第一章整式的乘除（易错与强化）-2023-2024学年七年级数学下册单元速记巧练（北师大版）

第一章整式的乘除易错点1幂的乘法运算【指点迷津】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．1．已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（）A．6 B．﹣6 C． D．8【答案】D【解答】解：∵x+y﹣3＝0，∴x+y＝3，∴2y•2x＝2x+y＝23＝8，故选：D．2．若2x+y﹣2＝0．则52x•5y＝25．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵2x+y﹣2＝0，∴52x•5y＝52x+y＝52＝25．故答案为：25．3．若3x+2＝36，则＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：原等式可转化为：3x×32＝36，解得3x＝4，把3x＝4代入得，原式＝2．故答案为：2．4．若3m•32n＝81，则m+2n＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：3m+2n＝34，m+2n＝4，故答案为：4．5．若9×32m×33m＝322，则m的值为4．【答案】4．【解答】解：∵9×32m×33m＝32×32m×33m＝32+2m+3m＝32+5m＝322，∴2+5m＝22，解得m＝4．故答案为：4易错点2幂的乘方与积的乘方【指点迷津】牢记根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则6．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a【答案】A【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122．则a＞b＞c．故选：A．7．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（）A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12【答案】B【解答】解：∵（ambn）3＝a9b15，∴a3mb3n＝a9b15，∴3m＝9，3n＝15，∴m＝3，n＝5，故选：B．8．计算的结果是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：＝••＝•＝1×＝．故选：A．9．已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（）A．1 B．6 C．7 D．12【答案】D【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4，∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12．故选：D．10．若a2n＝5，b2n＝16，则（ab）n＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a2n＝5，b2n＝16，∴（an）2＝5，（bn）2＝16，∴，∴，故答案为：．11．若a3m+n＝54，am＝3，则an＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a3m+n＝（am）3•an＝54，am＝3，∴．故答案为：212．已知10x＝a，5x＝b，求：（1）50x的值；（2）2x的值；（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）50x＝10x×5x＝ab；（2）2x＝＝＝；（3）20x＝＝＝易错点3同底数幂的除法【指点迷津】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．熟悉逆用同底数幂的除法法则以及积的乘方法则。13．若am＝8，an＝2，则am﹣2n的值是2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵am＝8，an＝2，∴am﹣2n＝am÷a2n＝am÷（an）2＝8÷22＝2，故答案为：2．14．已知3×9m×27m＝321，求（﹣m2）3÷（m3•m2）的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+5m＝321，∴1+5m＝21，∴m＝4，∴（﹣m2）3÷（m3•m2）＝﹣m6÷m5＝﹣m＝﹣4．易错点4多项式乘多项式【指点迷津】用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积15．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1【答案】A【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，∴3+m＝0，解得m＝﹣3．故选：A．易错点5完全平方公式及几何背景【指点迷津】牢记完全平方公式16．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128 B．256 C．512 D．1024【答案】C【解答】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20，当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22，•••当n＝9时，展开式的项系数和为＝29＝512，故选：C．17．已知a+＝5，则a2+的值是23．【答案】见试题解答内容【解答】解：a2+＝．故答案为：23．18．若x﹣y＝6，xy＝7，则x2+y2的值等于50．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为x﹣y＝6，xy＝7，所以x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝62+2×7＝50，故答案为：50．19．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和15，则正方形A，B的面积之和为18．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：设正方形A、B的边长分别为x，y，依题意得：，化简得：由①+②得：x2+y2＝18，∴，故答案为18．20．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝30．（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝156．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）证明：（a+b+c）（a+b+c），＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，＝102﹣2（ab+ac+bc），＝100﹣2×35，＝30．故答案为：30；（4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，∵（5a+7b）（9a+4b），＝45a2+20ab+63ab+28b2，＝45a2+28b2+83ab，∴x＝45，y＝28，z＝83．∴x+y+z＝45+28+83＝156．故答案为：156．21．（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积．方法①：（m+n）2﹣4mn；方法②：（m﹣n）2；（2）根据（1）写出一个等式：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）若x+y＝8，xy＝3.75，利用（2）中的结论，求x，y；（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图2，它表示了（2m+n）（m+n）＝2m2+3mn+n2．试画出一个几何图形，使它的面积能表示（2m+n）（m+2n）＝2m2+5mn+2n2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）方法①：（m+n）2﹣4mn，方法②：（m﹣n）2；故答案为：（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2；（2）由（1）可得：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）由（2）可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∵x+y＝﹣8，xy＝3.75，∴（x﹣y）2＝64﹣15＝49，∴x﹣y＝±7；又∵x+y＝8，∴或；（4）如图，表示（2m+n）（m+2n）＝2m2+5mn+2n2：22．乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：（a+b）2；方法2：a2+b2+2ab（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．（a+b）2＝a2+2ab+b2（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）图2大正方形的面积＝（a+b）2图2大正方形的面积＝a2+b2+2ab故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由题可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2＝a2+2ab+b2故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（3）如图所示，（4）①∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，又∵a2+b2＝11，∴ab＝7；②设2018﹣a＝x，a﹣2017＝y，则x+y＝1，∵（2018﹣a）2+（a﹣2017）2＝5，∴x2+y2＝5，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴xy＝＝﹣2，即（2018﹣a）（a﹣2017）＝﹣2．易错点6平方差公式及几何背景【指点迷津】牢记平方差公式23．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（）A．（﹣b﹣c）（﹣b+c） B．﹣（x+y）（﹣x﹣y） C．（x+y）（x﹣y） D．（x+y）（2x﹣2y）【答案】B【解答】解：A、（﹣b﹣c）（﹣b+c）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B、﹣（x+y）（﹣x﹣y）＝（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D、（x+y）（2x﹣2y）＝2（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．故选：B．24．若代数式M•（3x﹣y2）＝y4﹣9x2，那么代数式M为（）A．﹣3x﹣y2 B．﹣3x+y2 C．3x+y2 D．3x﹣y2【答案】A【解答】解：∵（﹣3x﹣y2）•（3x﹣y2）＝y4﹣9x2，∴M＝（﹣3x﹣y2）．故选：A．25．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（）A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2【答案】D【解答】解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．∴x6﹣1＝0．∴x6＝1．∴（x3）2＝1．∴x3＝±1．∴x＝±1．当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0．当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2．故选：D．26．已知a﹣b＝3，a2﹣b2＝9，则a＝3，b＝0．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝9，∴a+b＝3，联立方程组，解得：a＝3，b＝0．27．如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【答案】D【解答】解：图1阴影部分的面积等于a2﹣b2，图2梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）根据两者阴影部分面积相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2比较各选项，只有D符合题意故选：D．28．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为3m+6．【答案】见试题解答内容【解答】解：依题意得剩余部分为（2m+3）2﹣（m+3）2＝4m2+12m+9﹣m2﹣6m﹣9＝3m2+6m，而拼成的矩形一边长为m，∴另一边长是（3m2+6m）÷m＝3m+6．方法2，根据拼接前后图形边长的特点，可得拼接后的长方形的一边长为（2m+3）+（m+3