专题5.2二次函数的几何变换（压轴题专项讲练）（苏科版）

专题5.2二次函数的几何变换【典例1】已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）（1）当a＝1时，①抛物线C1的顶点坐标为．②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为．（2）无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和EF的长；（3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值：若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）①由题意可得抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即可求解；②设抛物线C2上任意一点（x，y），则点（x，y）关于x轴对称的点为（x，﹣y），将点（x，﹣y）代入y＝x2﹣2x﹣3即可求解；（2）由抛物线经过定点（2，﹣3），可得当m＝﹣3时，EF的长度不变；（3）设抛物线抛物线C3上任意一点（x，y），点（x，y）关于y＝﹣3的对称点为（x，﹣6﹣y），将点（x，﹣6﹣y）代入y＝ax2﹣2ax﹣3，可求抛物线C3的解析式为y＝﹣ax2+2ax﹣3，分别求出Q（1，a﹣3），P（1，﹣a﹣3），再由EF⊥PQ，EP＝PF，可得EF＝2＝PQ，求出a的值即可．【解题过程】解：（1）①∵a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点为（1，﹣4），故答案为：（1，﹣4）；②设抛物线C2上任意一点（x，y），则点（x，y）关于x轴对称的点为（x，﹣y），∴﹣y＝x2﹣2x﹣3，∴抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3＝ax（x﹣2）﹣3，∴抛物线经过定点（2，﹣3），∴当m＝﹣3时，EF的长度不变，当y＝﹣3时，ax2﹣2ax﹣3＝﹣3，解得x＝0或x＝2，∴E（0，﹣3），F（2，﹣3），∴EF＝2；（3）存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，理由如下：设抛物线抛物线C3上任意一点（x，y），∴点（x，y）关于y＝﹣3的对称点为（x，﹣6﹣y），∴﹣6﹣y＝ax2﹣2ax﹣3，∴抛物线C3的解析式为y＝﹣ax2+2ax﹣3，∴Q（1，a﹣3），∵y＝ax2﹣2ax﹣3，∴P（1，﹣a﹣3），∵EF⊥PQ，∴EF与PQ为正方形的对角线，∵E、F关于x＝1对称，∴EP＝PF，∴EF＝2＝PQ，∴2＝|2a|，∴a＝±1．1．（2021秋•武昌区校级期末）将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式y＝x2﹣4x+2，则a、b的值是（）A．﹣2，﹣2 B．﹣2，2 C．2，﹣2 D．2，2【思路点拨】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解题过程】解：将抛物线y＝x2向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到解析式：y＝（x﹣a）2+b，即y＝x2﹣2ax+a2+b．∴y＝x2﹣4x+2＝x2﹣2ax+a2+b，∴2a＝4，a2+b＝2．∴a＝2，b＝﹣2．故选：C．2．（2022•崂山区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（）A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2=−13 D．x1＝﹣1，x【思路点拨】根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），从得出答案．【解题过程】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3，可得a+b（1x）+c（1x）设1x=t，可得ct2+bt+∴t1＝1，t2=−1由上可得，方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝1，x2=−1故选：C．3．（2022•莱芜区一模）将抛物线y＝﹣（x+1）2的图象位于直线y＝﹣4以下的部分向上翻折，得到如图所示的图象，若直线y＝x+m与图象只有四个交点，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜1 B．1＜m＜54 C．﹣1＜m＜54【思路点拨】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过点A（即左边的对折点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式Δ＝0，根据这一条件可确定m的取值．【解题过程】解：令y＝﹣4，则﹣4＝﹣（x+1）2，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，﹣4），平移直线y＝x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣3，﹣4），∴﹣4＝﹣3+m，即m＝﹣1．②当直线位于l2时，此时l2与函数y＝﹣（x+1）2的图象有一个公共点，∴方程x+m＝﹣x2﹣2x﹣1，即x2+3x+1+m＝0有两个相等实根，∴△＝9﹣4（1+m）＝0，即m=5由①②知若直线y＝﹣x+m与新图象只有四个交点，m的取值范围为﹣1＜m＜5故选：C．4．（2022•福州模拟）将抛物线y＝x2沿直线y＝3x方向移动10个单位长度，若移动后抛物线的顶点在第一象限，则移动后抛物线的解析式是y＝（x﹣1）2+3．【思路点拨】设移动后的抛物线解析式为y＝（x﹣h）2+k，再根据移动的距离和勾股定理列出方程可得答案．【解题过程】解：设移动后的抛物线解析式为y＝（x﹣h）2+k，∵移动距离是10，移动后抛物线的顶点在第一象限，∴k＝3h，∴h2+（3h）2＝（10）2，解得h＝1，k＝3h＝3，∴移动后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3，故答案为：y＝（x﹣1）2+3．5．（2021秋•余姚市期末）平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”．现将二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为（1，2），则新抛物线的函数表达式为y＝（x﹣3）2﹣2．【思路点拨】将（1，2）代入y＝x2+2x+c，解得c＝﹣1，设将抛物线y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y＝（x+1﹣m）2﹣2，然后将（1，2）代入得到关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．【解题过程】解：将（1，2）代入y＝x2+2x+c，得12+2×1+c＝2，解得c＝﹣1．设将抛物线y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y＝（x+1﹣m）2﹣2，将（1，2）代入，得（1+1﹣m）2﹣2＝2．整理，得2﹣m＝±2．解得m1＝0（舍去），m2＝4．故新抛物线的表达式为y＝（x﹣3）2﹣2．故答案是：y＝（x﹣3）2﹣2．6．（2022•建邺区一模）如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+6的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若AB=42，则点A的坐标是（﹣2，2）或（1，5）【思路点拨】根据对称性，表示A、B两点的坐标，利用平面内两点间的距离公式，代入求值即可．【解题过程】解：因为A、B关于直线y＝x对称，所以设A（a，b），则B（b，a），∵AB=(∴42（42）2＝（b﹣a）2+（b﹣a）2，32＝2（b﹣a）2，（b﹣a）2＝16，b﹣a＝4或b﹣a＝﹣4（舍去），∴b＝a+4，又∵A（a，b）在y＝﹣x2+6上，∴b＝﹣a2+6，即a+4＝﹣a2+6，整理得，a2+a﹣2＝0，解得，a1＝﹣2，a2＝1，∴当a1＝﹣2时，b＝a+4＝﹣2+4＝2，点A的坐标为（﹣2，2）；当a2＝1时，b＝a+4＝1+4＝5，点A的坐标为（1，5）．故答案为：（﹣2，2）或（1，5）．7．（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．（1）求b+c的值．（2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值．（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值．【思路点拨】（1）由对称轴−b2=1，求出b的值，再将点（3，0）代入y＝x²+bx（2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x＝1，结合函数图像可知当x＝﹣4时，y有最大值21；（3）设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），可求平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h−16）2【解题过程】解：（1）∵二次函数y＝x²+bx﹣c的对称轴为直线x＝1，∴−b∴b＝﹣2，∵二次函数y＝x²+bx﹣c的图象经过点（3，0），∴9﹣6﹣c＝0，∴c＝3，∴b+c＝1；（2）由（1）可得y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵﹣4≤x≤3，∴当x＝﹣4时，y有最大值21；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，∴．设顶点坐标为（h，2h2﹣h﹣1），故平移后的解析式为y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，∴y＝x2﹣2hx+h2+2h2﹣h﹣1＝x2﹣2hx+3h2﹣h﹣1，设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为w，则w＝3h2﹣h﹣1＝3（h−16）2∴当h=16时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值为8．（2021•渭南模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点M（0，﹣8），与x轴交于A、B（4，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若将该抛物线的图象沿着x轴向左平移4个单位，新抛物线顶点为点D，与x轴交于A1，B1两点（点B1在A1的左边）若点Q是y轴上一动点，当点Q，D，A1构成等腰三角形时，请求出点Q的坐标．【思路点拨】（1）由顶点和B的坐标利用二次函数的顶点式即可得出答案；（2）先求出平移后的图象的顶点D的坐标，再求出A1的坐标，设出点Q的坐标，利用等腰三角形的性质即可得出答案．【解题过程】解：（1）∵该二次函数的顶点为（0，﹣8），∴可设y＝ax2﹣8，代入B（4，0），得0＝16a﹣8，解得a=1∴y=1（2）将该抛物线的图象沿着x轴向左平移4个单位后，顶点坐标为D（﹣4，﹣8），由（1）知A（﹣4，0），∴A1（﹣8，0），∴A1设Q（0，m），则A1Q=8若A1D＝QD，则45=42+(m+8此时点Q的坐标为（0，﹣16）或（0，0），若A1D＝A1Q，则45=82+此时点Q的坐标为（0，﹣4）或（0，4），若QD＝A1D，则82+m此时点Q的坐标为（0，﹣1），∴点Q的坐标为：（0，﹣16）或（0，0）或（0，﹣4）或（0，4）或（0，﹣1）．9．（2021秋•梅河口市期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+2x与x轴的另一个交点为A，把该抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1绕着点O旋转180°，得到C2，C2与x轴交于另一点B．（1）求抛物线C2的顶点E的坐标；（2）将C2绕着点B旋转180°得到C3，连结C1与C3的最低点，则阴影部分图形的面积为4．【思路点拨】（1）利用配方法求得抛物线y＝x2+2x的顶点坐标，再利用中心对称的性质解答即可；（2）过点G作GH⊥OA于点H，过点F作FK⊥BD于点K，过点E作EM⊥OB于点M，由于旋转不变性可知：抛物线C2的x轴上方部分与矩形GHKG的两个空白部分的面积，由面积割补法可得：S阴影部分＝S矩形GHKF，计算矩形的面积即可得出结论．【解题过程】解：（1）设抛物线y＝x2+2x的顶点为G，∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴G（﹣1，﹣1）．∵将C1绕着点O旋转180°，得到C2，∴点G与点E关于原点O对称，∴E（1，1）．（2）设C3的最低点为F，令y＝0，则x2+2x＝0，解得：x＝0或x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．由题意：点A与点B关于原点O对称，∴B（2，0）．∵将C2绕着点B旋转180°得到C3，∴点E与点F关于原点O对称，∴F（3，﹣1）．过点G作GH⊥OA于点H，过点F作FK⊥BD于点K，过点E作EM⊥OB于点M，如图，∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），∴GF∥HK，GH＝FK＝1．∵GH⊥OA，FK⊥BD，∴四边形GHKF为矩形．∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），∴HO＝1，OK＝3，∴HK＝OH+OK＝4．根据旋转不变性可得：S阴影部分＝S矩形GHKF．∴S阴影部分＝HK•HG＝4×1＝4．故答案为：4．10．（2021秋•西岗区期末）已知二次函数y＝（a+1）x2+2（a+2）x+32，当x＝0和（1）则二次函数的解析式为：y=−12x2+x+（2）若一次函数y＝kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B、C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+6向上平移n个单位长度，当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围是多少？【思路点拨】（1）由题意可知抛物线的对称轴为直线x＝1，再由对称轴的解析式即可求a的值；（2）先将点A代入抛物线解析式求出m的值，再将确定的A点坐标代入直线解析式求k的值即可；（3）求出平移后的A、B点的坐标，分别求出直线经过A、B点时n的值，此时是直线与图象G有交点的临界值，由此可确定n的取值范围．【解题过程】解：（1）∵二次函数y＝（a+1）x2+2（a+2）x+32，当x＝0和∴函数的对称轴为直线x＝1，∴−2(a+2)∴a=−3∴y=−12x2+x故答案为：y=−12x2+x（2）∵点A（﹣3，m）在函数图象y=−12x2+x∴m=−12×∴A（﹣3，﹣6），将A（﹣3，﹣6）代入y＝kx+6，∴﹣6＝﹣3k+6，∴k＝4；（3）∵令y＝0，则−12x2+x∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），由题意可知平移后A点坐标为（﹣1﹣n，0），B点坐标为（3﹣n，0），直线y＝4x+6向上平移n个单位长度后的解析式为y＝4x+6+n，平移后直线与x轴的交点为（−6+n当直线y＝4x+6+n经过点A时，−6+n4=−解得n=2当直线y＝4x+6+n经过点B时，−6+n4=解得n＝6；∴当23≤n≤6时，直线y＝4x+6+n与图象11．（2022•西峡县一模）如图，直线y＝﹣2x﹣4与x轴交于点A，抛物线y＝ax2+4x+2a+1经过点（1，8），与x轴的一个交点为B（B在A的左侧），过点B作BC垂直x轴交直线于C．（1）求a的值及点B的坐标；（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，点B、C的对应点分别为点E、F．将抛物线y＝ax2+4x+2a+1沿x轴向右平移使它过点F，求平移后所得抛物线的解析式．【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求得a值，令y＝0，解一元二次方程即可求得点B的横坐标；（2）利用旋转不变性，求得点E，F的坐标，利用待定系数法即可求得结论．【解题过程】解：（1）令y＝0，则﹣2x﹣4＝0．解得：x＝﹣2．∴A（﹣2，0）．∵抛物线y＝ax2+4x+2a+1经过点（1，8），∴a+4+2a+1＝8．∴a＝1．∴抛物线的解析式为y＝x2+4x+3．令y＝0，则x2+4x+3＝0．解得：x＝﹣1或﹣3．∵B在A的左侧，∴B（﹣3，0）．（2）当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣3）﹣4＝2，∴C（﹣3，2）．∵A（﹣2，0），B（﹣3，0），∴AB＝1．∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°，点B、C的对应点分别为点E、F，∴AE＝AB＝1，EF＝BC＝2．∴E（﹣2，1），F（0，1）．∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴设沿x轴向右平移过点F的抛物线的解析式为y＝（x+2﹣m）2﹣1，∴（2﹣m）2﹣1＝1．∴m＝2±2．∴平移后所得抛物线的解析式为y=(x−2)2−即y＝x2﹣22x+1或y＝x2+22x+1．12．（2021•永城市二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点B和点C，与y轴交于点A（0，﹣3），且OA＝3OC．点P是对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q．（1）若PQ＝5，求抛物线的解析式以及点Q的坐标；（2）若点P沿抛物线向上移动，使得对应的9≤PQ≤10，求移动过程中点P的纵坐标yp的取值范围．【思路点拨】（1）利用已知条件求出点C坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式；设点P（x1，n），Q（x2，n），利用点P是对称轴左侧的抛物线上一点，PQ＝5，得到x2﹣x1＝5，利用抛物线的对称轴为直线x＝1，得到x1+x22=1，联立即可求得（2）设点P（x1，yP），Q（x2，yP），利用点P是对称轴左侧的抛物线上一点，得到PQ＝x2﹣x1，利用抛物线的对称轴为直线x＝1，得到x1+x22=1，则x2＝2﹣x1，可得PQ＝2﹣2【解题过程】解：（1）∵A（0，﹣3），∴OA＝3．∵OA＝3OC，∴OC＝1．∴C（﹣1，0）．∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点C，与y轴交于点A（0，﹣3），∴c=−31−b+c=0解得：b=−2c=−3∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．∵PQ∥x轴，∴设点P（x1，n），Q（x2，n），∵点P是对称轴左侧的抛物线上一点，PQ＝5，∴x2﹣x1＝5．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．∴x1∴x2解得：x1当x=72时，n=(72)∴Q（72，9（2）∵PQ∥x轴，∴设点P（x1，yP），Q（x2，yP），∵点P是对称轴左侧的抛物线上一点，∴PQ＝x2﹣x1．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．∴x1∴x2＝2﹣x1．∴PQ＝2﹣2x1．∵9≤PQ≤10，∴9≤2﹣2x1≤10．解得：﹣4≤x1≤−7当x1＝﹣4时，yP＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣3＝21，当x1=−72时，yP=(−72)∴移动过程中点P的纵坐标yp的取值范围为：654≤y13．（2022•沙坪坝区校级开学）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线AC上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求PD+PH的最大值及此时点P的坐标；（3）把抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移32个单位，再向上平移516个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M，在新抛物线上找一点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点【思路点拨】（1）先设二次函数的交点式为y＝a（x+4）（x﹣1），然后将点C代入函数解析式求得a的值，即可得到函数的解析式；（2）先求得直线AC的解析式，再设点P的坐标，得到点D和点H的坐标，进而得到PD和PH的长，然后利用二次函数的性质求得PD+PH的最大值，即可得到对应的点P的坐标；（3）先求得平移后的抛物线解析式，然后得到新的对称轴，设M和N的坐标，进而利用平行四边形的中心对称性分情况列出方程，求得点M的坐标．【解题过程】解：（1）由题意可设二次函数的交点式为y＝a（x+4）（x﹣1），将点C（0，3）代入函数解析式，得﹣4a＝3，∴a=−3∴二次函数的解析式为y=−34（x+4）（x﹣1）=−34x（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，则−4k+b=0b=3，解得：k=∴直线AC的解析式为y=34设点P的坐标为（x，−34x2−94x+3），则点D的坐标为（﹣3﹣x，−34x2−94x∴PD＝﹣3﹣x﹣x＝﹣3﹣2x，PH=−34x2−94x+3﹣（34x+3）=−∴PD+PH＝﹣3﹣2x+（−34x2﹣3x）=−34x2﹣5x﹣3=−34（∴当x=−103时，PD+PH有最大值此时，点P的坐标为（−103，（3）∵抛物线向右平移32个单位，再向上平移5∴平移后的抛物线解析式为y=−34（x−32）2−94（x∴新的对称轴为直线x＝0，设M（0，y），N（m，−34m以AC为对角线时，m=−4y+(−34∴点M的坐标为（0，10）；以AM为对角线时，m=−4y=3+(−34∴点M的坐标为（0，﹣4）；以AN为对角线时，m−4=0y+3=−34∴点M的坐标为（0，﹣10）；综上所述，点M的坐标为（0，10）或（0，﹣4）或（0，﹣10）．14．（2022•德城区一模）已知：抛物线C1：y1＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，将C1绕点A旋转180°得到C2：y2＝ax2+bx+c交x轴于点N．（1）求C2的解析式；（2）求证：无论x取何值恒y1≤y2；（3）当﹣x2+4x﹣3≤mx+n≤ax2+bx+c时，求m和n的值．（4）直线l：y＝kx﹣2经过点N，D是抛物线C2上第二象限内的一点，设D的横坐标为q，作直线AD交抛物线C1于点M，交直线l于点E，若DM＝2ED，求q值．【思路点拨】（1）先求得点A，B的坐标，以及C的顶点坐标，进而根据中心对称的性质求得点N的坐标和C2顶点坐标，然后待定系数法求解析式即可：（2）作差法证明即可；（3）设y＝mx+n，根据中心对称的性质，y，y1，y2关于点A中心对称，结合函数图象可知，y＝mx+n经过A点，且与y1，y2相切于点A，即y1，y2有唯一交点A，据此代入点A的坐标，联立y，y1或（y，y2）根据一元二次方程根的判别式求解即可；（4）先求得直线l的解析式为：y＝﹣2x﹣2，直线AD的解析式为：y＝（q+1）x﹣（q+1），进而可表达点E的坐标，根据y1，y2关于点A中心对称，可得AD＝AM，由DM＝2ED，根据中点坐标公式求解即可．【解题过程】（1）解：∵抛物线C1：y1＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，∴令y1＝0，即x2+4x﹣3＝0，解得x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0）．∵y1＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，设C1的顶点为P，∴P（2，1）．将C1绕点A旋转180°得到C2：y2＝ax2+bx+c交x轴于点N，则N（﹣1，0）．设C2的顶点为P′，∴P′（0，﹣1）．∴C2的解析式为y2＝ax2﹣1，将N（﹣1，0）代入得a＝1，∴y2＝x2﹣1；（2）证明：∵y1＝﹣x2+4x﹣3，y2＝x2﹣1，∴y1﹣y2＝﹣x2+4x﹣3﹣（x2﹣1）＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x﹣1）2≤0，∴无论x取何值恒y1≤y2；（3）解：设y＝mx+n，当﹣x2+4x﹣3≤mx+n≤ax2+bx+c时，即y1≤y≤y2，∴y＝mx+n过点A（1，0），则m+n＝0，∴n＝﹣m，令mx﹣m＝x2﹣1，得x2﹣mx+m﹣1＝0，∴Δ＝m2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2＝0，解得m＝2，∴n＝﹣2．（4）∵直线l：y＝kx﹣2经过点N，D，将N（﹣1，0）代入y＝kx﹣2，∴﹣k﹣2＝0，解得k＝﹣2．∴l：y＝﹣2x﹣2．∵D是抛物线C2上第二象限内的一点，设D的横坐标为q，∴D（q，q2﹣1）且q＜0，设直线AD为y＝k1x+b，∵A（1，0），∴k1+b=0q∴直线AD的解析式为：y＝（q+1）x﹣q﹣1，令﹣2x﹣2＝（q+1）x﹣q﹣1，解得x=q−1∴E（q−1q+3，−4q−4∵y1，y2关于点A中心对称，∴AD＝AM=12∵DM＝2ED，∴AD＝ED，即点D为AE的中点，∵A（1，0），D（q，q2﹣1），E（q−1q+3，−4q−4∴q−1q+3解得q＝﹣1+2（舍）或q＝﹣1−2或∴q＝﹣1−215．（2022•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）．（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D′，在抛物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用待定系数法解得即可；（2）由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用S△DAD′＝S△ADO+S△AOD′求出三角形DD′A的面积；过点D′作x轴的平行线EF，过点D作DE⊥EF于点E，交x轴于点G，过点M作MF⊥EF于点F，交x轴于点H，利用D，D′的坐标表示出线段DG，OG，DE，D′E的长度，设点M（m，2m2﹣8m+6），则MH＝2m2﹣8m+6，OH＝m，MF＝MH+HF＝2m2﹣8m+6+2＝2m2﹣8m+8，D′F＝m﹣2，EF＝OG+OH＝m+2，利用S△DD′M＝S梯形DEFM﹣S△DED′﹣S△MD′F，用m的代数式表示出S△DD′M，利用已知条件列出m的方程，解方程即可求得结论．【解题过程】解：（1）设抛物线W1的解析式为：y＝ax2+bx+c，抛物线W1经过点C（0，﹣6），顶点坐标D（﹣2，2），∴c=−6−解得：a=−2b=−8∴抛物线W1的表达式为：y＝﹣2x2﹣8x﹣6；（2）在抛物线W2上存在点M，使S△DAD′＝S△DD′M．理由：∵将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D′，∴D′（2，﹣2）．∴抛物线W2的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6．如图，在坐标系中画出抛物线W2的图象，由题意得：DD′经过点O，则S△DAD′＝S△ADO+S△AOD′．过点D′作x轴的平行线EF，过点D作DE⊥EF于点E，交x轴于点G，过点M作MF⊥EF于点F，交x轴于点H，∵D（﹣2，2），D′（2，﹣2），∴DG＝OG＝2，DE＝4，D′E＝4，FH＝2．令y＝0，则﹣2x2﹣8x﹣6＝0．解得：x＝﹣1或﹣3．∴A（﹣3，0），B（﹣1，0）．∴OA＝3．∴S△DAD′＝S△ADO+S△AOD′=12×设点M（m，2m2﹣8m+6），则MH＝2m2﹣8m+6，OH＝m．∴MF＝MH+HF＝2m2﹣8m+6+2＝2m2﹣8m+8，D′F＝m﹣2，EF＝OG+OH＝m+2．∵S△DD′M＝S梯形DEFM﹣S△DD′E﹣S△MD′F，∴S△DD′M=12（DE+MF）•EF−12DE•D′E−1=12（4+2m2﹣8m+8）（m+2）−12×4×4−12（2＝4m2﹣14m+12．∵S△DD′M＝S△DD′A，∴4m2﹣14m+12＝6．解得：m＝3或12当m＝3时，2m2﹣8m+6＝0，当m=12时，2m2﹣8m+6∴M（3，0）或（12，5∴在抛物线W2上存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM.点M的坐标为（3，0）或（12，516．（2022•吴兴区一模）如图已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线AC上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）将点A（3，﹣1），点C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）求出平移后的抛物线的顶点（1，m﹣5），再求出直线AC的解析式y＝x﹣4，当顶点在直线AC上时，m＝2，当M点在AB上时，m＝4，则2＜m＜4；（3）设E（0，t），P（p，p﹣4），Q（q，q2﹣2q﹣4），分三种情况讨论：当CE为菱形对角线时，CP＝CQ，p=−qt=q2−3q−42q2=q2+q2(q−2)2，Q点横坐标为1；②当CP为对角线时，CE＝CQ，【解题过程】解：（1）将点A（3，﹣1），点C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c，∴c=−49+3b+c=−1解得b=−2c=−4∴y＝x2﹣2x﹣4，∵y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5，∴顶点M（1，﹣5）；（2）由题可得平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣5+m，∴抛物线的顶点为（1，m﹣5），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴b=−43k+b=−1解得k=1b=−4∴y＝x﹣4，当顶点在直线AC上时，m﹣5＝﹣3，∴m＝2，∵AB∥x轴，∴B（﹣1，﹣1），当M点在AB上时，m﹣5＝﹣1，∴m＝4，∴2＜m＜4；（3）存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：设E（0，t），P（p，p﹣4），Q（q，q2﹣2q﹣4），∵点E在点C下方，∴t＜﹣4，∵Q点在第四象限，∴0＜q＜5①当CE为菱形对角线时，CP＝CQ，∴p=−qt=解得q=3p=−3t=−4（舍）或∴Q点横坐标为1；②当CP为对角线时，CE＝CQ，∴p=qp−8=t+解得q=2p=2∴Q点横坐标为2；③当CQ为菱形对角线时，CE＝CP，∴p=qq解得p=3+2q=3+2∴Q点横坐标为3−2综上所述：Q点横坐标为1或2或3−217．（2022•湖口县二模）在平面直角坐标系xOy中，若点Q的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点Q为“潇洒点”，如点（1，﹣1），（﹣5，5）都是“潇洒点”．已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象上有且只有一个“潇洒点”（2，﹣2）．（1）小敏认为所有的潇洒点都在同一条直线l上，请直接写出直线l的解析式．（2）求a，b的值，及二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的顶点坐标．（3）将y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象上移m（m＞0）个单位得到抛物线l2，若l2上有两个“潇洒点”分别是M（x1，y1），N（x2，y2），且MN＝22，求当x1≤x≤x2时，l2中y的最大值和最小值．【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用待定系数法和一元二次方程根的判别式解答即可求得a，b的值，利用配方法即可求得顶点坐标；（3）利用抛物线平移的性质和待定系数法以及两点之间的距离公式即可求得m值，进而求M，N坐标，结合函数图象即可求得结论．【解题过程】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+n，将（1，﹣1），（﹣5，5）代入得：k+n=−1−5k+n=5解得：k=−1n=0∴直线l的解析式为y＝﹣x；（2）∵（2，﹣2）点在抛物线y＝ax2+bx﹣4上，∴4a+2b﹣4＝﹣2，∴2a+b＝1．∵二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象上有且只有一个“潇洒点”（2，﹣2），∴方程组y=ax即方程ax2+bx﹣4＝﹣x有两个相等的实数根．∴Δ＝（b+1）2﹣4a×（﹣4）＝0．∴2a+b=1(b+1解得：a=−1b=3∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x﹣4．∵y＝﹣x2+3x﹣4=−(x−3∴二次函数y＝﹣x2+3x﹣4的顶点坐标为（32，−（3）将抛物线上移m（m＞0）个单位得到抛物线l2的解析式为y＝﹣x2+3x﹣4+m，∵l2上有两个“潇洒点”分别是M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1，x2是方程﹣x2+3x﹣4+m＝﹣x的两个实数根，∴x2﹣4x+4﹣m＝0．∴x1+x2＝4，x1•x2＝4﹣m．∵M（x1，y1），N（x2，y2）是两个“潇洒点”，∴y1＝﹣x1，y2＝﹣x2．∵MN＝22，∴(x1−∴2(x1−∴2[(x1+∴42﹣4（4﹣m）＝4．解得：m＝1．∴x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或3，∴M（1，﹣1），N（3，﹣3）．∴1≤x≤3．∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x﹣3．∵y＝﹣x2+3x﹣3=−(x−3∴当x=32时，y有最大值为∵1＜3∴l2中y的最大值为−3当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝﹣3，综上，当x1≤x≤x2时，l2中y的最大值为−318．（2022•如东县一模）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．（1）函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝x﹣1，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝﹣（x+2）2﹣1；（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．【思路点拨】（1）结合新定义利用待定系数法解答即可；（2）利用数形结合的方法结合图象，利用新定义的规定解得即可；（3）利用分类讨论的方法分三种情况解答：①当“伴随函数”的顶点在AB上时，求得函数N的顶点坐标，利用对称性求得对称点的坐标，利用待定系数法即可求解；②当两个函数的交点在AB上时，利用两函数与x轴的交点坐标，求函数N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③当“伴随函数”经过点B时，将坐标代入函数N的解析式即可确定a的取值范围．【解题过程】解：（1）∵两个函数是关于原点O的“伴随函数”，∴两个函数的点分别关于原点中心对称，设函数y＝x+1上的任一点为（x，y），则它的对称点为（﹣x，﹣y），将（﹣x，﹣y）代入函数y＝x+1得：﹣y＝﹣x+1，∴y＝x﹣1．函数y＝x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝x﹣1；同理可得，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝﹣（x+2）2﹣1，故答案为：y＝x﹣1；y＝﹣（x+2）2﹣1；（2）如图，当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，∵“伴随函数”的开口方向向下，∴在对称轴的左侧y随自变量x的增大而增大，∴m＜7，同时“伴随函数”的对称轴应与直线x＝7重合或在直线x＝7的左侧，∴m≥1+7∴m≥4，综上，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为4≤m＜7；（3）a的取值范围为a=14或a=36①当“伴随函数”的顶点在AB上时，如图，∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，∵点C（2，0）为对称中心，∴函数N的对称轴为直线x＝3，∴函数N的顶点坐标为（3，1），∵（3，1）关于点C（2，0）对称的点为（1，﹣1），∴将（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：a﹣2a﹣3a＝﹣1，∴a=1②当两个函数的交点在AB上时，如图，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），∵点C（2，0）为对称中心，∴函数N与x轴的交点为（5，0）和（1，0），∴函数N的解析式为y＝﹣ax2+6ax﹣5a，当y＝1时，ax解得：a=3③当“伴随函数”经过点B时，如图，∵点B（4，1），∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，解得：a=1综上，图形W与线段AB恰有2个公共点，a的取值范围为a=14或a=3619．（2021秋•越秀区期末）已知抛物线y=−12x2+mx+m+12与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y=−12x2+mx+m+12在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求得答案；（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再运用待定系数法求得直线AC的解析式为y=−12x−52，如图1，设P（t，−12t2﹣3t−52），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，则PH=−12t2−52t，利用S△PAC＝S△PAH（3）运用翻折变换的性质可得图象G的函数解析式为：y=12（x+3）2﹣2，顶点坐标为（﹣3，﹣2），进而根据平移规律可得：图象M的函数解析式为：y=12（x﹣n）2−12n−72，顶点坐标为（n，−12n−72），当图象M经过点C（0，−52）时，可求得：n＝﹣1或n＝2，当图象M的端点B在PC上时，可求得：n【解题过程】解：（1）∵抛物线y=−12x2+mx+m+12与y轴交于点∴m+1解得：m＝﹣3，∴该抛物线的解析式为：y=−12x2