空间向量的应用（一）讲义高二上学期数学人教A版选择性

一.空间中点、直线和平面的向量表示1.空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.2.空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式.3.平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.二.空间中直线、平面的平行（1）线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1l2⇔u1u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.（2）线面平行的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则lα⇔u⊥n⇔u·n＝0.（3）面面平行的向量表示：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则αβ⇔n1n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.1.利用向量证明线线平行的思路：证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可.2.证明线面平行问题的方法：（1）证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；（2）证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；（3）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.3.证明面面平行问题的方法：（1）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.（2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.三.空间中直线、平面的垂直（1）线线垂直的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.（2）线面垂直的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔un⇔∃λ∈R，使得u＝λn.（3）面面垂直的向量表示：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.1.证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.2.用坐标法证明线面垂直的方法及步骤：（1）利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直.（2）利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行.3.证明面面垂直的两种方法：（1）常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.（2）法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. 考点1求平面的法向量【例1】已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（

）A． B． C． D．【详解】由知，设平面的一个法向量为，所以，取，解得，选项D符合，另外选项ABC中的向量与选项D中的向量不共线.故选：D【例2】在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为（

）A． B． C． D．【详解】由已知，设平面的一个法向量为，取，解得，选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.故选：A.考点2利用空间向量证明线线平行【例1】如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．证明：.【详解】根据正四棱柱性质可知，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则，所以，可得，即向量与共线，又不在同一条直线上，所以.【例2】已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．【详解】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系．则、、、、、、、，由题意知、、、，∴，．∴，又，不共线，∴.考点3利用空间向量证明线面平行【例1】如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面.【详解】由题意可知底面为正方形，因为平面，平面，所以两两垂直，如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系，则有关点及向量的坐标为：，，，，，A2,0,0，，，，设平面的法向量为，则，取可得平面的一个法向量为，因为，又在平面外，所以平面.【例2】如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点，求证：平面.【详解】以为原点，分别以所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，又因为分别为和的中点，可得，又由向量为平面的一个法向量，且,由此可得，又因为直线平面，所以平面.考点4利用空间向量证明面面平行【例1】如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：

(1)平面；(2)平面平面．【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，，，，，．

由正方体的性质，知平面，所以为平面的一个法向量．由于，则，所以．又平面，所以平面．（2）证明：因为为平面的一个法向量，由于，，则，即也是平面MNP的一个法向量，所以平面平面．【例2】如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.

【详解】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，

则,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，，，同理，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又平面平面与平面平行．考点5利用空间向量证明线线垂直【例1】如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（

）A．③④ B．①② C．②④ D．②③【详解】设正方体的棱长为，对于①：如图建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以与不垂直，即与不垂直，所以①错误；对于②：如图建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以，即，所以②正确；

对于③：如图建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以，即，所以③正确；对于④：如图建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误；故选：D.【例2】在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（

）A．有且仅有1条 B．有且仅有2条C．有且仅有3条 D．有无数条【详解】以正方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为1，则，所以，若，则，即，方程有无数组解，故选：D考点6利用空间向量证明线面垂直【例1】已知正方体的棱长为，、、分别是棱、、的中点，求证：平面．【详解】建立如图的空间直角坐标系，连结、．则、、、、．于是，，．设平面的法向量为．由，，得，．令，则，故．又，易知，这说明与共线．∴平面．【例2】已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.

(1)求该正三棱台的表面积；(2)求证：平面【详解】（1）解：将正三棱台补成正三棱锥，如图所示：因为，且，则、分别为、的中点，则，，故是边长为的等边三角形，由此可知，、都是边长为的等边三角形，易知是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，故正三棱台的表面积为.（2）解：设点在底面的射影为点，则为正的中心，取的中点，连接，则，，则，因为平面，平面，则，所以，，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，则，，，所以，，，所以，，，因为，、平面，故平面.考点7利用空间向量证明面面垂直【例1】如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.求证：平面平面.【详解】证明：如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，因为，所以，所以，即，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，平面的法向量为，则，令，则，所以，所以，所以，所以平面平面.【例2】如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.

证明：平面平面.【详解】证明：取的中点，连接，

在正三棱柱中，不妨设;以为原点，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则,，；设平面的一个法向量为，则，取，则，，即；设平面的一个法向量为，则，取，得，，即.因为，所以平面平面；【反馈练习】一.单选题1．已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（

）A． B．C． D．2．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（

）A．−7 B．2 C． D．3．若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（

）A． B． C． D．与斜交4．若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（

）A．， B．，C．， D．，5．如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（

）A．

B．

C．

D．

6．在空间直角坐标系中，点，则（

）A．直线坐标平面 B．直线坐标平面C．直线坐标平面 D．直线坐标平面7．已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（

）A．（1）（2） B．（1）（3）C．（1）（4） D．（2）（4）8．在正方体中，分别为的中点，则（

）A．平面平面B．平面平面C．平面平面D．平面平面二.多选题9．（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（

）A． B． C． D．10．在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（

）A．//平面 B．平面//平面C．⊥平面 D．平面平面三.填空题11．已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则.12．如图，在直角梯形中，E为的中点，，，M，N分别是，的中点，将沿折起，使点D不在平面内，则下命题中正确的序号为．①；②；③平面；④存在某折起位置，使得平面平面．四.解答题13．四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量.14．如图，在正方体中，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；(2)求证：15．如图，四边形为正方形，平面，，.(1)证明：平面平面；(2)证明：平面.16．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，.(1)求证：；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】1．C1【详解】显然与不平行，设平面α的法向量为，则，所以，令，得，.所以．2．D【详解】由直线平面，得，则，所以.3．B【详解】根据题意，直线的方向向量为，平面的法向量为，易得，又直线在平面外，则有．4．A【详解】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，，若，即，又由，则有，依次分析选项：对于A，，，，即成立，符合题意；对于B，，，，即不成立，不符合题意；对于C，，，，即不成立，不符合题意；对于D，，，，即不成立，不符合题意．5．C【详解】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线的端点为，对于A，，直线的方向向量，

，显然，直线与不垂直，A不是；对于B，由选项A知，直线的方向向量，，

则,显然，直线与不垂直，B不是；对于C，由选项A知，直线的方向向量，，

则,显然，，C是；对于D，由选项A知，直线的方向向量，，

则,显然，直线与不垂直，D不是.6．C【详解】由题意可知，，平面的法向量为，因为，且所以与既不平行也不垂直，所以直线与坐标平面既不平行也不垂直，故AB错误；坐标平面的法向量为，，所以，且平面，故C正确，D错误.7．B【详解】设正方体的边长为2，对于图（1），建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，直线的方向向量为，，，因为，，所以，，，平面，所以平面，故图（1）正确；对于图（2），建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，直线的方向向量为，则，因为，所以与不垂直，所以与平面不垂直，故图（2）错误；对于图（3），建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，直线的方向向量为，因为，，所以，，，平面，所以平面，故图（3）正确；对于图（4），建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，直线的方向向量为，因为，所以与不垂直，所以与平面不垂直，故图（4）正确.综上，正确的有图（1）（3）.8．D【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设边长为2，则，则，，设平面的法向量为m=x1,令，则，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量，平面的法向量为，对A，因为，则可知与不平行，故A错误；对B，因为，则与不垂直，故B错误；对C，因为，所以与不平行，故C错误；对D，因为，与垂直，故D正确；9．AC【详解】，由为平面的一个法向量，得得解得故B，D错误.10．AD【详解】由正方体性质易得平面//平面，又平面，故EF//平面，故A正确如图，以点为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则,,,，,,则，，对B,设平面的法向量为，则有，令，则而，故平面//平面不成立，故B错误；对C,因为，故⊥平面不成立，C错误；对D，设平面的法向量为，，令，则平面的法向量为因为，则平面平面，故D正确.11．39【详解】因，依题意，必有，即存在唯一的实数，使，即：，则，解得：，故.12．②③【详解】①③，如图所示：直角梯形中，，又因为，，所以，故四边形为矩形，因为N分别是的中点，连接，则与相交于点，故点是的中点，因为是的中点，所以，又，而与相交于点，故与不平行，故与不平行，①错误，因为，平面，平面，所以平面，③正确；②，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，由①知，所以，②正确；④，连接，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，，，故，设平面的法向量为，故，解得，令，则，故，设平面的法向量为，故，解得，令，则，故，故，因为，故，故，故不存在某折起位置，使得平面平面，④错误.13．即为平面的法向量，是平面的法向量【详解】因为，，所以