海南省海口市湖南师大附中海口中学2025届数学高二上期末联考试题含解析

海南省海口市湖南师大附中海口中学2025届数学高二上期末联考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（）A. B.C. D.2．设，，且，则等于（）A. B.C. D.3．已知函数，若，，则实数的取值范围是A. B.C. D.4．已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.5．若，（），则，的大小关系是A. B.C. D.，的大小由的取值确定6．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.7．与空间向量共线的一个向量的坐标是（）A. B.C. D.8．二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（）A.2 B.8C.16 D.329．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为3，则输出的的值为（）A.3 B.6C.9 D.1210．边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（）A. B.C. D.11．设a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（）A.a，b，c依次成等差数列 B.，，依次成等差数列C.，，依次成等比数列 D.，，依次成等比数列12．已知抛物线上一点到焦点的距离为3，准线为l，若l与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线C的离心率为（）A.3 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设a为实数，若直线与直线平行，则a值为______.14．若实数x，y满足约束条件，则的最大值是_________.15．已知，，若，则_________.16．已知数列是公差不为零的等差数列，，，成等比数列，第1，2项与第10，11项的和为68，则数列的通项公式是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个条件：①，②，③中选择一个作为条件，补充在题中横线处，使问题完善，并解答你构造的问题.（如果选择多个关系并分别解答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）.问题：已知命题，，命题___________，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18．（12分）已知点在抛物线（）上，过点A且斜率为1直线与抛物线的另一个交点为B（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；（2）求弦长19．（12分）已知数列的前项和为，若.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20．（12分）如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.21．（12分）已知函数的图象在处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围.22．（10分）已知圆（1）若直线与圆C相交于A、B两点,当弦长最短时,求直线l的方程;（2）若与圆C相外切且与y轴相切的圆的圆心记为D,求D点的轨迹方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知，圆的圆心，半径.因为，所以点在圆上，所以过点的圆的切线与直线垂直，设切线的斜率，则有，即，解得.因为直线与切线垂直，所以，解得.故选：B.2、A【解析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数的值.【详解】由已知可得，解得.故选：A.3、A【解析】函数，若，，可得，解得或，则实数的取值范围是，故选A.4、B【解析】由渐近线方程，设出双曲线方程，结合与椭圆有相同的焦点，求出双曲线方程.【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程为：∴设双曲线：∵双曲线与椭圆有相同的焦点∴，解得：∴双曲线的方程为.故选：B.5、A【解析】∵且，∴，又，∴，故选A.6、D【解析】设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率.【详解】设大正方形的边长为，则面积为，阴影部分由一个大等腰直角三角形和一个梯形组成大等腰直角三角形的面积为，梯形的上底为，下底为，高为，面积为，故所求概率故选：D.7、C【解析】根据空间向量共线的坐标表示即可得出结果.【详解】.故选：C.8、D【解析】根据给定条件利用二项式系数的性质直接计算作答.【详解】二项式的展开式的各项二项式系数的和是.故选：D9、A【解析】模拟执行程序框图，根据输入数据，即可求得输出数据.【详解】当时，不满足，故，即输出的的值为.故选：.10、B【解析】建立空间直角坐标系，以向量法去求的大小即可解决.【详解】由题意可得平面，，则两两垂直以O为原点，分别以OB、OA、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则，，，，又，则故选：B11、B【解析】由等差数列的性质得，利用正弦定理、余弦定理推导出，从而，，依次成等差数列.【详解】解：∵a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，依次成公差不为0的等差数列，∴，根据正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，，依次成等差数列.故选：B.【点睛】本题考查三个数成等差数列或等比数列的判断，考查等差数列、等比数列的性质、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.12、C【解析】先由已知结合抛物线的定义求出，从而可得抛物线的准线方程，则可求出准线l与两条渐近线的交点分别为，然后由题意可得，进而可求出双曲线的离心率详解】依题意，抛物线准线，由抛物线定义知，解得，则准线，双曲线C的两条渐近线为，于是得准线l与两条渐近线的交点分别为，原点为O，则面积，双曲线C的半焦距为c，离心率为e，则有，解得故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据两直线平行得到，解方程组即可求出结果.【详解】由题意可知，解得，故答案为：.14、##【解析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.【详解】，画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线到点时，取得最大值为.故答案为：15、【解析】由题意，，利用向量数量积的坐标运算可得，然后利用定积分性质可得，原式，最后利用微积分基本定理计算，，利用定积分的几何意义计算，即可得答案.【详解】解：因为，，且，所以，解得，所以====.故答案为：.16、【解析】利用基本量结合已知列方程组求解即可.【详解】设等差数列的公差为由题可知即因为，所以解得：所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】分别在、和的情况下得命题对应的集合；选条件后可求得命题对应的集合；根据充分不必要条件的定义可知，分别在、和的情况下得到结果.【详解】由得：，当时，不等式解集；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；是的充分不必要条件，命题对应集合是命题对应集合的真子集，即；若选条件①：由得：，；若选条件②：由得：，解得：，；若选条件③：由得：，解得：，；当时，，符合题意；当时，由知：，；当时，由知：，；综上所述：，即实数的取值范围为.18、（1），焦点坐标（2）【解析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值，进而可得抛物线的焦点坐标；（2）写出直线的方程，联立直线与抛物线方程求得交点坐标，利用两点之间的距离公式即可求解.【小问1详解】因为点在抛物线上，所以，即所以抛物线的方程为，焦点坐标为；【小问2详解】由已知得直线方程为，即由得，解得或所以，则19、（1）（2）【解析】(1)根据所给条件先求出首项，然后仿写，作差即可得到的通项公式；(2)根据（1）求出的通项公式，观察是由一个等差数列加上一个等比数列得到，要求其前项和，采用分组求和法结合公式法可求出前项和【小问1详解】当时，，解得；当时，，∴，化简得，∴是首项为1，公比为2的等比数列，∴，因此的通项公式为.【小问2详解】由（1）得，∴，∴，∴20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据勾股定理先证明，然后证明，进而通过线面垂直的判定定理证明问题；（2）建立空间直角坐标系，进而求出两个平面的法向量，然后通过空间向量的夹角公式求得答案.【小问1详解】∵，，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，，，∴平面.【小问2详解】以点为坐标原点，向量，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，由，，有取，可得平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，由，，有取，可得平面的一个法向量为，所以，故平面与平面的夹角的正弦值为.21、（1）（2）【解析】（1）求，由条件可得，得出关于的方程组，求解可得；（2）令，注意，所以在具有单调性时，则方程无解，求，对分类讨论，求出单调区间，结合函数值的变化趋势，即可求得结论.【详解】解：（1），因为，所以，解得，，所以.（2）令，则.令，则在上单调递增.当，即时，，所以单调递增，又，所以；当，即时，则存在，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，则.当时，，所以在上有解.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查导数的几何意义