第02讲等腰三角形（5类题型）（原卷版）

第02讲等腰三角形（5类题型）课程标准学习目标1.等腰三角形的概念；2.等边对等角；1．使学生了解等腰三角形的有关概念。2．通过探索等腰三角形的性质，使学生掌握等腰三角形的轴对称性。3、进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。知识点01：等腰三角形概念定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。【即学即练1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）等腰三角形的周长为20cm，一边为8cm，则腰长为（）A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm或8cm【即学即练2】（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成一个等腰三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，题型01等腰三角形的定义1．（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考开学考试）一个等腰三角形的两边长为8和10，则它的周长m的取值为（）A．26或28 B．26 C．28 D．2．（2023秋·八年级课时练习）若是等腰三角形，，则的度数是（

）A．或 B．或C．或 D．或或3．（2023秋·全国·八年级课堂例题）（1）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则它的周长为；（2）已知等腰三角形的一边长为2，另一边长为6，则它的周长为．4．（2023春·四川成都·七年级校考期中）已知等腰的三边长，，，且满足：，求的周长为．5．（2023春·云南·七年级统考期中）已知，，分别为的三边长，，满足，且为方程的解，请先判断的形状，再说明理由．题型02根据等边对等角求角度1．（2023春·福建宁德·八年级校考期末）如图所示，线段的垂直平分线交线段于点，，则的大小是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在中，点分别在上，，则的度数是（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·北京海淀·八年级校考开学考试）如图，在中，，为边上一点，于，连接，，若，则．

4．（2023春·河北保定·八年级统考阶段练习）如图，在中，点D在边上，，，则，

5．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，，点D是底边的中点，，求的度数．

题型03根据等边对等角证明1．（2023春·重庆南岸·七年级统考期末）如图，若，点在边上，则下列结论中不一定成立的是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在等腰中，，是边上的高，点是高上任意一点，点是边上任意一点，，，，则的最小值是（

）

A．3 B．5 C． D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．3．（2023春·福建宁德·七年级统考期末）如图，在中，，点D在上，．若，则．

4．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，，，将折叠，使边落在边上，若点的落点恰好是中点，则°；折痕是的（填“中线”或“角平分线”）．

5．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）如图，已知是延长线上的点．(1)过点在射线右侧作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若，求证：平分．题型04根据三线合一求解1．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点E，，，则的面积是（

）

A． B． C．8 D．62．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为（）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．63．（2023春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期末）如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E，若，则的度数为．

4．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为；

5（2023秋·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在中，点是边上的两点．

(1)如图1，若，．求证：；(2)如图2，若，，设，．①猜想与的数量关系，并说明理由；②在①的条件下，，请直接写出的度数．题型05根据三线合一证明1．（2023春·甘肃张掖·七年级校联考期末）高台县崇文楼始建2011年，取“崇文尚德·大运高台”之意，总高米，由台明、楼身和宝顶三部分组成．建这座楼的主要目的是为了延续高台人杰地灵、源远流长的文脉，在当今文化大发展时代，激励莘莘学子努力学习、求学上进，将来回报和建设家乡、建设祖国．如图，“崇文楼”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（

）

A． B． C． D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论共有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（2023·全国·八年级假期作业）聪明的小斐同学这样检查他的课桌桌面是否水平：如图，在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一条绳，绳的另一端挂一个重物，把这块三角尺的斜边贴在桌面底部，结果绳子经过三角尺的直角顶点，由此得出桌面是水平的（即挂重物的绳与桌面垂直），小斐用到的数学原理是．4．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE＝3cm，则P点到直线AB的距离为．5．（2023春·上海浦东新·七年级校考期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，，，垂足为点，．(1)说明的理由；(2)若，请说明的理由．A夯实基础1．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）是等腰三角形，，则的周长为（

）A．12 B．12或17 C．14或19 D．17或192．（2023秋·八年级课时练习）等腰三角形的周长为，如果它的一边长为，那么其另两边长为（

）A．， B．， C．， D．，3．（2023秋·河南郑州·八年级统考期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（

）

A．等边对等角 B．等角对等 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”4．（2023秋·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图，在中，，点E是斜边的中点，垂直于，交于点D，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．5．（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期末）一个等腰三角形有两边分别为4和9，则周长是．6．（2023·福建福州·校联考模拟预测）若等腰三角形两边的长分别为和，则此三角形的周长是.7．（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）如图，为等腰直角三角形，，延长至点，连接，，则=．8．（2023春·山东菏泽·八年级牡丹区实验中学校考阶段练习）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特值”．若等腰中，若，则顶角为．9．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，已知中，，．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

10．（2023春·广东揭阳·七年级期末）如图，已知中，，，且平分．

(1)求证：；(2)若，求的度数．B能力提升1．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，点在点的北偏西方向，点在点的正东方向，且点到点与点到点的距离相等，则点相对于点的位置是

A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是(

)

A． B． C． D．3．（2023·河北沧州·校考模拟预测）在证明等腰三角形的性质定理：“等腰三角形的两底角相等”时，李老师在黑板上出示了“已知，在中，，求证：．甲同学做法：“作的平分线，利用“”证明，则”；乙同学做法：“作边上的高，利用“”证明，则”；丙同学做法：“作边上的中线，利用“”证明，则”；下列说法正确的是(

)A．甲、乙、丙做法都对 B．甲、乙、丙做法都不对C．只有乙做法不对 D．只有丙做法不对4．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在中，，是边的垂直平分线，垂足为E，交于F，是边的垂直平分线，垂足为M，交于N．连接、则的度数是（

）

A． B． C． D．5．（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）已知等腰三角形两边长分别为2和3，则这个等腰三角形的周长为．6．（2023春·河南新乡·七年级统考阶段练习）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形有以下四类线：①底边上的高②顶角的平分线③底边上的中线④底边上的垂直平分线．其中是等腰三角形的对称轴的有个．7．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，点B，D在射线上，点C，E在射线上，且，已知，则°．

8．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，在一张纸片上将翻折得到三角形，并以为边作等腰，其中，且E，A，C三点共线，，则的度数是．

9．（2023春·山东济南·八年级校考阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E．

(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的度数；10．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．(1)若的周长为cm，求的长；(2)若，求的度数．C综合素养1．（2023秋·河南开封·八年级校考期末）如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于D，E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点G，连接．若的周长为12，则的长为（

）

A．6 B． C．7 D．2．（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，，点D在边上，，和相交于点O，若，则的度数为（

）

A．71° B．69° C．67° D．65°3．（2023春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11或154．（2023秋·重庆南岸·八年级校考期末）如图，中，，，为边上一点（不与、重合），将沿翻折得到，交于点．若为等腰三角形，则为（

）A． B．或 C． D．或5．（2023春·甘肃张掖·七年级校考期末）若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是．6．（2023春·四川成都·七年级校考期中）如图，在等腰三角形与等腰三角形中，，连接交于点P，则的度数为°．7．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在三角形纸片中，．把沿着翻折，点落在点处，连接．如果，则的度数是．8．（2023春·江西抚州·七年级统考期末）如图，在中，，，射线于点D，点M为射线上一点，如果点M满足三角形为等腰三角形，则的度数为．

9．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）已知如图，为的角平分线，且，E为