2025届甘肃省定西市渭源县高三数学第一学期期末考试模拟试题含解析

2025届甘肃省定西市渭源县高三数学第一学期期末考试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）A．0 B． C． D．2．在中，角的对边分别为，，若，，且，则的面积为（）A． B． C． D．3．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是()A． B．C． D．4．已知函数，其图象关于直线对称，为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（）A．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变C．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变D．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变5．若，，，点C在AB上，且，设，则的值为（）A． B． C． D．6．用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A．k2+1C．k2+17．下列函数中，值域为的偶函数是（）A． B． C． D．8．在的展开式中，含的项的系数是（）A．74 B．121 C． D．9．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（）A． B．3 C． D．110．若2m＞2n＞1，则（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．11．已知全集，集合，则（）A． B． C． D．12．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．180 B．90 C．45 D．360二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则__________．14．若x，y均为正数，且，则的最小值为________.15．已知函数在定义域R上的导函数为,若函数没有零点,且,当在上与在R上的单调性相同时,则实数k的取值范围是______.16．如图，在体积为V的圆柱中，以线段上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为，，则的值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，正方体的棱长为2，为棱的中点.（1）面出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求与该平面所成角的正弦值.18．（12分）已知，，求证：（1）；（2）.19．（12分）如图，在四边形中，，，.（1）求的长；（2）若的面积为6，求的值.20．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数，使得，证明：.21．（12分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点的直角坐标.22．（10分）的内角的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立，∵y=-x-在区间上是增函数∴∴a≥-∴a的最小值为-故答案为C．考点：不等式的应用点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题2、C【解析】

由，可得，化简利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面积．【详解】解：，，且，，化为：．，解得．．故选：．【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3、C【解析】

由题可知，设函数，，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围.【详解】设函数，，因为，所以，或，因为时，，或时，，，其图象如下：当时，至多一个整数根；当时，在内的解集中仅有三个整数，只需，，所以.故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.4、D【解析】

由函数的图象关于直线对称，得，进而得再利用图像变换求解即可【详解】由函数的图象关于直线对称，得，即，解得，所以，，故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度，得再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变,得”即可.故选：D【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题5、B【解析】

利用向量的数量积运算即可算出．【详解】解：，，又在上，故选：【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．6、C【解析】

首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4【详解】当n=k时，等式左端=1+1+…+k1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故选：C．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./7、C【解析】试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．8、D【解析】

根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，9、B【解析】

过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出.【详解】由圆：配方为，，半径.∵过点的直线与圆：相切于点，∴；∴；故选：B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.10、B【解析】

根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.【详解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正确；而当m，n时，检验可得，A、C、D都不正确，故选：B．【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.11、D【解析】

根据函数定义域的求解方法可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果.【详解】，，，.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.12、A【解析】试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，.考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上，设长方体的长宽高为，由题意可得：，据此可得：，则球的表面积：，结合解得：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14、4【解析】

由基本不等式可得,则,即可解得.【详解】方法一：，当且仅当时取等.方法二：因为，所以，所以，当且仅当时取等.故答案为:.【点睛】本题考查基本不等式在求最小值中的应用,考查学生对基本不等式的灵活使用,难度较易.15、【解析】

由题意可知：为上的单调函数，则为定值，由指数函数的性质可知为上的增函数，则在，单调递增，求导，则恒成立，则，根据函数的正弦函数的性质即可求得的取值范围．【详解】若方程无解，则或恒成立，所以为上的单调函数，都有，则为定值，设，则，易知为上的增函数，，，又与的单调性相同，在上单调递增，则当，，恒成立，当，时，，，，，，此时，故答案为：【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．16、【解析】

根据圆柱的体积为，以及圆锥的体积公式，计算即得.【详解】由题得，，得.故答案为：【点睛】本题主要考查圆锥体的体积，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）.【解析】

（1）与平面垂直，过点作与平面平行的平面即可（2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值【详解】解：（1）截面如下图所示：其中，，，，分别为边，，，，的中点，则垂直于平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则.不妨取，则，所以与该平面所成角的正弦值为.（若将作为该平面法向量，需证明与该平面垂直）【点睛】考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.18、（1）见解析；（2）见解析．【解析】

（1）结合基本不等式可证明；（2）利用基本不等式得，即，同理得其他两个式子，三式相加可证结论．【详解】（1）∵，∴，当且仅当a=b=c等号成立，∴；（2）由基本不等式，∴，同理，，∴，当且仅当a=b=c等号成立∴．【点睛】本题考查不等式的证明，考查用基本不等式证明不等式成立．解题关键是发现基本不等式的形式，方法是综合法．19、(1)(2)【解析】

（1）利用余弦定理可得的长；（2）利用面积得出，结合正弦定理可得.【详解】解：（1）由题可知.在中，，所以.（2），则.又，所以.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦定理.20、（1）当时，在上递增，在上递减；当时，在上递增，在上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减，在上递增；（2）证明见解析【解析】

（1）对求导，分，，进行讨论，可得的单调性；（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，，设，可得，则，设，对求导，利用其单调性可证明.【详解】解：的定义域为，因为，所以，当时，令，得，令，得；当时，则，令，得，或，令，得；当时，，当时，则，令，得；综上所述，当时，在上递增，在上递减；当时，在上递增，在上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减，在上递增；（2）在定义域内是是增函数，由（1）可知，此时，设，又因为，则，设，则对于任意成立，所以在上是增函数，所以对于，有，即，有，因为，所以，即，又在递增，所以，即.【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合性大，属于难题.21、【解析】

将直线的极坐标方程和曲线的参数方程分别化为直角坐标方程,联立直角坐标方程求出交点坐标,结合的取值范围进行取舍即可.【详解】因为直线的极坐标方程为，所以直线的普通方程为，又因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的直角坐标方程为，联立方程,解得或，因为，所以舍去，故点的直角坐标为.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化公式是求解本