2024-2025学年沪教版初中数学九年级（上）教案 第21章 二次函数与反比例函数21.4　二次函数的应用（第2课时）

第21章二次函数与反比例函数21.4二次函数的应用第2课时利用二次函数模型解决抛物线型建筑问题教学目标1.熟练掌握二次函数模型的相关基础知识.2.初步体会利用建模的思想解决实际问题的过程.3.能够初步掌握建立函数模型解决实际问题的基本步骤.教学重难点重点：使学生初步掌握建立函数模型解决实际问题的基本步骤，体会建模的数学思想.难点：建立函数模型解决实际问题.教学过程导入新课【问题1】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加m.探究新知【活动】(2，-2)，可得-2＝a×22，解得a＝，所以这条抛物线对应的函数表达式为.当水面下降2m时，抛物线的纵坐标为-4，则当y＝-4时，得水面宽度增加m.【总结】1.通过上述例题的分析，我们可以看出：读题是解决实际问题的重要环节，一定要把实际问题所要表述的内容搞清楚，这需要逐字逐句地把问题看懂，这是建立数学模型的前提.2.(引导学生通过题目归纳)解决抛物线型的建筑问题的关键：合理建立平面直角坐标系，设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再由二次函数的性质解决问题.【问题2】从房屋的窗户的形状如图所示，它的上半部分是四个小扇形组成的半圆，下半部分是由三个相同的小矩形组成，制作窗框的材料总长为15m，设半圆的半径为xm，窗户的截面面积为Sm2.(1)求S与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；(2)画出(1)中所求函数的图象；(3)当x的长度为多少时，S有最大的值？最大的值是多少？(精确到0.01)【思考】观察图形思考小矩形的宽与半圆的半径有什么关系？如何利用二次函数结合矩形面积公式列出函数表达式？【互动】(引发学生思考，老师指导)试写出解题过程.解：(1)设矩形的宽为ym，∵材料的总长为15m，∴4y+7x+πx＝15，∴y＝(15-7x-πx)，从而S＝2x•(15-7x-πx)+＝-3.5x2+7.5x，即S＝-3.5x2+7.5x.(2)由(1)知S＝-3.5x2+7.5x＝-0.5x(7x-1.5)＝，则函数图象与x轴的两个交点坐标是(0，0)，(1.5，0)，顶点坐标是，开口向下，其大致图象如图所示.(3)如图所示，当x＝≈1.07时，S最大值＝≈4.02.答：当x约为1.07m时，S有最大值，此时S的最大值约为4.02m2.【问题3】下面让你们来解决下面的这道题：一辆宽为2m的货车(如图(1))，要通过一条抛物线形隧道(如图(2)).为确保车辆安全通行，规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为0.5m.已知隧道的跨度AB为8m，拱高为4m.(1)若隧道为单车道，货车高为3.2m，该货车能否安全通行？为什么？(2)若隧道为双车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，通过计算说明该货车能够通行的最大安全限高.(1)(2)【互动】(引导学生分析题目中的信息，结合图形和已知条件能确定出哪些量，让学生发现如何引入二次函数解决问题)以AB所在直线为x轴，线段AB中垂线为y轴建立坐标系，利用待定系数法求出其函数表达式，再求出x＝1时y的值，从而做出判断.【解题过程】(1)货车能安全通行.理由如下：设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+4，将B(4，0)代入，得16a+4＝0，解得a＝-，∴抛物线对应的函数表达式为.由x＝1，可得y＝3.75.∵3.75-0.5＝3.25＞3.2，∴货车能够安全通行.(2)∵两车道之间有0.4m的隔离带，∴由，可得y＝2.79.∵2.79-0.5＝2.29（m），∴货车能够通行的最大安全限高为2.29m.【总结】1.同学们在解决问题时应选择适当的函数模型；2.在解题时，能够直接弄清函数形式的可直接利用所给的函数关系求解，若并不能直接确定函数关系的，则应按照题目指明的相等关系建立函数模型，再进行求解.课堂练习1.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m.如图（2），建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数表达式y＝ax2+x+c(a≠0)，则水流喷出的最大高度为()(1)(2)A.1m B.m C.2m D.m2.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m达到警戒水位时，水面CD的宽是10m.如果水位以0.25m/h的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过h水位达到桥拱最高点O.3.廊桥是我国古老的文化遗产，下图是某座抛物线形的廊桥示意图.已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF.(结果保留根号)参考答案1.C2.43.解：如图，以AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.由题意知，A(-20，0)，B(20，0)，C(0，10).设过点A，B，C的抛物线对应的函数表达式为y＝a(x+20)(x-20)(a＜0).把点C(0，10)的坐标代入，得10＝a(0+20)(0-20)，解得a＝-，则该抛物线对应的函数表达式为y＝-(x+20)(x-20)＝-x2+10.把y＝8代入，得-x2+10＝8，解得x1＝4，x2＝-4.所以两盏警示灯之间的水平距离为EF＝|x1-x2|＝|4-(-4)|＝8(m).课堂小结1.本节课的重点是了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想.2.建立函数模型解决实际问题的步骤:(1)认知读题、审清题意.(2)设有关符号表示题目中的有关量.(3)若已知题目中的函数关系，则直接利用函数的观点解题；若未知题目的函数关系，则根据题目中的等量关系用相关的符号来建立函数关系，并用函数的观点解答问题.布置作业某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y＝x2的形状，今在一个坡度为1∶5的斜坡BD上，沿水平距离间隔50米架设两个固定电缆位置的塔柱AB，CD，塔柱高度均为20米(如图)，以点B为原点，BE方向为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，解决下列问题：(1)求电缆(AC段)所在抛物线对应的函数表达式；(2)求下垂的电缆与斜坡BD的最近距离.【答案】解：(1)由题意设抛物线对应的函数表达式为y＝x2+bx+c，易知A(0，20)，C(50，30)，代入，得解得∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2-x+20.(2)∵斜坡的坡度为1∶5，∴斜坡所在直线对应的函数表达式为y＝x.设一条与x轴垂直的直线x＝m与抛物线交于点M，与斜坡交于点G，则MG＝m2-m+20-m＝(m-25)2+13.75，∴当m＝25时，MG有最小值，最小值为13.75，即下垂的电缆与地面的最近距离为13.75米.板书设计【问