2024-2025学年沪教版初中数学九年级（上）教案 第23章 解直角三角形23.1锐角的三角函数第2节

第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数230°，45°，60°角的三角函数值教学目标经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，熟练进行计算，使学生理解正、余弦关系式及推导过程，并能利用其解答一些基本问题.教学重难点重点：能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算.难点：进一步体会三角函数的意义.教学过程旧知回顾【问题】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b)，sinB＝eq\f(b,c)，cosB＝eq\f(a,c)，tanB＝eq\f(b,a).(2)若∠A＝30°，则eq\f(a,c)＝eq\f(1,2).新课讲授【问题】问题1如何得出30°，60°角的三角函数值？【活动】学生独立思考，回答.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，设BC＝1，则AB＝2，由勾股定理得AC＝eq\r(3).于是可得sin30°＝eq\f(1,2)，cos30°＝eq\f(\r(3),2)，tan30°＝eq\f(\r(3),3)，sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，tan60°＝eq\r(3).【问题】问题2如何得出45°角的三角函数值？【活动】学生独立思考，回答.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，设BC＝1，则AC＝1，AB＝eq\r(2)，于是有sin45°＝eq\f(\r(2),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，tan45°＝1.【归纳】特殊角的三角函数值：三角函数αsinαcosαtanα30°eq\f(1,2)eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),3)45°eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)160°eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)eq\r(3)【互动】学生独立完成，代表回答，教师补充完善.例1求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）.（2）.需要提醒学生注意：cos245°表示（cos45°）2，sin245°表示（sin45°）2，tan245°表示（tan45°）2.例2求下列各式的值：(1)cos260°＋cos245°＋eq\r(2)sin30°sin45°；(2)＋.学生独立完成，代表回答，教师补充完善，强化过程计算.解：(1)原式＝＋eq\r(2)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,4)；(2)原式＝eq\f(\f(1,2)＋\f(\r(2),2),\f(1,2)－\f(\r(2),2))＋eq\f(\f(1,2)－\f(\r(2),2),\f(1,2)＋\f(\r(2),2))＝eq\f(（1＋\r(2)）2＋（1－\r(2)）2,12－（\r(2)）2)＝eq\f(1＋2＋2\r(2)＋1－2\r(2)＋2,1－2)＝－6.【思考】解：任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.∵sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，sinB＝eq\f(b,c)，cosB＝eq\f(a,c)，∴sinA＝cosB，cosA＝sinB.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠B＝90°－∠A，即sinA＝cosB＝cos(90°－∠A)，cosA＝sinB＝sin(90°－∠A).【归纳】结论：任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值.典型例题例3填空：(1)已知sin67°28′＝0.9237，则cos22°32′＝0.9237；(2)已知cos4°14′＝0.9973，则sin85°46′＝0.9973.例4已知sinA＝eq\f(1,2)，且∠B＝90°－∠A，求cosB.解：∵∠B＝90°－∠A，∴∠A＋∠B＝90°，∴cosB＝cos(90°－∠A)＝sinA＝eq\f(1,2).变式：已知α，β为锐角，且sin(90°－α)＝eq\f(1,3)，sinβ＝eq\f(1,4)，求的值.解：∵sin(90°－α)＝cosα＝eq\f(1,3)，cos(90°－β)＝sinβ＝eq\f(1,4)，∴＝eq\f(\f(1,4),\f(1,3))＝eq\f(3,4).课堂练习1.(1)在△ABC中，sinB＝cos(90°－∠C)＝eq\f(1,2)，那么△ABC是三角形；(2)已知α为锐角，tan(90°－α)＝eq\r(3)，则α的度数为.2.计算：(1)eq\f(1,2)sin60°×eq\f(\r(,2),2)cos45°；(2)tan230°＋cos230°－sin245°tan45°.参考答案1.（1）等腰（2）30°2.解：(1)eq\f(1,2)sin60°×eq\f(\r(,2),2)cos45°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(,3),2)×eq\f(\r(,2),2)×eq\f(\r(,2),2)＝eq\f(\r(,3),8)；(2)tan230°＋cos230°－sin245°tan45°＝×1＝eq\f(1,3)＋eq\f(3,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(7,12).学生独立完成，教师归纳解题思路：这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混合运算顺序及法则进行计算.课堂小结三角函数αsinαcosαtanα30°eq\f(1,2)eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),3)45°eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)160°eq\f(