2024-2025学年沪教版初中数学九年级（上）教案 第22章 相似形22.3相似三角形的性质

第22章相似形22.3相似三角形的性质教学目标1.理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系和相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，掌握定理的证明方法.2.能灵活运用相似三角形的判定定理和性质，并能用来解决简单的问题.教学重难点重点：相似三角形性质定理的探究及应用.难点：综合应用相似三角形的性质与判定定理探索相似三角形中对应线段之间的关系和相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方.教学过程复习回顾【问题】如何判定两个三角形相似？相似三角形有何性质？①相似三角形的对应角_____________；②相似三角形的对应边______________.探究新知【活动】想一想：它们还有哪些性质呢?（1）一个三角形有哪三条重要线段？（2）如果两个三角形相似，那么这些对应线段有什么关系呢？【互动】观察（1）如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为，对应高的比.（2）如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为，对应中线的比.（3）如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为，对应角平分线的比＝.当△ABC∽△A′B′C′，且相似比为时，可得：对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都是.观察这些数据，你会有怎样的猜想呢？定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比等于相似比.【活动】问题1如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，其中AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高，△ABD与△A′B′D′相似吗？问题2如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，其中AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高，由△ABD∽△A′B′D′能否得到的值？发现：相似三角形对应高的比等于相似比.【探究】问题3如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，其中，AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的中线，则＝k.结论：相似三角形对应中线的比等于相似比.【探究】问题4如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，其中BE，B′E′分别为∠ABC，∠A′B′C′的平分线，则＝k.结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比.【归纳】教师引导，学生总结【练习】（学生口答）1.相似三角形对应边的比为2∶3，那么相似比为_______，对应角平分线的比为_________.2.两个相似三角形的相似比为1∶4，则对应高的比为_______，对应角平分线的比为_________.3.两个相似三角形对应中线的比为1∶4，则相似比为________，对应高的比为_________.【探究】（师生互动）定理2：两个相似三角形的周长比等于相似比.已知：如下图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k.求证：△ABC，△A′B′C′的周长比等于k.证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴，∴＝k，即△ABC，△A′B′C′的周长比等于相似比.定理3：两个相似三角形的面积比等于相似比的平方.如上图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′对应边BC，B′C′上的高，求证：.证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴，∴.【尝试】（小组讨论，教师引导）例1已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AB＝10，A′B′＝2，BD＝6.求B′D′的长.解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴，，B′D′＝1.2.答：B′D′的长为1.2.例2如图，DE∥BC，DE＝1，BC＝4，（1）△ADE与△ABC相似吗？如果相似，求它们的相似比.（2）△ADE的周长∶△ABC的周长＝1∶4.（3）.（4）.课堂练习1.如果两个三角形相似，相似比为3∶5，则对应角平分线的比等于______.2.相似三角形对应边的比为2∶5，那么相似比为_______，对应角平分线的比为______，周长的比为_________，面积的比为_________.3.在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，如果AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为_________.4.如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上.若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，则EH的长为________.5.如图，已知△ABC∽△DEF，BG，EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm，EF＝4cm，BG＝4.8cm.求EH的长.6.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积.参考答案1.3∶52.2∶5；2∶5；2∶5；4∶253.34.5.3.2cm6.解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，∠ADE＝∠EFC，∠A＝∠CEF，∴△ADE∽△EFC.又∵S△ADE∶S△EFC＝4∶9，∴AE∶EC＝2∶3，则AE∶AC＝2∶5，