时，绕点O旋转；当旋转角度大于时，时，，由此可得，绕点O旋转一周有6次边平行出现，∵绕点O按每秒旋转一周所用时间为秒，∵周，∴秒，故答案为：，秒．11．（23-24九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…，若点、，则点的横坐标为．

【答案】【分析】可求，，，，可得当为偶数时，，当为奇数时，，即可求解．【详解】解：由题意得，，，，，，，，，，，当为偶数时，，当为奇数时，当时，，，故答案∶12．（22-23七年级下·福建龙岩·阶段练习）如图1纸片（），将按如图2所示沿着折叠至，与线段交于，，点在线段上，若将按如图3所示沿着折叠至，且在线段的延长线上，点在线段上，则．（用含的式子表示）

【答案】【分析】先根据邻补角性质求得，再由平行线性质与折叠性质求得，再根据折叠性质求得，最后用角的和差求得结果便可．【详解】解：，，，，，由折叠性质得，，．故答案为：．13．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，，将折叠，使得点恰好落在边上的点出，折痕为，为折痕上一动点，则周长的最小值是．【答案】【分析】根据由沿对称,得到，进而表示出，最后求周长即可．【详解】由沿对称得到，则E与C关于直线对称，，∴，如图,连接，由题意得，∴，当P在边上，即D点时取得最小值6，∴周长为，最小值为．故答案为:．14．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形为矩形，，，点P为边上一点，以为折痕将折叠，点A的对应点为点A′，连接，交于点M，点Q为线段上一点，连接，，则的最小值是．【答案】【分析】作点A关于的对称点T，取的中点R，连接，，，，根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理求出，，根据三边关系求出的最小值，再根据，可得结论．【详解】如图所示：点A关于的对称点T，取的中点R，连接，，，，∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，∵A、关于对称，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴的最小值为，∵，∴，∴的最小值为，故答案为：．15．（21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1所示为一条足够长的长方形纸带，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0＜α＜90°）；如图2，将纸带第一次沿BR1折叠成图2，使BM与BA重合；如图3，将纸条展开后第二次再折叠，使BM与BR1重合，第三次沿AR2折叠成图4，第四次沿BR2折叠成图5，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠AR2B，整个过程共折叠了9次，则α＝°．【答案】80°/80度【分析】根据题意，可知第9次折叠时，刚好与重合，根据折叠的性质，则有平角被平分成了9个角，则，再根据折叠的性质，即可求解．【详解】根据题意，可知第9次折叠时，刚好与重合，作图如下：根据折叠的性质，则有平角被平分成了（9-1+1）个角，∴，∵，∴，∵根据折叠的性质有，，∴，∴，∴，故答案为：80°．三、解答题16．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图1，若射线在的内部，且，则是的内半角，根据以上信息，解决下面的问题：(1)如图1，，若是的内半角，则______，______．(2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．若是的内半角，求的值．(3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线构成内半角时，请求出的值．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】（1）本题主要考查了角的和差，先根据题意算出的度数，再利用即可解答；弄清楚角之间的关系是解题的关键；（2）本题主要考查看旋转的性质、内半角的定义、一元一次方程的应用等知识点，根据旋转性质可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出α的值即可；掌握内半角的定义是解题的关键；（3）本题主要考查了旋转的性质、内半角的定义、一元一次方程的应用等知识点，根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可．掌握分类讨论思想是解题的关键．【详解】（1）解：∵是的内半角，，∴，∴．故答案为：，．（2）解：由旋转性质可知：，∴，∵是的内半角，∴，即，解得：．∴的值为．（3）解：①如图4：此时是的内半角，由旋转性质可知：，∴，∵是的内半角，∴，即，解得：；②如图：此时是的内半角，由旋转性质可得：，∴，∵是的内半角，∴，即，解得：；③如图所示，此时是的内半角，由旋转性质可知：，∴，∵是的内半角，∴，即，解得：；④如图所示，此时是的内半角，由旋转性质可知：，∴，∵是的内半角，∴，即，解得：．综上所述：当射线构成内半角时，t的值为或或或．17．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则是的内半角.(1)如图①所示，已知，，是的内半角，则______；(2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？(3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)能，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角.【分析】（1）根据内半角的定义，即可求解；（2）根据旋转的性质可得：，，再根据内半角的定义，即可求解；（3）分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解．【详解】（1）解：∵是的内半角，，∴∵，∴，（2）∵，，∴，，∵是的内半角，∴，∴，∴旋转的角度为21°时，是的内半角；（3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下；理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t，如图1，∵是的内半角，，∴，∴，解得：，∴；如图2，∵是的内半角，，∴，∴，∴，∴；如图3，∵是的内半角，，∴，∴，∴，∴，如图4，∵是的内半角，，∴，∴，解得：，∴，综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角.18．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角．(1)如图①所示，已知，是的内半角，则____，若，_____；(2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？请说明理由；(3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．【答案】(1)，(2)，理由见解析(3)或30或90【分析】本题考查了新定义，角的相关计算，旋转的性质，解题关键是理解什么是内半角的定义．（1）根据题意算出的度数，利用即可算出的度数；（2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出α的值；（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可．【详解】（1）∵是的内半角，，∴，∴，故答案为：，；（2）由旋转性质可知：，∴，∵是的内半角，∴，即，解得：；（3）①如图4所示，此时是的内半角，设旋转时间为t，由旋转性质可知：，∴，，∵是的内半角，∴，即，解得：；②如图所示，此时是的半角，由旋转性质可得：，∴，∵是的内半角，∴，即，解得：；③如图所示，此时是的内半角，由旋转性质可知：，∴，∵是的内半角，∴，即，解得：；④如图所示，此时是的内半角，由旋转性质可知：，∴，∵是的内半角，∴，即，解得：（此情况不符合题意，舍去）；综上所述：当射线构成内半角时，t的值为或30或90．19．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中．

(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，求旋转角？(2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；(3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在与第二次相遇前，当时，求出旋转时间t的值．【答案】(1)(2)当在外部时，，当在内部时，，理由见解析(3)或或60或70秒【分析】（1）先根据平分，得到，即可求出；（2）先根据题意可得，，然后作差即可；（3）先求出旋转前与的夹角，然后再求出与第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况解答即可．【详解】（1）平分，，三角板旋转的角：，（2）当在外部时，，理由如下：，，，，；当在内部时，，理由如下：，，；（3）射线平分，射线平分，，，选择前与的夹角为，与第一次相遇的时间为秒，此时旋转的角度为，此时OC与OE的夹角为，与第二次相遇的时间为（秒），设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，①，解得，；②，解得，；③，解得，，；④，解得，，，在与第二次相遇前，当时，旋转时间t为或或60或7020．（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图，在的内部绕点O自由旋转，旋转过程中、的大小始终保持不变，其中．首先绕点O顺时针匀速旋转，旋转速度为每秒，旋转开始前与重合，当旋转至与重合时，立即再以另一速度绕点O逆时针匀速旋转，当旋转至与重合时，旋转停止，设时间为t秒，记，W用含t的代数式表示，已知绕点O顺时针匀速旋转过程中，当和时，与之对应的W的两个值互为相反数；从开始旋转到最后停止，整个过程总用时秒．(1)绕点O顺时针匀速旋转过程中，W的值的变化情况：______（填“由负到正”或“由正到负”）；(2)求的大小及逆时针旋转时的速度；(3)在整个旋转过程中，若，直接写出t的值．【答案】(1)由负到正(2)，(3)或18【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、角的计算等知识点，理解题意、表示出相关角以及分类讨论思想是解题的关键．（1）在绕点O顺时针匀速旋转过程中，从逐渐增大到，从逐渐减小到，结合即可解答；（2）设的度数为，分别表示出和时的，然后根据题意列出关于x的一元一次方程列式可求得的度数，再利用时间等于的度数与的差除以顺时针旋转的速度可得顺时针旋转的时间，进而求得逆时针旋转的时间，最后求出逆时针旋转速度即可；（3）分及两种情况，分别表示出、，再根据题意列出关于t的方程求解即可．【详解】（1）解：绕点O顺时针匀速旋转过程中，从逐渐增大到，从逐渐减小到，∵，∴的值的变化情况是由负到正．故答案为：由负到正．（2）解：设的度数为，当时，，当时，，根据题意得，，，，，∴,∵，∴逆时针旋转时的速度为．答：的大小为，逆时针旋转时的速度为每秒．（3）解：当时，、，，解得:；当时，、，，解得:．答：当W=60时，t的值为或18．21．（23-24七年级上·浙江金华·期末）东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边上，点E，G在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为．

(1)