2024-2025学年沪教版初中数学九年级（上）教案 第23章 解直角三角形23.2解直角三角形及其应用（第4课时）

第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第4课时坡角、坡度问题教学目标1.了解测量中坡度、坡角的概念.2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题.教学重难点重点：能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题.难点：能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题.教学过程旧知回顾1.什么是坡度？如何表示？答：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度，坡度i＝eq\f(h,l).2.什么叫坡角？坡角与坡度有什么关系？答：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.坡度i＝tanα＝eq\f(h,l).3.小刚沿斜坡AB每走10eq\r(2)米，他的高度就上升10米，则该斜坡AB的坡角α为45°.新知讲解在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量.从F处进行测量和从A处进行测量的数据如图所示.你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？典型例题一、简单的坡度坡角问题例1一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s，车速是2m/s，汽车行驶的水平距离是40m，则这个斜坡的坡度是________.（教师请学生代表回答，然后集体订正）.解：坡面距离为30×2＝60（m），水平距离为40m，∴铅直高度为eq\r(,602－402)＝20eq\r(,5)(m)，∴坡度i＝20eq\r(,5)∶40＝eq\r(,5)∶2.学生归纳解题方法，教师补充完善：根据坡度的定义i＝eq\f(h,l)，解题时需先求得水平距离l和垂直高度h.二、复杂的坡度、坡角问题例2水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD.如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B＝60°，背水坡面CD的长为16eq\r(3)米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米.(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？(2)求加固后的大坝背水坡面DE的坡度.解：(1)如图，分别过点A，D作BC的垂线，垂足分别为F，G.在Rt△ABF中，AB＝16米，∠B＝60°，∴AF＝16×sin60°＝8eq\r(3)（米），∴DG＝米.又∵CE＝8米，∴S△DCE＝eq\f(1,2)×8×8eq\r(3)＝32eq\r(3)（平方米）.∴需要填土石方32eq\r(3)×150＝4800eq\r(3)(立方米).(2)在Rt△DGC中，CG＝eq\r(DC2－DG2)＝eq\r(（16\r(3)）2－（8\r(3)）2)＝24（米），∴GE＝24+8＝32（米）.在Rt△DGE中，tan∠DEG＝eq\f(DG,GE)＝eq\f(8\r(3),32)＝eq\f(\r(3),4)＝i.课堂练习1.如图，某铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，已知路基高AE为5m，左侧坡面AB长10m，则左侧坡面AB的坡度为()A.1∶2B.1∶eq\f(1,2)C.1∶eq\r(3)D.1∶eq\f(\r(3),3)2.如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5米，那么这两棵树在坡面上的距离AB为()A.5cosα米B.米C.5sinα米D.米3某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道.若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF＝eq\f(2,3)，BF＝3米，BC＝1米，CD＝6米.求：(1)∠D的度数；(2)线段AD的长.4.水库大坝的横断面是四边形ABCD，BC∥AD，坝顶宽为6m，坝高为23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5.求：(1)斜坡CD的坡角α的值(精确到1°)；(2)坝底宽AD与斜坡AB的值(精确到0.1m).参考答案1.C2.B3.解：(1)∵四边形BCEF是矩形，∴∠BFE＝∠CEF＝90°，∴∠BFA＝∠CED＝90°，CE＝BF＝3米.∵CD＝6米，∴sin∠CDE＝eq\f(1,2)，∴∠D＝30°.(2)∵sin∠BAF＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BF,AB)＝eq\f(2,3).∵BF＝3米，∴AB＝eq\f(9,2)米，∴AF＝＝eq\f(3\r(5),2)（米）.∵CD＝6米，∠CED＝90°，∠D＝30°，∴cos30°＝eq\f(DE,CD)，∴DE＝3eq\r(3)米，∴AD＝AF＋FE＋ED＝米.4.解：（1）斜坡CD的坡度i′＝tanα＝1∶2.5＝0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α的值为22°.（2）如图，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F.由题意可知BE＝CF＝23m，EF＝BC＝6m.在Rt△ABE中，∵i＝，∴AE＝3BE＝3×23＝69（m），AB＝≈72.7（m）.在Rt△CFD中，∵i′＝，∴FD＝0.25CF＝0.25×23＝5.75（m）.∴AD＝69+6+5.75≈80.8（m）.课堂小结一、坡度