专题26垂径定理(原卷版)

专题26垂径定理基础知识回顾垂径定理：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。模型的概述：在⊙O中，AB为⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于点E,则CE=CEeq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))证明（思路）：如图，连接OC、OD，则OC=OD∵AB⊥CD∴∠OED=∠OEC=90°∴∆OED≌∆OEC（HL）∴CE=DE∠BOC=∠BOD∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))∵AB为⊙O的直径∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ACB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ADB))∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，解题过程中应灵活运用该定理。

【口诀】

垂径定理五条件，一个垂直三平分；一条直线过圆心，知二明三把理明；平分弦时要谨慎，此弦不可为直径；两条直径都平分，哪能啥时都垂直。

【解题技巧】见弦常作弦心距，连接半径，构造直角三角形用勾股定理求解。【培优过关练】1．（2022年安徽省中考数学真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（

）A． B．4 C． D．52．（2022年四川省泸州市中考数学真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（

）A．1 B． C．2 D．43．（2022年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为______．4．（2022年青海省中考数学真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m．5．（2022年湖南省长沙市中考数学真题）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．6．（2022年黑龙江省省龙东地区中考数学真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．7．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．8．（2022年贵州省六盘水市中考数学试题卷）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；(2)若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．9．（2022年湖北省宜昌市中考数学真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．(1)直接判断与的数量关系；(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．10．（2022年天津市中考数学真题）已知为的直径，，C为上一点，连接．(1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长；(2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．11．（2022年江苏省扬州市中考数学真题）如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求的长．12．（2022年四川省德阳市中考数学真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．(1)求证：是的切线；(2)如果，，①求的长；②求的面积．13．（北京市2021年中考数学真题试题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．（1）求证：；（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．14．（2022·山东德州·统考中考真题）如图1，在等腰三角形中，，为底边的中点，过点作，垂足为，以点为圆心，为半径作圆，交于点，．(1)与的位置关系为_______；(2)求证：是的切线；(3)如图2，连接，，，求的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：)15．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．(1)