第22课弧长及扇形面积

第22课弧长及扇形面积3.9课后培优练课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．用一个圆心角为，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，从而可以计算面积．【解析】解：扇形的弧长=，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．∴面积为：4π，故选：D．【点睛】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．2．如图，圆锥的高，底面圆的半径，则圆锥的全面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先计算圆的底面周长、利用勾股定理解得圆锥母线的长，最后由全面积=底面圆的面积+圆锥侧面面积即可解题．【解析】∵底面圆的半径为，∴底面圆的周长，又∵圆锥的高为，∴圆锥的母线长为，∴侧面面积，底面积为，∴全面积为：，故选：C．【点睛】本题考查圆锥的母线、侧面积、全面积、勾股定理等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．3．已知一个圆锥的底面半径与母线长的比为1∶5，圆锥的全面积为，则（

）A．该圆锥侧面展开图的圆心角为36° B．该圆锥的底面半径为C．该圆锥的高为 D．该圆锥的侧面积为【答案】C【分析】设底面半径为r，则母线长为5r，根据全面积为198π得到方程求出r，据此计算相关量，再逐步判断．【解析】解：∵圆锥的底面半径与母线长的比为1∶5，设底面半径为r，则母线长为5r，∴底面周长为2πr，底面积为πr2，∴侧面积为2πr×5r=5πr2，∵全面积为，∴πr2+5πr2=198π，解得：r=，即底面半径为，∴圆锥的高为：=，∵底面周长即侧面展开图的扇形弧长为：，∴侧面展开图的圆心角为：n=72°，侧面积为=5πr2=165π，∴只有C正确，故选C．【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．4．如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画弧，则由图中阴影图形围成的圆锥的高为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长求出底面半径的长，然后利用勾股定理求出圆锥的高．【解析】解：阴影部分圆心角度数为，设图中阴影图形围成的圆锥的底面半径为r，则有，解得r=，圆锥的高为，故答案为：B．【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，解决问题的关键是确定圆锥和侧面展开图的对应关系．5．如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（

）A．米2 B．米2C．米2 D．米2【答案】A【分析】由底面圆的半径＝5米，根据勾股定理求出母线长，利用圆锥的侧面面积公式，以及利用矩形的面积公式求得圆柱的侧面面积，最后求和．【解析】解：∵底面半径=5米，圆锥高为2米，圆柱高为3米，∴圆锥的母线长=米，∴圆锥的侧面积=，圆柱的侧面积=底面圆周长×圆柱高，即，故需要的毛毡：米，故选：A．【点睛】此题主要考查勾股定理，圆周长公式，圆锥侧面积，圆柱侧面积等，分别得出圆锥与圆柱侧面积是解题关键．6．如图，在中，，，．将绕直角顶点逆时针旋转得，则点转过的路径长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先在中利用的余弦计算出，再根据旋转的性质得，然后根据弧长公式计算点转过的路径长．【解析】解：在中，，，，，绕直角顶点逆时针旋转得△，，弧的长．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．7．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从地走到地有观赏路（劣弧）和便民路（线段）.已知、是圆上的点，为圆心，，小强从走到，走便民路比走观赏路少走（

）米.A． B．C． D．【答案】D【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A，从而得到OC和AC，可得AB，然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．【解析】解：作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=（180°∠AOB）=30°，在Rt△AOC中，OC=OA=9，AC=，∴AB=2AC=，又∵=，∴走便民路比走观赏路少走米，故选D．【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．8．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°，则阴影部分的面积为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】连接AD，连接OE，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，过O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=2，AH=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解析】解：连接AD，连接OE，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵DF⊥AC，∴∠DFC=∠DFA=90°，∴∠DAC=∠CDF=15°，∵AB=AC，D是BC中点，∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，∵OA=OE，∴∠AOE=120°，过O作OH⊥AE于H，∵AO=4，∴OH=AO=2，∴AH=OH=6，∴AE=2AH=12，∴S阴影=S扇形AOES△AOE=．故选：A．【点睛】本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键．9．如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得的长，勾股定理求得的长，进而根据即可求解．【解析】如图，连接,，边长为的正方形内接于，即，，，为的直径，，，分别与相切于点和点，，四边形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，．故选C．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．10．如图，在中，，，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、．若圆半径为2．则阴影部分面积（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S阴＝S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题．【解析】解：连接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S△AFD＝S△OFA，∴S阴＝S扇形OFA，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OFA＝.故选：C．【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．二、填空题11．已知圆锥的母线长是9cm，它的侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的高为_____cm．【答案】6【分析】设圆锥底面半径为，那么圆锥底面圆周长为，所以侧面展开图的弧长为，然后利用扇形的面积公式即可得到关于的方程，解方程即可求得圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．【解析】解：设圆锥底面半径为，那么圆锥底面圆周长为，所以侧面展开图的弧长为，，解得：，圆锥的高为，故答案为：．【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算，解题的关键是正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．12．如图，在半径为3的⊙O中，A、B、C都是圆上的点，∠ABC=60°，则的长为__________．【答案】2π【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC的度数，再根据弧长计算公式进行计算即可得出答案．【解析】解：连接OA，OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．∴的长=故答案为：2π．【点睛】本题主要考查了弧长的计算及圆周角定理，熟练掌握弧长的计算方法及圆周角定理进行计算是解决本题的关键．13．中，，以直线为轴旋转一周所得圆锥的底面圆的周长是_________，这个圆锥的侧面积是__________，圆锥的侧面展开图的圆心角是_________．【答案】

【分析】由题意可得底面圆的半径为4，从而周长可求；圆锥展开图为扇形，由题意可得扇形的半径为5，弧长为底面圆的周长，由侧面积公式可求圆锥的侧面积；由可求圆锥的侧面展开图的圆心角．【解析】解：∵中，，圆锥是以直线为轴旋转一周所得，∴圆锥的底面半径为，∴圆锥的底面圆的周长是，圆锥的侧面积是，设圆锥的侧面展开图的圆心角是，则，即解得，∴圆锥的侧面展开图的圆心角是．故答案为：；；．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、圆锥底面圆的周长公式、圆锥的侧面积公式、圆锥的侧面展开图的弧长公式，解题的关键是准确找出公式中各个字母所表示的数．14．如图，在扇形中，半径与的夹角为，点与点的距离为，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为______.【答案】【分析】利用弧长=圆锥的周长这一等量关系可求解.【解析】解：连接，过作于，∵，，∴，，∴，∵，∴故答案是：【点睛】本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键.15．如图，作的任意一条直经，分别以为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点和，顺次连接，得到六边形，则的面积与阴影区域的面积的比值为______；【答案】【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O的半径与等边三角形的边长为，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解【解析】连接，，，，由题可得：为边长相等的等边三角形可将图中阴影部分的面积转化为和的面积之和，如图所示：设⊙O的半径与等边三角形的边长为，⊙O的面积为等边与等边的边长为⊙O的面积与阴影部分的面积比为故答案为：．【点睛】本题考查了图形的面积转换，等边三角形面积以及圆面积的求法，将不规则图形的面积转换成规则图形的面积是解题关键．16．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为_____．【答案】【分析】由同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可得，因此．结合AB是的直径，可得所对的圆心角的度数．再利用弧长公式计算的长即可．【解析】∵、、、所在的圆是等圆又∵、、所对的圆周角都是∴==

又∵=∴===

又∵+++=∴=∴又∵AB是的直径∴所对的圆心角为

∴的长=故答案为【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长的计算，翻折变换．求所对的圆心角的度数是解题的关键．17．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是___．【答案】【分析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．由三角形的中位线定理可得KM，推出当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，为半径的半圆，由此即可得出结论．【解析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．∵AC=BC，∠ACB=90°，∴AB2，∴OPAB=1．∵CM=MP，CK=OK，∴MKOP，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，为半径的半圆，∴点M运动的路径长•2•π•．故答案为．【点睛】本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动轨迹．18．如图，在边长为的菱形中，，点分别是上的动点，且与交于点.当点从点运动到点时，则点的运动路径长为_____．【答案】【分析】根据题意证得，推出∠BPE=60，∠BPD=120，得到C、B、P、D四点共圆，知点的运动路径长为的长，利用弧长公式即可求解．【解析】连接BD，∵菱形中，，∴∠C=∠A=60，AB=BC=CD=AD，∴△ABD和△CBD都为等边三角形，∴BD=AD，∠BDF=∠DAE=60，∵DF=AE，∴，∴∠DBF=∠ADE，∵∠BPE=∠BDP+∠DBF=∠BDP+∠ADE=∠BDF=60，∴∠BPD=180∠BPE=120，∵∠C=60，∴∠C+∠BPD=180，∴C、B、P、D四点共圆，即⊙O是的外接圆，∴当点从点运动到点时，则点的运动路径长为的长，∴∠BOD=2∠BCD=120，作OG⊥BD于G，根据垂径定理得：BG=GD=BD=，∠BOG=∠BOD=60，∵，即，∴，从而点的路径长为．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹．三、解答题19．如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°．(1)求弧BC的长度；(2)求图中阴影部分的面积．（结果中保留π）【答案】(1)(2)【分析】（1）连接OB，OC．根据∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，可得∠BOC＝90°，根据⊙O的直径为2，可得OB＝OC＝1，即利用弧长公式即可求解答案；（2）根据∠BOC＝90°，可知△BOC是直角三角形，根据OB＝OC＝1，即可求出△BOC的面积和扇形OBC的面积，再根据S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求解．（1）如图，连接OB，OC．∵∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵⊙O的直径为2，∴OB＝OC＝1，∴；（2）∵∠BOC＝90°，∴△BOC是直角三角形，∵⊙O的直径为2，∴OB＝OC＝1，∴△BOC的面积为，∵，即S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、扇形面积公式等知识，掌握圆周角定理证明出∠BOC＝90°是解答本题的关键．20．如图所示，有一直径为的圆形纸片，要从中剪去一个最大的圆心角是90°的扇形ABC．(1)求被剪掉的阴影部分的面积；(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）连结BC，根据∠A＝90°，可得，再由勾股定理可得AB＝AC＝1，然后根据，即可求解；（2）设圆锥底面半径为r，则的长为2πr，从而得到，即可求解．（1）解：如图，连结BC，∵∠A＝90°，∴BC为⊙O的直径．即，在Rt△ABC中，AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2，∴AB＝AC＝1，∴＝；（2）解：设圆锥底面半径为r，则的长为2πr，∴，∴．【点睛】本题主要考查了求扇形面积，圆锥的底面半径，勾股定理，熟练掌握扇形面积公式，勾股定理是解题的关键．21．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．(1)求∠B的度数；(2)若AB＝3，求的长．【答案】(1)54°(2)【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，可得OC∥AE，所以∠CAD＝∠OCA，然后利用∠OCA＝∠OAC得到∠CAD＝∠OAC，可求出∠COB，利用∠B=∠OCB即可求出∠B；（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠COE，根据弧长公式即可求出的长．（1）连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠CAD＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°，∵OB＝OC，∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°；（2）连接OE，∵⊙O的直径AB＝3，∴OA＝1．5，∵∠COE＝2∠CAD＝2×36°＝72°，∴．【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算公式，根据切线的性质证得OC∥AE和掌握弧长公式是解题的关键．22．如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．(1)求证：AC＝AF；(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证明四边形ABED是平行四边形，得∠B＝∠D，再证明即可得到结论；（2）连接OA，OC,根据等腰三角形的性质求出，由圆周角定理可得最后由弧长公式可求出结论．（1）∵，，∴四边形ABED是平行四边形，∴∠B＝∠D．又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴，∴AC＝AF．（2）连接AO，CO．由（1）得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，∴，∴．∴的长．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．23．如图，在中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作交⊙O于点D，连接AD交BC于点F，且．（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若，．求图中阴影部分的面积（结果保留）．【答案】（1）与相切，理由见解析；（2）．【分析】（1）先等腰三角形的性质可得，，再根据角的和差、等量代换可得，然后根据圆的切线的判定即可得出结论；（2）过点作于点，设，先在中，利用勾股定理求出的值，再利用直角三角形的性质可得，然后利用扇形的面积减去的面积即可得．【解析】（1）与相切，理由如下：，，，，又，

，，，，即，，是的半径，是的切线，即与相切；（2）如图，过点作于点，设，，，在中，，即，解得，，，，，在中，，则阴影部分的面积为．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．24．如图，中，O为圆心，圆上两点分别是定点A与动点B，连接，．以，和分别为半径作半圆C、半圆D和半圆E．（1）若，求证：半圆C与半圆D面积之和等于半圆E的面积．（2）若F是半圆D上的中点，且半径为5，求F运动路径长．（3）在（2）的条件下，连接，当与其运动路线相切时，求的长，【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为0或【分析】（1）设半圆C和半圆D的半径为r，设半圆E的半径为R，利用勾股定理推出，代入半径依据等式的性质变形计算即可；（2）根据题意得出F的运动轨迹是以OF为圆心的圆，根据勾股定理求出OF的值即可得到F的运动路径的长；（3）根据相切的关系求出AF的值，确定点B的位置，即可求出弧AB的长．【解析】解（1）设半圆C和半圆D的半径为r，设半圆E的半径为R，∵，∴，∴，∴，∴，∴半圆C与半圆D面积之和等于半圆E的面积．（2）根据题意得出F的运动轨迹是以OF为原心的圆，如下图，连接DF、OF，∵F是半圆D上的中点，∴，即△FDO是等腰直角三角形，∵的半径为5，∴FD=OD=，∴，∴F的运动路径长为（3）∵AF与其运动路线相切，∴OF⊥AF，由（2）知OF=，OA=5，∴即△AOF为等腰直角三角形，根据题意可知，F的位置存在，如图中F和两种情况：①当位置在F点时，∵△AOF为等腰直角三角形，F是半圆的中点，∴此时B点与A点重合，即长为0；②当位置在点时，∵△AOF为等腰直角三角形，F是半圆的中点，∴此时，∵OA=5，∴的长为，综上，长为0或．【点睛】此题考查了圆的综合知识，涉及的知识点有勾股定理，圆的面积公式，弧长的计算公式，等腰直角三角形的判定及性质定理，切线的性质定理，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．如图，扇形中，，，点在上，连接，点关于的对称点刚好落在上，则阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，过作于，先证是等边三角形，得到，，再利用阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积即可得解．【解析】解：连接，过作于，如图所示：由折叠可知：，∴是等边三角形，∴，∵，，∴，∴阴影面积=；故选：B．【点睛】本题考查阴影部分面积，轴对称性质，掌握阴影部分面积的求法是解题的关键．2．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．【解析】解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=cm，∴B′C′=cm，∴S扇形B′OB=cm2，S扇形C′OC=cm2，∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′OS△BCOS扇形C′OC=S扇形B′OBS扇形C′OC=cm2；故选：B．【点睛】此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键．3．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在该圆上．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作辅助线求出的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式即可求解.【解析】分别连接OA、OB、O、OC、O、AC、A，∵OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB=，同理可得：∠OA=，∴∠AB=，∵∠DAB=，∴∠AD=，由旋转变换的性质可知旋转角为，∵AB=BC=2，∠ABC=，∴AC=，∴点C运动的路线长为，故选：A.【点睛】此题考查正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定及性质，综合掌握各知识点是解题的关键.4．把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，进而求出BE，最后用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案．【解析】在中，，∴，，，连接，则，∵外圆弧与斜边相切，∴∠BEO＝90°，在中，，，，根据勾股定理得，，，故选：C．【点睛】此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键．5．如图，等边的边长为，以为圆心，为直径的半圆经过点，连接，相交于点，将等边从与重合的位置开始，绕着点顺时针旋转，交点运动的路径长是()A． B． C． D．【答案】B【分析】点P的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形CDM的外接圆的半径，利用弧长公式计算即可.【解析】∵∠AOB=60°，∴∠AOC+∠BOD=120°，∴∠BCD+∠ADC=(∠AOC+∠BOD)=60°，∴∠CPD=120°，∴点P的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形CDM的外接圆的半径，连接O，∵CO=DO，∴O⊥CD，∵四边形CMDP是圆内接四边形，∴∠CMD+∠CPD=180°，∴∠CMD=60°，∴∠CD=2∠CMD=120°，∴∠CO=60°，在Rt△CO中，CO=AO=,∴C=,∴交点运动的路径长为，故选：B.【点睛】此题考查等边三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的对角互补的性质，锐角三角函数求线段长，弧长公式，正确理解点P的起点为点C，终点为点D得到点P的运动路径是劣弧是解题的关键.二、填空题6．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AO＝1．分别以点A、B为圆心，AO、BO长为半径画弧，与相交，则图中阴影部分的周长为_____．【答案】π+2【分析】连接AC，OC，根据题意可得三角形AOC是等边三角形，即可知道∠OAC＝∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据弧长公式代入即可求得答案．【解析】如图，连接AC，OC，则AC＝OA＝OC，∴∠OAC＝∠AOC＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠COB＝30°，∴图中阴影部分的周长为＝π+2，故答案为：π+2．【点睛】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是本题的关键．7．如图，AB为圆锥轴截面△ABC的一边，一只蚂蚁从B地出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，其中AB＝6，OB＝3，请蚂蚁爬行的最短距离为____．【答案】【分析】如图圆锥的侧面展开图为扇形CAC′，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，根据题意可列式2π×3，解得n＝180，则可知∠CAB′＝90°，由D为AC的中点，可知AD＝3，则在Rt△ADB′中，由勾股定理可算出蚂蚁爬行的最短距离．【解析】圆锥的侧面展开图为扇形CAC′，如图，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，根据题意得2π×3，解得n＝180，∴∠CAB′＝90°，∵D为AC的中点，∴AD＝3，在Rt△ADB′中，B′D＝，∴蚂蚁爬行的最短距离为，故答案为．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，圆锥的侧面展开图，能够熟练运用勾股定理是解决本题的关键．8．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点的对应点落在边上，交于点，则图中阴影部分的面积为______．【答案】【分析】根据旋转的性质，可得，，再由勾股定理可得，再证得为等边三角形，可得，，进而得到，，再根据阴影部分的面积等于，即可求解．【解析】解：根据题意得：，，在中，，，，∴AB=2BC=4，，∴，，∴为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴阴影部分的面积等于．故答案为：【点睛】本题主要考查了求扇形面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，根据题意得到阴影部分的面积等于是解题的关键．9．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1），它是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧围成的“曲边三角形”．如图2，勒洛三角形的周长_______圆的周长．（填“大于”、“等于”或“小于”）【答案】等于【分析】设等边三角形的边长为，分别计算勒洛三角形的周长和圆的周长，再比较即可．【解析】设等边三角形的边长为∴勒洛三角形的周长，圆的周长，∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故答案为：等于．【点睛】本题考查了弧长公式，正确的理解勒洛三角形是解题的关键．10．如图，矩形ABCD为的内接矩形，，，点E为弧BC上一动点，把弓形ABE沿AE折叠，使点O恰好落在弧AE上，则图中阴影部分的面积为______．【答案】【分析】连接AC和BD，先说明点B是弧AE所在圆的圆心，且△ABO是等边三角形，再用扇形BAG的面积减去△ABF的面积即可得到结果．【解析】解：连接AC和BD，由题意可得：AC和BD都经过点O，∵，，∴AC=BD=，∴AO=BO=AB=，可得点B是弧AE所在圆的圆心，且△ABO是等边三角形，∴∠BAE=∠OAE=30°，∴BF=ABtan30°=2，∴阴影部分面积==，故答案为：．．

【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，扇形面积，知识点较多，解题的关键是根据题意得到点B是圆心．三、解答题11．如图，是的直径，是弦，直线经过点，于点，．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若的半径为4，，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)答案见详解；(2)答案见详解；(3)．【分析】（1）连接OC，根据OA=OC，得，得，得得证；（2）证，对应边成比例，从而得证；（3）先计算梯形OCDA的面积，再减去扇形OCA的面积即得解．（1）证明：如图，连接OC，，，，，，，，OC是半径，EF是的切线．（2）证明：如图，连接BC，AB是直径，，，，，．（3）解：，，，是等边三角形，，，在中，，，==．【点睛】此题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，梯形的性质，扇形的面积等，能否熟练运用性质进行推理与计算是解题的关键．12．如图，AB是⊙O直径，以AB为边作等腰△ABC，且AB＝BC，⊙O与边AC相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，并交AB的延长线于点F．(1)求证：DF是⊙O的切线．(2)若DF＝2，∠F＝45°，求由线段BF、FD及所围成的图形（阴影部分）面积．(3)若tanA，BD＝1，求FD的长．【答案】(1)见解析(2)4π(3)【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质可证OD∥BC，可得DE⊥OD，可证DF是⊙O的切线；（2）由等腰直角三角形的性质可求OD＝DF＝，由面积和差关系可求解；（3）通过证明△FDB∽∠FAD，可得，由锐角三角函数可求AD=3，由勾股定理可求AB的长，即可求解．（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠ODA＝∠BCA，∴OD∥BC，又∴DE⊥BC，∴DE⊥OD，又∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：∵∠F＝45°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝45°，∴，∴，∴，∴S阴影＝S△ODF﹣S扇OBD＝4﹣π；（3）解：由（1）知，∠FDB＝90°﹣∠ODB，又∵∠FAD＝90°﹣∠OBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠FDB＝∠FAD．又∵∠BFD＝∠DFA，∴△FDB∽∠FAD．∴，∵，BD＝1，∴AD＝3，∴AB，∴，∴FD＝3FB，FA＝3FD，∴FA＝9FB＝AB+FB，∴8FB，∴FB，∴FD．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．13．在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连接PB，将沿PB折叠得到．(1)如图1，若，且与所在的圆相切于点B，求AP的长；(2)如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且．①试说明PO＝DB，②求扇形AOB的面积．（结果保留）【答案】(1)(2)①见解析；②【分析】（1）利用折叠的性质和解直角三角形求得OP的长即可；（2）①连接OD，利用平行线的性质和折叠的性质分别证得，即可；②只要求得即可求解(1)连接交于点，由折叠可知，BP垂直平分，，，．∵与圆相切，，∴，∴，∵，，∴，∴在中，，∴．∴．(2)①连接OD，∵点D为的中点，∴．∵，∴，∴，∴．由折叠可知，，同理可得：，所．②在①的基础上，可证得．所以．【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，圆心角，弧，弦之间的关系，弧长公式，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．14．如图，在矩形中，点E在边延长线上，，交延长线于点G，边交于点F，，以为半径的交边于点P、Q，交于点M，延长交边于点N．(1)求证：．(2)若，，求扇形的面积．(3)延长交于点H，且，记，四边形的面积为S，求S关于x的函数表达式．【答案】(1)见解析(2)14π(3)S＝x2【分析】（1）根据四边形是矩形，证明，根据，证明，得到，根据，推出，得到；（2）根据，推出，根据，，推出，得到，根据，推出，推出，推出；（3）根据，得到，，推出，根据，，推出，得到，设，根据，推出，，，根据勾股定理推出，解得，（舍），根据三角形面积公式得到．【解析】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设，∵，∴，，，∵，∴，∴，（舍），∴．【点睛】本题主要考查了矩形，全等三角形，扇形，等腰三角形，勾股定理，三角形面积等，解决问题的关键是熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的性质和面积公式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，解一元二次方程，三角形面积公式．15．如图，等边△内接于圆中，已知点坐标为（，0），圆交y轴正半轴于点．(1)请直接写出点、的坐标；(2)如图1，过点作圆的切线交y轴于点，求图中阴影部分的面积；(3)如图2，点为中点，连接，、分别在线段和y轴正半轴上，且满足，连接交于点，当△为等腰三角形时，试求点的坐标．【答案】(1)，；(2)(3)（0，2）或【分析】（1）连接AC，过点B作BF⊥AO于点F，根据∠AOC=90°，可得AC为圆N的直径，再根据等边三角形的性质可得AC与BF交于点N，连接ON，过点N作NE⊥OC于点E，则OE=CE=NF，再根据等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂径定理，求出OF，BF，OC的长，即可求解；（2）根据切线的性质可得∠DAN=90°，从而得到∠OAD=60°，再根据阴影部分的面积等于，即可求解；（3）设OP=x，则，然后分三种情况讨论：若OP=OM，当PM=OM时，当OP=PM时，即可求解．（1）解：如图，连接AC，过点B作BF⊥AO于点F，∵∠AOC=90°，∴AC为圆N的直径，∵△AOB为等边三角形，∴AF=OF，∠OAB=60°，∴BF过圆心N，即AC与BF交于点N，∴连接ON，过点N作NE⊥OC于点E，则OE=CE=NF，∵点坐标为（，0），∴OA=AB=OB=4，∴AF=ODF=2，∴，，∴，∴点，；（2）解：∵AD为圆N的切线，∴AN⊥AD，即∠DAN=90°，∵∠DAN=30°，∴∠OAD=60°，，∴，∵AN=ON，∴∠AON=∠OAN=30°，∴∠ANO=120°，∴阴影部分面积等于；（3）解：∵H为AB的中点，∴∠BOH=30°，OH⊥AB，AH=BH=2，∴，设OP=x，则，当OP=OM时，如图，过点M作ME⊥y轴于点E，∴∠OPM=∠OMP=75°，∴∠QMO=105°，∵∠QOM=90°∠AOB=30°，∴∠OQM=45°，，∴△QEM是等腰直角三角形，，∴，∴，解得：，∴，此时点Q的坐标为（0，2）；当PM=OM时，如图，∴∠OPM=∠POM=30°，∵∠AOH=30°，∴∠AOH=∠OPM，∴，∴PQ⊥y轴，∴，∴，解得：，即∴点Q的坐标为；当OP=PM时，∠OMP=∠POM=30°，∴∠OMP=∠BOC，∴轴，即此时PQ与y无交点，不合题意，舍去；综上所述，点Q的坐标为（0，2）或．【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，共度了等知识，作适当辅助线构造直角三角形，利用分类讨论思想解答是解题的关键．培优第三阶——中考沙场点兵一、单选题1．（2022·浙江金华·一模）已知一个底面半径为的圆锥，它的母线长是，则这个圆锥的侧面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆锥侧面积的公式：底面周长×母线长÷2，进行计算即可得．【解析】解：圆锥的侧面积：（），故选：A．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥侧面积的公式．2．（2022·浙江温州·三模）如图，PA，PB分别切⊙O于点为A，B，若，的长为，则的半径为（

）A．9 B．18 C．36 D．72【答案】C【分析】连接OA，OB，根据切线的性质可求∠AOB=130°，根据弧长公式可求半径．【解析】解：连接OA、OB，如图，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO=∠PBO=90°，又∵∠P=50°，∴∠AOB=130°，∵，∴r=36．故选C．【点睛】本题考查了切线的性质和弧长公式，掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键．3．（2023·福建·泉州五中三模）如图，在边长为1的正方形中，对角线的中点为O，分别以点A，C为圆心，以的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】阴影部分的面积可以看作是正方形的面积减去一个半径为的半圆的面积；【解析】∵正方形ABCD的边长为1，∴AC==，∴AO=，图中两个扇形的面积可看作是一个半径为的半圆的面积，∴S阴影=S正方形S半圆，=1×1π×，=．故选：A【点睛】本题考查图形面积的计算；熟练掌握不规则图形的面积的计算是解决本题的关键．4．（2022·山东省实验初级中学模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E．则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接根据正方形的性质求得，则可得，利用即可求得答案．【解析】解：连接，四边形为正方形，且边长为4，，，，，，，，，故选C．【点睛】本题考查了扇形面积的计算、正方形的性质、梯形面积的计算，借助辅助线求出扇形的面积是解题的关键．5．（2022·内蒙古北方重工业集团第一中学三模）如图，点A，B，C是上的点，连接，且，过点O作交于点D．连接，已知半径为2，则图中阴影面积为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆周角定理可得∠AOB=30°，再由，可得，从而得到阴影面积等于扇形AOB的面积，即可求解．【解析】解：∵，∴∠AOB=30°，∴，∵，∴，∴阴影面积等于扇形AOB的面积，∴阴影面积等于．故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．二、填空题6．（2022·陕西·西安滨河学校三模）如图，是的直径，，，CD⊥AB，则劣弧的长为______．【答案】##【分析】根据，可以得到的度数，然后根据垂径定理，可以得到的度数，再根据弧长公式计算即可．【解析】解：，，是的直径，，，，，劣弧的长为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查垂定理以及径弧长的计算，明确弧长公式是解答本题的关键．7．（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学模拟预测）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l=6，扇形的圆心角，则该圆锥的底面圆的半径r长为______．【答案】2【分析】结合题意，根据弧长公式，可求得圆锥的底面圆周长．再根据圆的周长的公式即可求得底面圆的半径长．【解析】∵母线l长为6，扇形的圆心角，∴圆锥的底面圆周长，∴圆锥的底面圆半径．故答案为：2．【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图的相关计算，弧长公式等知识．掌握圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长是求解本题的关键．8．（2022·福建省福州延安中学模拟预测）如图，AB＝12，点C，D为线段AB的三等分点，则以四段圆弧围成的阴影部分面积为_____．【答案】【分析】根据，把阴影部分的面积转化为以AB为直径的半圆面积以DC为直径的半圆面积，得出结果．【解析】解：∵C、D是线段AB的三等分点，∴AD=BC=，CD=，，∴，故答案为．【点睛】本题考查求不规则图形的面积，解决问题的关键是把不规则图形转化为规则图形面