特训01二次函数压轴题（四大题型归纳）

特训01二次函数压轴题（四大题型归纳）题型1：存在性问题题型2：最值、取值范围问题题型3：圆在二次函数中的应用题型4：新定义情景题题型1：存在性问题1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当的面积与的面积相等时，求点P的坐标；(3)是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的函数表达式为(2)点P的坐标为(3)存在，点P的横坐标为或7．【分析】（1）根据一次函数求出A、C两点坐标，代入解析式求解即可得到答案；（2）根据A、B、C点坐标即可得到，求出的面积，分点P在下方或上方两类列方程即可得到答案；（3）由（2）得，作的垂直平分线交于一点F，求得，即，过点作，过点作交于点，得到，即点在直线上，求得直线的解析式，根据一次函数与二次函数交点问题联立方程求解即可得到答案．【解析】（1）解：当时，，故，当时，，，故，将，代入解析式得，，解得：，∴；（2）解：①点P在下方时，如图所示，连接，设，∴，当，解得：，，故，∵，，∴，，，∴，∴，∴，∵的面积与的面积相等，∴，即，∵，无解，②当点P在上方时，如图所示，连接，设，∴，∵的面积与的面积相等，∴∴（与B重合，舍去），，当时，，∴；（3）解：∵,，，∴∴，∴是直角三角形，∴，如图所示，作的垂直平分线交于一点F，连接，则，∴∴，∵∴设，则，∵，在中，，即，解得：，则∴∴如图所示，过点作，过点作交于点，则即，即点在直线上，∵∴，在中，,∴过点作轴，则∴，∴,，∴设直线的解析式为即∴即，联立解得：（舍去），同理可得设直线的解析式为则解得：∴联立解得：（舍去），综上，点P的横坐标为或7．【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2．如图①，在平面直角坐标系中．抛物线与轴交于，两点点在点右侧，，与轴交于点．直线经过点，．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图②，点为上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求周长的最大值；(3)在(2)的条件下，若点是轴上的动点，点为平面内一点，是否存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)当时，周长的最大值为(3)存在，点的坐标为，或，或，或，或，【分析】（1）求出点，的坐标，由可得点的坐标，利用待定系数法即可求解；（2）设点，，可得、的坐标，利用勾股定理求出，，，根据二次函数的最值即可求解；（3）分三种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解．【解析】（1）解：直线，令得，令得，解得．，，，，，，，将，，，，，代入得，，解得，抛物线的解析式为；（2）设点，轴，，，，轴，，，，，，点为上方抛物线上一点，，，的周长，当时，周长的最大值为；（3）存在，由（2）知时，，，设，，①线段为菱形的边，四边形为菱形时，如图，

，，，，或，，四边形为菱形，点的坐标可由点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到，点可由点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到，，或，；②线段为菱形的边，四边形为菱形时，如图，

，，，，或，，四边形为菱形，点的坐标可由点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，点可由点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，，或，；③线段为菱形的对角线，四边形为菱形时，如图，

，，，设，，，解得，，解得，，．综上所述，存在，点的坐标为，或，或，或，或，．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求抛物线、坐标与图形性质、勾股定理、菱形的性质、两点间的距离、二次函数的性质、一次函数的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握待定系数法和菱形的性质，分类讨论是解题的关键．3．如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标；(3)为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)或或或【分析】（1）由点、点的坐标和对称轴的值列出方程组，即可求出抛物线解析式．（2）由抛物线解析式可求出顶点的坐标，进而求出和的面积，由面积可推出的边上的高，求出到距离等于的直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，即可求出点的坐标．（3）若是等腰三角形，通过作图画两圆一线来确定点的位置，再根据半径的长度及勾股定理求出点的坐标．【解析】（1）解：将点，点代入抛物线解析式，由对称轴，得解得，抛物线解析式为：．（2）将代入抛物线解析式得：，顶点，，设直线解析式为：，将点，点代入，得解得，直线的解析式为：如图，设直线与对称轴的交点为，将代入点，，，设中边上的高为，则，如图，设在直线下方的轴上有一点到的距离为，且，，，是等腰直角三角形，点在过点与直线平行的直线上，即将直线向下平移个单位长度即可得到直线，直线的解析式为：联立，解得：或点的坐标为，．

（3）点与点关于对称轴对称，点，点，①如图，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形．由图知：点位于点上方时，、、三点共线，所以此点舍去；点位于点下方时，点与点重合，此时点的坐标为．

②如图，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形．在中，，，此时点的坐标为或．

③如图，作线段的垂直平分线，与交于点，与轴交于点，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形．连接，为线段的垂直平分线，，点为中点，，，由中点坐标公式得点设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，点设直线的解析式为：，将，代入解析式，得，解得，直线解析式为：将代入直线解析式得：，此时点．

综上所述：点Ｍ的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数因动点产生的三角形面积问题、因动点产生的等腰三角形问题，求出到底边的距离等于高的直线解析式，利用画“两圆一线”构造等腰三角形是解题的关键．4．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；(2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；(3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为；(2)；(3)点的坐标为或或或【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；（3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质可得点N的坐标；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，当点M绕点O逆时针得到点E时，根据旋转的性质，可得点N的坐标．【解析】（1）解：∵抛物线经过点和，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵点和，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，设，且，则，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，依题意得，解得（舍去）或，∴；（3）解：令，则，解得或，∴，同理，直线的解析式为，∵四边形是正方形，∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，

，，∴，∴，，设，∴，，则，∵点M在直线上，∴，解得或，当时，，，即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时；当时，，，点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M，则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N，∴，即；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，如图，∵点E在的图象上，∴，∴点，∵点E在的图象上，∴，解得：或0，∴，，当点M绕点O逆时针得到点E时，点，，∵点E在的图象上，∴，解得：，∴点，，，，∴点N的坐标为或；综上，点的坐标为或或或．【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．题型2：最值、取值范围问题5．已知抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

(1)若点M是抛物线的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标；(2)在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；(3)若，且，求a的取值范围．【答案】(1)(2)面积最大值为，(3)或【分析】（1）设抛物线的顶点式为，将N点代入即可求a的值，从而确定函数的解析式；（2）设，先求出直线的解析式，过P点作轴交于点G，则，，从而得到，当时，的面积有最大值，此时，求出直线与x轴的交点为，再求，即可求四边形面积的最大值；（3）先求出抛物线的解析式，分别求出当时以及当时，a的取值，即可．【解析】（1）解：∵点M是抛物线的顶点，∴可设抛物线解析式为，∵抛物线过点，∴解得：，∴抛物线的解析式为，当时，，解得或1，∴，当时，，∴；（2）解：设，设直线的解析式为，把代入得：，解得，∴直线的解析式为，过P点作轴交于点G，∴，∴，∴，当时，的面积有最大值，此时，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∴直线与x轴的交点为，∴，∴四边形面积的最大值为；（3）解：将和两点代入，∴，解得，∴，当时，，解得：，当时，，解得，∴或．

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用铅锤法求三角形面积的方法是解题的关键．6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于O，A两点，过点A的直线与y轴交于点C，交抛物线于点D．

(1)直接写出点A，C，D的坐标；(2)如图1，点B是直线上方第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值；(3)如图2，若点M在抛物线上，点N在x轴上，当以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．【答案】(1)(2)(3)，，【分析】（1）令，，分别求出二次函数图形和坐标轴的交点，再联立二次函数和一次函数求出交点，即可得到交点；（2）过点B作轴于点F，交AC于点E，过点D作轴于点H，交于点G，利用面积求，将三角形的面积转化为二次函数，求最值即可；（3）当点M在x轴上方时，当点M在x轴下方，分两种情况讨论，利用平行四边形的性质进行求解即可．【解析】（1）解：当时，，解得：，∴，当时，，∴，联立二次函数和一次函数解析式，得：，整理得：，解得：，当时，，∴；（2）解：如图1，过点B作轴于点F，交AC于点E，过点D作轴于点H，交于点G，

设，则，∴，∴，当时，有最大值为；（3）解：①当点M在x轴上方时，如图2，以A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，

则，由对称性得到，即，故，∴，；②当点M在x轴下方时，如图3：

过点M作轴于点P，过点D作轴于点Q，则：，∵以A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴，将代入抛物线解析式得：，解得：或，∴或，∴或，符合条件的N点有：，，．【点睛】本题考查二次函数的综合应用.熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．7．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为点D．(1)求二次函数表达式和点D的坐标；(2)连接、，求外接圆的半径；(3)点P为x轴上的一个动点，连接，求的最小值；(4)如图2，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，且点E的纵坐标为，动点M从点C出发，沿平行于x轴的直线a向右运动，连接，过点M作的垂线b，记直线b与抛物线对称轴的交点为N，当直线b与直线a重合时运动停止，请直接写出点N的运动总路程．【答案】(1)，(2)(3)(4)【分析】（1）把和点代入求出b和c的值，即可得出函数表达式，将其化为顶点式，即可求出点D的坐标；（2）先求出点C的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出，根据勾股定理逆定理，得出，最后根据直角三角形的外心与斜边中点重合，即可求解；（3）过点P作于点M，作关于x轴的对称线段，则，点M关于x轴的对称点在，，通过证明，得出，则当点三点共线时，取最小值，即为的长度，用等面积法求出的长度即可；（4）连接，先求出点，根据，，可设，，再根据两点之间的距离公式得出，，，，然后根据勾股定理可得：，即可得出n关于m的表达式，将其化为顶点式后可得当时，n随m的增大而减小，当时，n随m的增大而增大，再求出当时，点N经过的路程为，以及当时，点N经过的路程为，即可求解．【解析】（1）解：把和点代入得：，解得：，∴该二次函数的表达式为：，∵，∴点D的坐标为；（2）解：把代入得，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴外接圆半径；（3）解：过点P作于点M，作关于x轴的对称线段，则，点M关于x轴的对称点在上，，，，

，，当点三点共线且时，取最小值，即为的长度，，，即的最小值为．（4）解：连接，把代入得，解得：，

∴，∵，，∴设，，∴，，，，根据勾股定理可得：，∴，整理得：，∴，∴当时，n随m的增大而减小，当时，n随m的增大而增大，∵动点M从点C出发，直线b与直线a重合时运动停止，，∴，∵当时，，当时，，当时，，∴当时，点N经过的路程为：，当时，点N经过的路程为：，∴点N经过的总路程为：．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式，直角三角形外接圆圆心为斜边中点，胡不归问题的解决方法，以及勾股定理和二次函数图象上点的坐标特征和勾股定理．8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线的抛物线也经过点、点，并与轴正半轴交于点．(1)抛物线的函数表达式；(2)设点，点在抛物线对称轴上，并使得的周长最小．过点任意作一条与轴不平行的直线交此抛物线于、两点，试探究的值是否为定值？说明理由；(3)将抛物线适当平移后，得到抛物线，若当时，恒成立，求的最大值．【答案】(1)(2)是定值，见解析(3)【分析】（1）根据一次函数图像与坐标轴的交点分别解出点的坐标，根据抛物线的对称轴解出点的坐标，根据待定系数法即可求解抛物线的解析式；（2）根据轴对称求线段的最小值，图形结合分析，计算出点的解析式，再解出点的坐标，用点分别表示出直线的解析式，根据勾股定理分别的值，由此即可求解；（3）根据抛物线的平移确定平移为左右平移，由此确定的二次项系数，图形结合，根据二次函数与直线的交点的情况判断的取值，由此即可求解．【解析】（1）解：一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，令，则，令，则，∴，，方法一：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线过点，，且抛物线与轴正半轴交于点，∴，设函数表达式为，点代入得，∴抛物线的解析式为；方法二：将点，，对称轴，分别代入，∴，解得：，∴抛物线的解析式为．（2）解：的值是定值，理由如下，∵的周长为，由的周长最小，的长是定值，∴最小，∵点，点关于对称轴对称，∴如图所示，连接交对称轴于点，设所在直线的解析式为，且，，∴，解得，，∴直线的解析式为，∵点在抛物线的对称轴的直线上，∴点的纵坐标为，∴，∵过点任意作一条与轴不平行的直线交此抛物线于、两点，如图所示，过点作的平行线，过点作轴的平行线，交于点，∴设，把点代入得，∴，∴∴直线的解析为，∴，整理得：，∴根据韦达定理得，，∵点、在直线上，在中，，∴，，∴，∴，同理：，，∴，∴的值是定值．（3）解：∵，设，∴，设新的抛物线与直线的相交的横坐标分别设为，如图所示，∵将抛物线适当平移后，得到抛物线，∴抛物线是左右平移，则，∴，由抛物线左右平移得到，观察图像，随着图像向右平移，的值不断增大，若当时，恒成立，即，则的最大值在处，∴当时，对应的为最大值，∴，∴，（舍），∴，∴，解得，，，∴的最大值为．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，掌握二次函数图像的性质，函数图像平移的性质，一次函数与二次函数交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．9．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接．

(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________．(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接、．若的面积，求点P的坐标．(3)设E为线段上任意一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．(4)若点Q在y轴上，当取得最大值时，直接写出点Q的坐标________．【答案】(1)，(2)或或(3)点M的运动时间的最小值为7秒(4)或【分析】（1）根据抛物线计算即可；（2）利用同底等高的三角形面积相等构造与平行直线，找到与抛物线的交点P；（3）如图，在x轴上取一点G，连接，使得，作于N．作于交于．由点M的运动时间，，推出点M的运动时间，根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与重合，点E与重合时，点M的运动时间最少．由此即可解决问题；（4）构造以A、B为弦的圆，由圆周角性质，当圆与y轴相切时，取得最大值．【解析】（1）解：当时，，当时，，解得：，，故答案为：，；（2）解：设x轴上点D，使得的面积，，解得：，，，则可求直线解析式为：，故点D坐标为或，当D坐标为时，过点D平行于的直线l与抛物线交点为满足条件的P，则可求得直线l的解析式为：，求直线l与抛物线交点得：，解得：，，则P点坐标为或，同理当点D坐标为时，直线l的解析式为，求直线l与抛物线交点得：，解得：（舍弃），，则点P坐标为，综上满足条件P点坐标为：或或；（3）解：如图，在x轴上取一点G，连接CG，使得，作于N．作于交BC于．

，，，，直线的解析式为，点M的运动时间，，点M的运动时间，根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与重合，点E与重合时，点M的运动时间最少．由题意，，，点M的运动时间的最小值为7秒，此时．（4）解：以边为弦作圆，圆心F在x轴上方，当圆F与y轴切于点Q时，取得最大值．如图2：连接、、，作于点H，

则可知，，，∴点Q坐标为，根据对称性可知，当点Q在x轴下方时，点Q的坐标为，故答案为：或；【点睛】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质，作辅助线构造圆是解答本题的关键．10．如图，二次函数的图像与直线的图像交于，两点，点的坐标为，点的坐标为.(1)求二次函数的表达式.(2)点是线段上的动点，将点向下平移个单位得到点.①若点在二次函数的图像上，求的最大值.②若，线段与二次函数的图像有公共点，请求出点的横坐标的取值范围.【答案】(1)；(2)①，②或【分析】（1）待定系数法计算即可．（2）①设点的坐标为，则点的坐标为，把代入构造h为函数的二次函数计算即可．②当，点的坐标为代入解析式，确定m的值，结合图像计算即可．【解析】（1）把，代入得：，解得，，∴．（2）①设点的坐标为，则点的坐标为．把代入，得：，，∵，当时，且满足，∴．②设点的坐标为，则点的坐标为.当，点的坐标为，把代入得：，∴或．∴或．【点睛】本题考查了抛物线的解析式，最值，点的平移，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．11．定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．

(1)【概念理解】抛物线与抛物线________（填“能”或“不能”）围成“月牙线”．(2)【尝试应用】如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线与抛物线与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，，抛物线的解析式为，抛物线的解析式为．①求的长和的值；②将抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左或向右平移，平移后的“月牙线”与轴的交点记为，，与轴的交点记为，，当时，求平移的方向及相应的距离．【答案】(1)能，(2)①，，②抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移，或抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移个单位长度．【分析】（1）分别求解两条抛物线与x轴的交点坐标，再根据交点坐标与开口方向进行判断即可；（2）①根据先求解M，N的坐标，再求解，再把代入，可得c的值；②当抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移个单位长度，可得平移后的分别解析式为，，求解的纵坐标为，的纵坐标为，而，当抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左平移个单位长度，同理可得：，再建立方程求解即可．【解析】（1）解：当，解得：，，交点坐标为：，；当，解得：，，交点坐标为：，；而两条抛物线的开口方向都向上，∴抛物线与抛物线能围成“月牙线”（2）解：当时，解得：，，∴，，∴，把代入可得：．∴，②∵，，当抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移个单位长度，∴平移后的分别解析式为，，当时，，，

∴的纵坐标为，的纵坐标为，而，∴，解得：（负根舍去），∴此时抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向右平移个单位长度；当抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左平移个单位长度，同理可得：，解得：（负根舍去），∴此时抛物线与抛物线所围成的“月牙线”向左平移个单位长度．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，抛物线的平移，二次函数与一元二次方程的关系，理解题意，建立方程求解是解本题的关键．12．定义：若n为常数，当一个函数图象上存在横、纵坐标和为n的点，则称该点为这个函数图象关于n的“恒值点”，例如：点（1，2）是函数图象关于3的“恒值点”．

(1)判断点，，是否为函数图象关于10的“恒值点”．(2)如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，所得的新图象如图2所示．①求翻折后A，B之间的抛物线解析式．（用含b的代数式表示，不必写出x的取值范围）②当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，请用含b的代数式表示c．【答案】(1)是函数图象关于10的“恒值点”．(2)①；②或【分析】（1）由，在函数图象上，不在函数图象上，而，，可得是函数图象关于10的“恒值点”．（2）①由抛物线，再根据关于x轴对称的特点可得答案；②新图象分两部分，如图，当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，，，整理得：或，而与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，求解，当过点时，满足条件；，当与只有1个交点时，满足条件；即有两个相等的实数根，从而可得答案．【解析】（1）解：∵，在函数图象上，不在函数图象上，而，，∴是函数图象关于10的“恒值点”．（2）①∵抛物线，∴翻折后的抛物线的解析式为，∴翻折后的解析式为：，②新图象分两部分，如图，当新图象上恰好有3个关于c的“恒值点”时，

∴，，∴整理得：或，而与坐标轴构成的三角形是等腰直角三角形，令，解得：，∴，当过点时，满足条件；∴，当与只有1个交点时，满足条件；∴即有两个相等的实数根，∴，解得：；【点睛】本题考查的是轴对称的性质，二次函数的应用，利用待定系数法求解抛物线的解析式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．13．“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即．已知二次函数的图像经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（－1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足．

(1)求L（A，B）；(2)求抛物线的表达式；(3)已知是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是图像上的两个动点，且，求面积的最大值；②当时，若函数的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．【答案】(1)4；(2)；(3)①面积最大值为；②．【分析】（1）根据题干中对于“型距离”的定义，即可求解；（2）根据二次函数经过点、、三点，所以只要求出点坐标即可：根据点在直线上运动，所以可设点，根据列方程求解出的值，利用待定系数法列方程组即可求出抛物线的表达式；（3）①根据的一边长度固定等于5，所以只要求出顶点到的最大距离即可：由所在的直线过固定点,故直线的图像是绕点旋转的直线，当直线时，点到的距离最大，此时就是的最大面积，根据三角形面积公式求解即可；②根据，可得函数的解析式：，可知函数的图像是一个开口向下，对称轴是的抛物线，由此可知函数在对称轴上取得最大值，根据可知当时有最小值，最后根据函数的最大值与最小值之和是8，从而列出方程即可求出的值．【解析】（1）解：由题意得：，；（2）点在直线上运动，设点，且由平面上两点间距离，利用勾股定理得：即，又二次函数的图像经过，，，设代入解析式得：解方程组得：抛物线的表达式为；（3）①令时，直线恒过定点直线的图像是绕点旋转的直线，当直线时，点到的距离最大，面积也最大，过点作交直线于点

由点到直线的距离，垂线段最短知：，面积的最大值为②二次函数的对称轴为二次函数的图像开口向下，当时，函数值取得最大值又当时，函数值取得最小值函数的最大值与最小值之和为8整理得：解得：实数的值为．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了对于题干中“型距离”的理解能力、以及根据“型距离”以及用待定系数法求抛物线的表达式、根据垂线段最短求三角形最大面积、根据二次函数图像的性质求函数最值等，对知识的综合性很强．根据题意灵活运用所学知识以及扎实的计算基础是解此题的关键．题型3：圆在二次函数中的应用14．如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设直线y＝﹣x＋3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3(2)存在，P（2，﹣3）(3)等腰直角三角形，见解析【分析】（1）依题意联立方程组即可求出a，b的值后可求出函数表达式．（2）分别令，求出A、B、C三点的坐标，然后易求直线CM的解析式，证明四边形ANCP为平行四边形可求出点P的坐标．（3）求出直线与坐标轴的交点D、B的坐标，然后证明∠AEF＝∠ABC＝45°，AE=AF，可证△AEF为等腰直角三角形．【解析】（1）∵抛物线经过点（2，﹣3a），∴4a+2b﹣3＝﹣3a①，又因为抛物线对称为x＝1，∴②，联立①②，解得，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴M（1，﹣4），令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线MC为y＝kx﹣3，代入点M得k＝﹣1，∴直线MC为y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴N（﹣3，0），令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），过C作CP∥AN，使CP＝AN，则四边形ANCP为平行四边形，∴CP＝AN＝﹣1﹣（﹣3）＝2，∴P（2，﹣3），

∵P的坐标满足抛物线解析式，∴P（2，﹣3）在抛物线上，即P（2，﹣3）；（3）如图2，令x＝0，则y＝﹣x+3＝3，∴D（0，3），∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，同理，∠ABC＝45°，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠AEF＝∠ABC＝45°，

∠AFE＝∠DBO＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形．【点睛】本题综合考查了等腰三角形的判定,平行四边形的性质以及二次函数的结合图形的应用，难度较大．15．如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，．(1)求抛物线的函数解析式；(2)当为直角三角形时，求的值；(3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度．【答案】(1)；(2)当为直角三角形时，的值为1或2或5；(3)经过的路径长度为【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）分分别为直角，三种情况讨论，利用勾股定理进行求解即可；（3）根据为的外接圆，可知，点在线段的中垂线上，当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段，分别求出当、和时，点的坐标，然后利用两点间的距离公式，进行求解即可．【解析】（1）解：抛物线经过原点，且对称轴是直线，，，则、，抛物线解析式为；（2）解：设点，，点，则、、，①若，则，解得（舍或，，则直线解析式为，当时，，即，；②若，则，解得（舍或，，则直线解析式为，当时，，即，；③若，则，整理，得：，，，，，则或（舍，，直线解析式为，当时，，即，；综上，当为直角三角形时，的值为1或2或5．（3）为的外接圆，点在线段的中垂线上，当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段，当时，如图1，由（2）知，此时的外接圆圆心是的中点，，；当时，如图2，由（2）知，，此时的外接圆圆心是的中点，、，；当时，如图3，由（2）知，，此时的外接圆圆心是的中点，，；则点经过的路径长度为．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，以及数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，属于中考压轴题．16．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于两点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）若M是第一象限内线段上任意一点（不与B，C重合），轴于点H，与二次函数的图象交于点P，连接．设点M的横坐标为t，当是直角三角形时，求点M的坐标．（3）如图，若M是直线上任意一点，N是x轴上任意一点，且．以N为旋转中心，将逆时针旋转，使M落在Q点连接，则线段的最值为_______．（直接写出答案）【答案】（1）；（2）或；（3）最小值为，最大值为【分析】（1）根据A、B坐标，利用待定系数法求解；（2）求出BC表达式，分∠CPM=90°和∠PCM=90°两种情况分别求解；（3）作的外接圆⊙，连接，，，，过点作于点，过点作交的延长线于，分析出当Q，O′，B，三点共线时，BQ可取得最值，再求解．【解析】解：（1）设抛物线的表达式为：，∴，得，∴．（2）令，，∴点坐标为，设直线BC解析式为：，，解得，∴，∵点的横坐标为，∴点坐标为，∵，∴，∵轴，∴，∴，当时，则轴，是等腰直角三角形，∴．设点坐标为，∴，，∴，整理得：，解得：，（舍），∴点坐标为，当时，则，过作于，则轴，∴，∵，，∴，整理得：，解得：，（舍），∴点坐标为，综上所述，点坐标为或．（3）作的外接圆⊙，连接，，，，过点作于点，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，过点作交的延长线于，∵，∴，∵MN绕点逆时针旋转得到NQ，∴，，∵，∴，∴四边形QKGN是矩形，∴，，∴，∴在中，，∴当且仅当，，三点共线时，BQ取得最值，即，∴，∴线段BQ的最小值为，线段BQ的最大值为．【点睛】本题是二次函数综合题，还涉及外接圆的性质，待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，难度较大，解题时要结合图形，画出辅助线，解题的关键是根据三点共线得到取最值时的情况．题型4：新定义情景题17．在平面直角坐标系中，若对于任意两点，、，，都有，则称A、两点互为“友好点”．已知点．(1)若、、，则点A的“友好点”是；(2)若、都在双曲线上，且A、两点互为“友好点”．请求出点的坐标；(3)已知抛物线，，，为常数）．顶点为点，与轴交于A、两点，与直线交于、两点．若满足①抛物线过点；②为等边三角形；③、两点互为“友好点”．求的值．【答案】(1)(2)或(3)202【分析】（1）利用互为“友好点”的定义进行逐一判断即可得出结论；（2）利用待定系数法求得值，利用互为“友好点”的定义列出关于的方程，解方程求得值即可得出结论；（3）利用待定系数法求得值，利用为等边三角形得到，将抛物线与直线联立得到，设，，，，利用一元二次方程根与系数的关系得到；利用、两点互为“友好点”，得到，整理得到，将此式子代入中即可得出值，将，值代入运算即可得出结论【解析】（1）解：，点A与点不是互为“友好点”；，点A与点是互为“友好点”；，点A与点不是互为“友好点”，综上，点A的“友好点”是点，故答案为：；（2）在双曲线上，．．、两点互为“友好点”，，解得：或．或；（3）抛物线过点，，．抛物线与轴交于A、两点，．抛物线的顶点为点，，．则中边上的高为．为等边三角形，，，，．抛物线与直线交于、两点，，．设，，，，则，是方程的两个根，．、两点互为“友好点”，，，．．．．【点睛】此题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，此题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义的意义是解题的关键．18．定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“派生函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于点的“派生函数”的图象如图②所示，且它的“派生函数”的解析式为．(1)直接写出函数关于点的“派生函数”的解析式．(2)点M是函数的图象上的一点，设点M的横坐标为m，是函数G关于点M的“派生函数”．①当时，若函数值的范围是，求此时自变量x的取值范围；②直接写出以点为顶点的正方形与函数的图象只有两个公共点时，m的取值范围．【答案】(1)(2)①当时，；②或【分析】（1）根据“派生函数”的定义在的部分任取一点关于直线的对称点为，运用待定系数法即可得到答案；（2）①当时，的解析式为，分别求出，解得或；，解得或；即可得到当或或时，；②求出函数关于对称的函数解析式为，再由时，即，当时，，即，可得时与正方形有两个交点；当时，，即或，可得，即可求解．【解析】（1）解：函数在的部分任取一点关于直线的对称点为，设函数图象关于对称的部分的图象解析式为，