2024-2025学年沪教版初中数学九年级（上）教案 第21章 二次函数与反比例函数21.5　反比例函数（第2课时）

第21章二次函数与反比例函数21.5反比例函数第2课时反比例函数的图象与性质教学目标1.学会用描点法作反比例函数的图象，能结合函数图象进行探索.2.理解并掌握反比例函数的性质，会应用反比例函数的性质解决问题.3.理解反比例函数k的几何意义，并会应用其解决问题.教学重难点重点：反比例函数的图象和性质，比例系数k的几何意义.难点：应用反比例函数的性质解决问题.教学过程复习巩固【问题】1.反比例函数的概念？一般地，表达式形如y＝(k常数，且QUOTEkk≠0)的函数叫做反比例函数.2.你还记得作函数图象的一般步骤吗？列表,描点,连线.探究新知【尝试】在坐标系中画出反比例函数y＝和y＝-的图象.1.列表：x…-6-5-4-3-2-1123456……-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21……11.21.5236-6-3-2-1.5-1.2-1…【思考】取值时应注意什么？注意：1.列表：①列表时自变量取值要均匀和对称；②x≠0；③自变量取整数，能方便计算和描点.2.描点.3.连线.连线时，要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性.【问题】(小组讨论，老师引导)从上面所作的图象中，比较y＝和y＝-的图象有什么共同特征？反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.有两条对称轴：直线y＝xQUOTEy=x和y＝-x.对称中心是：原点.【活动】(小组讨论)1.反比例函数图象的特点：反比例函数的图象是由两支双曲线组成的，因此称反比例函数y＝的图象为双曲线.图象的两个分支都可以无限延伸，并无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交.2.函数图象分别位于哪几个象限？当k>0QUOTE时,两支双曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内.3.反比例函数图象上点的对称性.如果点P(x0，y0)在函数y＝的图象上，那么点P(-x0，-y0)也在函数y＝的图象上.【归纳】列表填写：y＝k>0k<0图象每一象限内，图象自左向右下降每一象限内，图象自左向右上升性质函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大【问题】(小组讨论)已知反比例函数y＝.(1)如果这个函数图象经过点(-3,5),求k的值；(2)如果这个函数图象在它所处的每个象限内,函数y随x的增大而减小,求k的取值范围.【思考】(小组合作，老师指导)解(1)因为函数图象经过点(-3,5),代入函数的表达式,得5＝QUOTE,解得k＝-7.(2)根据题意,有2k-1>0，解得k>QUOTE.【反思】反比例函数图象的增减性主要由谁决定？【练一练】已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限，反比例函数y＝在x>0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是_______.答案：-2<k<3【探究】(师生互动，总结结论)在反比例函数y＝的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格：y＝S1的值S2的值S1与S2的关系猜想与k的关系P(2，2)，Q(4，1)44S1＝S2S1＝S2＝k【思考】(激发学生思考)你从中能发现什么结论？如图，过双曲线y＝上任意一点P(x，y)分别作QUOTExx轴、QUOTEyy轴的垂线PM，PN，连接OP.S矩形OMPN＝PM·PN＝|x|·|y|＝|x·y|.∵y＝，∴x·y＝k，∴S矩形OMPN＝|k|，S△OPN＝S△OPM＝.【尝试】如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数y＝的图象的一支经过矩形对角线的交点P,则该反比例函数的表达式是()A.y＝B.y＝C.y＝D.y＝ 解析：过点P作PD⊥OB（图略）.由反比例函数的几何意义可知，S△OPD＝，即，解得k＝±1.又因为反比例函数图象在第一象限，所以k>0，所以k＝1,故选C.【答案】C课堂练习1.函数y＝的图象在第_______象限，在每一象限内，y随x的增大而_______.2.函数y＝的图象在第______象限，在每一象限内，y随x的增大而_______.3.函数，当x>0时，图象在第____象限，y随x的增大而_________.4.已知函数y＝(m+1)是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是()A.2B.-2C.±2D.5.已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是()A.图象经过点(1，1)B.图象在第一、三象限C.当x>1时，0<y<1D.当x<0时，y随着x的增大而增大6.如图，A是反比例函数y＝的图象上的一点，AB⊥x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是()A.3B.-3C.6D.-67.已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，y随x的增大如何变化？(2)点B(3，4)，C，D(2，5)是否在这个函数的图象上？参考答案1.一、三减小2.二、四增大3.一减小4.B5.D6.C7.解：(1)因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.(2)设这个反比例函数的表达式为y＝.因为点A(2，6)在其图象上，所以点A的坐标满足y＝，即6＝，解得k＝12.所以，这个反比例函数的表达式为y＝.因为点B，C的坐标都满足y＝，点D的坐标不满足y＝.所以点B，C在函数y＝的图象上，点D不在这个函数的图象上.课堂小结反比例函数的图象和性质形状：反比例函数的图象是由两支双曲线组成的，因此称反比例函数的图象为双曲线.位置：当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内；当k<0QUOTEk<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内.反比例函数中比例系数k的几何意义过双曲线𝑦＝上任意一点𝑃分别作𝑥轴、𝑦轴的垂线𝑃𝑀，𝑃𝑁，连接𝑂𝑃.则S矩形OMPN＝|k|，S△OPM＝S△OPN＝.布置作业教材P48第4题.板书设计反比例函数的图象与性质y＝k>0k<0图象每一象限内，图象自左向右下降每一