第4章因式分解（学生版）

第4章因式分解知识点01：因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.知识点02：提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.知识点03：公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.易错指导：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点04：十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.知识点05：因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•容城县校级一模）小李在计算20232023﹣20232021时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（）A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，20222．（2分）（2023春•罗湖区校级期中）已知a+b＝1，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（）A．57 B．120 C．﹣39 D．﹣1503．（2分）（2022秋•如东县期末）已知a+b＝1，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（）A．57 B．120 C．﹣39 D．﹣1504．（2分）（2023春•沈阳期中）对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（）A．能被2016整除 B．能被2017整除 C．能被2018整除 D．能被2019整除5．（2分）（2022春•顺德区校级期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2﹣b2+ac﹣bc＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形6．（2分）（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x7．（2分）（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣58．（2分）（2023春•历下区期中）2n﹣1可以被10和20之间的某个数整除，则这个数可以是（）A．16 B．17 C．18 D．199．（2分）（2022秋•泰山区期末）将下列多项式因式分解，结果中不含因式x﹣1的是（）A．x（x﹣3）+（3﹣x） B．x2﹣1 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+110．（2分）（2023春•重庆期中）已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（）A．﹣22 B．﹣1 C．7 D．11二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•东平县二模）如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为．12．（2分）（2023春•武侯区校级期中）在“互联网+”时代，有一种用“因式分解法”生产密码的方法：将一个多项式因式分解．如：将多项式x3﹣x分解结果为x（x+1）（x﹣1）．当x＝20时，x﹣1＝19，x+1＝21，此时可得到数字密码201921，或者是192021．将多项式x3+（m﹣n）x2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝10时可以得到密码101213，则m＝，n＝．13．（2分）（2023•缙云县一模）分解因式：x2﹣4x＝．14．（2分）（2023•五华区校级模拟）分解因式：x2﹣6x+9＝．15．（2分）（2023春•双流区期中）已知：△ABC的三分别边为a、b、c；且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），则△ABC的形状．16．（2分）（2022春•运城月考）已知a﹣b＝﹣2，ab＝7，则代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值为．17．（2分）（2023春•璧山区校级期中）若一个四位正整数满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是16，且十位数字与个位数的和能被4整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为．18．（2分）（2023•合川区校级模拟）若一个四位正整数满足：a+c＝b+d，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为．19．（2分）（2022春•皇姑区校级月考）若xy＝2，y﹣x＝1，则代数式2x2y﹣2xy2的值为．20．（2分）（2021春•靖远县期末）已知xy＝﹣1，x+y＝2，则x3y+x2y2+xy3＝．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（8分）（2023春•龙泉驿区期中）《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．例题：用拆项补项法分解因式x3﹣9x+8．解：添加两项﹣x2+x2．原式＝x3﹣x2+x2﹣9x+8＝x3﹣x2+x2﹣x﹣8x+8＝x2（x﹣1）+x（x﹣1）﹣8（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x﹣8）请你结合自己的思考和理解完成下列各题：（1）分解因式：x3+9x﹣10；（2）分解因式：x3﹣2x2﹣5x+6；（3）分解因式：x4+5x3+x2﹣20x﹣20．22．（8分）（2023春•龙岗区校级期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）②拆项法：例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①用分组分解法4x2+4x﹣y2+1；②用拆项法x4﹣3x2+1；（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+5b2+c2﹣4ab﹣6b﹣10c+34＝0，求△ABC的周长．23．（8分）（2022春•郫都区校级月考）我们知道，分解因式与整式乘法是互逆的运算．在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题，请你根据情况解答：（1）已知a，b，c是△ABC的三边且满足a2+2b2＝2b（a+c）﹣c2.判断△ABC的形状；（2）两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成3（x﹣1）（x+2），另一位同学因看错了常数项而分解成3（x+2）（x﹣3）．请你求出原来的多项式并将原式分解因式．24．（8分）（2022春•市中区校级期中）【数学实验探索活动】实验材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．实验目的：用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．探索问题：（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片张，长方形纸片张；（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5b+2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内．25．（8分）（2023春•市北区校级期中）计算：（1）因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2；（2）因式分解：（x+1）（x﹣3）+4；解不等式组并写出它的整数解；解关于x的不等式并将解集用数轴表示出来．26．（10分）（2023春•义乌市校级期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式．例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为；（2）利用（1）中的结论解决以下问题：已知a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求a2+b2+c2的值；（3）如图3，由正方形ABCD边长为a，正方形CEFG边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接BD，DF，若a﹣b＝2，ab＝3，求图3中阴影部分的面积．27．（10分）（2023春•即墨区期中）