专题02解题技巧专题构造等腰三角形的技巧(原卷版)（重点突围）

专题02解题技巧专题：构造等腰三角形的技巧【考点导航】目录TOC\o"13"\h\u【典型例题】 1【技巧一结合平行线构造新等腰三角形】 1【技巧1.1利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 1【技巧1.2过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 9【技巧二利用倍角关系构造新等腰三角形】 20【典型例题】【技巧一结合平行线构造新等腰三角形】【技巧1.1利用平行线+角平分线构造等腰三角形】例题：（2021春·辽宁盘锦·八年级校考期中）(1)如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交于点．直接写出线段与，之间的数量关系：___________．(2)如图，若中的平分线与三角形外角平分线交于点，过点作交于点，交于点．则与，之间的数量关系又如何？说明你的理由．【变式训练】1．（2022春·重庆合川·八年级期末）如图，在中，，是的角平分线，交AB于点F．的一个外角的平分线与的延长线交于点G．(1)求证：；(2)若，求的大小．2．（2022春·吉林长春·八年级长春市解放大路学校期末）如图，在中，．是角平分线，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，则______．3．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）（1）如图1，中，作、的角平分线相交于点O，过点O作分别交、于E、F．（1）①求证：；②若的周长是25，，试求出的周长；（2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点O，过点O作分别交、于E、F，则，，之间有何数量关系，直接写出结论．4．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期中）在中，点，点在直线上，，过点作，交射线于点，过点作，交直线于点．(1)当是的角平分线，点在边延长线上时，如图①，求证：；（提示：延长，相交于点．）(2)当是的角平分线，点在边上时，如图②；当是外角的角平分线，点在边延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；(3)在（1）、（2）的条件下，若，则_____________．【技巧1.2过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】例题：（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：等边中．(1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值；(2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：．(3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值．【变式训练】1．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）在等边中，是的中点，，的两边分别交直线、于、．(1)问题：如图1，当、分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；(2)探究：如图2，当落在边上，落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；(3)应用：如图3，当落在射线上，F落在射线上时，，，则___________．2．（2022春·辽宁大连·八年级期末）是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且．(1)如图1，当点是的中点时，求证：；(2)如图2，当点是上任意一点时，取的中点，连接．求的度数3．（2022春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）已知：在等边中，点是边所在直线上的一个动点（与、两点均不重合），点在的延长线上，且．(1)如图①，当是边的中点时，求证：；(2)如图②，当是线段边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；(3)若点是线段的延长线上任一点，，，，求的长．4．（2022春·山东德州·八年级统考期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到的理由是．A．B．C．D．(2)求得的取值范围是．A．B．C．D．(3)如图2，是的中线，交于E，交于F，且．求证：．【技巧二利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：（2022春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，在中，，(1)若，，求的度数；(2)若，求证：平分．【变式训练】1．（2021春·福建福州·八年级校考期末）在中，，点在边上，，点在线段上，．(1)如图，若点与点重合，则______；(2)如图，若点与点不重合，试说明与的数量关系；(3)在（1）的情况下，试判断，与的数量关系，并说明你的理由．2．（2022春·浙江·八年级专题练习）在中，，(1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，易证．请证明；(2)①如图②，当，为的角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当，为的外角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．3．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和之间的数量关系．【初步探索】小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）（1）写出图2中全等的三角形____________________；（2）直接写出和之间的数量关系__________________；【类比运用】（3）如图3，在中，，平分，求的周长．小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，