安徽省安庆市重点中学2025届高二数学第一学期期末预测试题含解析

安徽省安庆市重点中学2025届高二数学第一学期期末预测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若变量x，y满足约束条件，则目标函数最大值为（）A.1 B.-5C.-2 D.-72．已知x是上的一个随机的实数，则使x满足的概率为（）A. B.C. D.3．若命题为“，”，则为（）A.， B.，C.， D.，4．抛物线的焦点到直线的距离（）A. B.C.1 D.25．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测．把这批公务员按001到780进行编号，若018号被抽中，则下列编号也被抽中的是（）A.076 B.122C.390 D.5226．已知直线与直线垂直，则（）A. B.C. D.7．若，则n的值为（）A.7 B.8C.9 D.108．函数的导数记为，则等于（）A. B.C. D.9．俗话说“好货不便宜，便宜没好货”，依此判断，“不便宜”是“好货”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（）A. B.C. D.11．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（）A.100 B.C.300 D.40012．连续抛掷一枚均匀硬币3次，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（）A.只有2次出现反面 B.至少2次出现正面C.有2次或3次出现正面 D.有2次或3次出现反面二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列中，，，，则______14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，且，则的离心率为___________.15．如图，四边形为直角梯形，且，为正方形，且平面平面，，，，则______，直线与平面所成角的正弦值为______16．曲线的长度为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）求在点处的切线方程（2）求直线与曲线围成的封闭图形的面积18．（12分）记为等差数列的前n项和，已知.（1）求的通项公式；（2）求的最小值.19．（12分）△ABC的三个顶点分别为（1）求△ABC的外接圆M的方程；（2）设直线与圆M交于两点，求|PQ|的值20．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）21．（12分）如图，三棱锥中，，，，，，点是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且.（1）证明：平面CMN；（2）求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.22．（10分）在中，角、、C所对的边分别为、、，，.（1）若，求的值；（2）若的面积，求，的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【详解】解：由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线，由图象可知当直线，过点时取得最大值，由，解得，所以代入目标函数，得，故选：A2、B【解析】先解不等式得到的范围，再利用几何概型的概率公式进行求解.【详解】由得，即，所以使x满足的概率为故选：B.3、B【解析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“，”的否命题为“，”，故选：B4、B【解析】由抛物线可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由抛物线可得焦点坐标为，根据点到直线的距离公式，可得，即抛物线的焦点到直线的距离为.故选：B.5、B【解析】根据系统抽样的特点，写出组数与对应抽取编号的关系式，即可判断和选择.【详解】根据题意，780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人，则需要分为组，每组人；设第组抽取的编号为，故可设，又第一组抽中号，故可得，解得故，当时，.故选：.6、C【解析】根据两直线垂直可直接构造方程求得结果.【详解】由两直线垂直得：，解得：.故选：C.7、D【解析】根据给定条件利用组合数的性质计算作答【详解】因为，则由组合数性质有，即，所以n的值为10.故选：D8、D【解析】求导后代入即可.【详解】，.故选：D.9、A【解析】将“好货”与“不便宜”进行相互推理即可求得答案.【详解】根据题意，“好货”一定“不便宜”，但是“不便宜”不一定是“好货”，所以“不便宜”是“好货”的必要不充分条件.故选：A.10、C【解析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解.【详解】，，因为点到的准线的距离为，所以，得故选：C11、B【解析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出【详解】设大圆锥的高为，所以，解得故故选：B【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题12、D【解析】根据对立事件的定义选择【详解】对立事件是指事件A和事件B必有一件发生，连续抛掷一枚均匀硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，对立事件为“有2次或3次出现反面”故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##0.5【解析】直接计算得到答案.【详解】∵，，则，.故答案为：.14、【解析】由双曲线定义可得a，代入点P坐标可得b，然后可解.【详解】由题知，故，又点在双曲线上，所以，解得，所以.故答案为：15、①..②..【解析】以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系,根据空间向量的线性运算求得向量的坐标，由此求得，由线面角的空间向量求解方法求得答案.【详解】解：以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如下图所示）由题意可知，，，因为，，所以，故设平面的法向量为，则，令，得因为，所以直线与平面所成角的正弦值为故答案为：；.16、【解析】曲线的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，进而可求出结果.【详解】解：由得，所以曲线（）的图形是：以原点为圆心，以2为半径的圆的左半圆，∴曲线（）的长度是，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）2【解析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；（2）首先求出两函数的交点坐标，再利用定积分及微积分基本定理计算可得；【小问1详解】解：因为，所以，所以切线的斜率，切线过点，切线的方程为，即【小问2详解】解：由题知，即解得或，即或或，直线与曲线于则所求图形的面积18、（1）（2）【解析】（1）设数列的公差为d，由，利用等差数列的前n项和公式求解；（2）利用等差数列的前n项和公式结合二次函数的性质求解.【小问1详解】解：设数列的公差为d，∵，∴，解得2，∴.【小问2详解】由（1）知2，∴，，，∴当时，取得最小值-16.19、（1）；（2）.【解析】（1）设出圆的一般方程，根据的坐标满足圆方程，待定系数，即可求得圆方程；（2）根据（1）中所求圆方程，结合弦长公式，即可求得结果.【小问1详解】设圆M的方程为，因为都在圆上，则，解得，故圆M的方程为，也即.【小问2详解】由（1）可知，圆M的圆心坐标为，半径为，点M到直线的距离故.20、（1）（2）【解析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用分式不等式的解法求解.【小问1详解】解：因为，所以，解得，所以不等式的解集是；【小问2详解】因为，所以，所以，即，解得，所以不等式的解集是.21、（1）证明见解析（2）【解析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标,（1）求出平面的法向量，利用证明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：三棱锥中，，，∴分别以，，，，轴建立如图所示空间直角坐标系∵，，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上且∴，，，，，设平面的法向量，，，，由得