概率空间和随机对象

《随机过程》教程第2章概率空间和随机对象第2讲随机变量

简单地说,随机变量、随机向量、随机过程就是个数上有不同：一个、n个、无穷个。考察一次试验，若试验结果只需要一个数（变量）就可以表示，则随机对象是随机变量；若试验结果需要n个数表示，则随机对象是随机向量；若试验结果需要无穷个数表示，则随机对象是随机过程。随机对象2随机对象映射方法：将具体的样本空间映射到数集或者函数集直接方法：直接指定样本空间为数集或函数集当样本空间为一维实数集合时，则称该一维实变量为随机变量当样本空间为一维复数集合时，则称该一维复数变量为复随机变量当样本空间为高维实数空间时，则称该高维实数变量为随机向量当样本空间为定义于某个数集上的函数组成，则称该函数集合为随机过程3随机变量随机变量的两要素变量特征概率特征（统计特征）手机话费（元）月使用时间（分钟）4直观理解

简单地说，“随机变量”就是用一个数（变量）来表示试验后的结果（样本点）。因为每次试验结果的不确定，随机变量既有取值问题，又有取此值的可能性的问题，所以叫“随机变量”。引进它，就是为了把具体问题数学化。事件用“随机变量取值”来表示。象“抛硬币”，可以把“正面朝上”和“反面朝上”对应于“X=0”和“X=1”。一般情况下，随机变量往往是有实际意义的，例如上面的“掷出的点数”。5样本空间的统一问题当随机变量（随机向量）的样本空间只是实数集合的一部分时，仍用整个实数集合作为样本空间。这样将样本空间统一之后，可以用概率密度函数、概率分布函数统一描述随机变量的概率特性；被扩充的样本点处的概率密度被定义为零；对于离散型随机变量（随机向量），有时候为了表述的方便，也用离散变量表示，而不进行扩充，此时概率特性用概率质量函数表示6随机变量的描述完全描述（包含所有信息）概率质量函数（pmf）离（mass）概率生成函数（pgf）离

（generating）概率分布函数（cdf）离、连、混概率密度函数（pdf）离、连、混

（density）概率特征函数(pcf)离、连、混(characteristic)矩描述均值、均方、方差、中心矩、原点矩7离散型随机变量当随机变量X仅取值于某可数实数集时，称该随机变量为离散型随机变量。8概率质量函数

(pmf:probabilitymassfunction)任何一种离散型随机变量都可以统一地用概率质量函数表示其他事件的概率通过概率质量函数计算得到连续型随机变量不可以用概率质量函数表示9概率生成函数-母函数

(pgf:probabilitygeneratingfunction)实质就是Z变换由Z变换的性质，概率生成函数与概率质量函数互相唯一确定。由概率生成函数求概率质量，既可以用Z逆变换，也可以用Taylor展开。[例]2.16,17,18,20P3110例子*11概率分布函数

(cdf:cumulativedistributionfunction)随机变量的分布函数定义为：*12分布函数的性质2.2*13证明*14*15概率密度函数

(pdf:probabilitydensityfunction)概率分布函数的导数概率在直线上的密度概率密度函数是分布函数的导数，这里所说的导数指的是广义函数导数。这样，离散型随机变量也有密度函数了，并且密度函数作为统一的描述方法可以描述混合型随机变量。*16

广义函数理论中的广义函数导数是普通导数的推广。当普通导数存在时，广义函数导数就是普通导数。跳跃间断处的导数和都是广义函数导数，

广义函数的求导法则与普通函数类似，例如奇异函数的计算：导数17计算[求广义函数导数]

可导点的导数是普通导数，跳跃间断处的导数是冲激函数，=跳跃度间断点），间断点就是冲激点，跳跃度就是冲激强度。*18概率密度函数的性质2.319注20概率特征函数

(pcf:probabilitycharacteristicfunction)

特征函数其实就是概率密度的Fourier变换+ω反转。所以由Fourier变换公式，所以由逆变换公式，21特征函数的性质特征函数包含了随机变量的完全信息。是研究随机变量的重要工具，它的分析性质（可导性，与Fourier变换的关系等）比分布函数、密度更好。由F变换的性质，特征函数与概率密度互相唯一确定---完全信息。22特征函数计算求特征函数相当于F变换再w取-w（当然也可以先反转再变换，即但有时因果信号会翻成反因果信号，反而麻烦）。由特征函数求概率密度，可以用反转+F逆变换

(或先逆后转)，前者更好---它就是上一项的逆过程。23正态分布设连续型随机变量X的概率密度为其中μ,σ(σ>0)为常数,则称X服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为X~N(μ,σ2).240.2660.3990.798mxOf(x)s=1.5s=1s=0.5251F(x)0.5xOm分布函数为26指数分布若连续型随机变量X的概率密度为分布函数为则称X是参数为λ(λ>0)的指数分布。Oxf(x)123123l=1/3l=1l=227对数正态分布*28从概率函数求解概率*29求概率分布函数和概率密度函数*30随机变量X具有无记忆性：指数分布常用作各种“寿命”分布的近似。如果我们把X看作某仪器的寿命，则X的无记忆性表示:在仪器已工作了t

小时的条件下，它至少工作s+t

小时的概率与它原来至少工作s小时的概率是相同的。换句话说如果仪器在时刻t是完好的，则它的剩余寿命的分布就是原来寿命的分布。指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用。两个无记忆随机变量：离散几何分布和连续指数分布。*31一个很有用的比喻将“概率”比喻成“质量”在一条直线上分布总质量为1的物质概率质量函数总质量为1的可数个质点分布在直线上概率分布函数分布在x左边的总质量概率密度函数在x处的概率的密度32随机变量的分类离散型随机变量除了cdf和pdf，还可以用pmf描述连续型随机变量只能用cdf和pdf描述，不能用pmf描述混合型随机变量只能用cdf和pdf描述，不能用pmf描述当随机变量的概率分布函数具有跳跃型的间断点，并且存在一个开区间，使得概率分布函数在该区间内是严格单调递增的连续函数，则称该随机变量是混合型随机变量。332.2.2数字特征数字特征通常反映了随机变量某个方面的统计特征，如平均取值，离散程度，信息量。34矩φ(X)是多项式，均值，均方，方差，原点矩，中心矩，绝对原点矩，绝对中心矩。*35E{φ(X)}这是一个很有用的公式，它实际上是随机变量函数的期望公式。象特征函数就可以用它表示P.35*36标准化称X*为X的标准化（归一化）变量.例设随机变量X具有数学期望E{X}=μ,方差D{X}=σ20.记X*=(X-μ)/σ.37概率特征函数和概率生成函数是随机变量的完全描述，所以数字特征可以借助于它们求得。性质2.538证明根据泰勒级数展开公式39*40例：设随机变量X服从参数为λ的Possion分布，求X的特征