广东大埔华侨二中2025届高二上数学期末统考试题含解析

广东大埔华侨二中2025届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是（）A.既不互斥也不对立 B.互斥又对立C.互斥但不对立 D.对立2．若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（）A. B.C. D.3．已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积最大时，圆柱的高的值为（）A.1 B.C. D.24．知点分别为圆上的动.点，为轴上一点，则的最小值（）A. B.C. D.5．若复数的模为2，则的最大值为（）A. B.C. D.6．圆的圆心到直线的距离为2，则（）A. B.C. D.27．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）A. B.C. D.8．点到直线的距离为A.1 B.2C.3 D.49．已知函数，则（）A.3 B.C. D.10．设集合，集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.12．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.如图所示的圆形剪纸中，正六边形的所有顶点都在该圆上，若在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为______________14．已知直线，抛物线上一动点到直线l的距离为d，则的最小值是______15．已知直线，，为抛物线上一点，则到这两条直线距离之和的最小值为___________.16．点在以，为焦点的椭圆上运动，则的重心的轨迹方程是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和18．（12分）已知函数，（1）求的单调区间；（2）当时，求证：在上恒成立19．（12分）设数列满足（1）求的通项公式；（2）记数列的前项和为，是否存在实数，使得对任意恒成立.20．（12分）已知等差数列满足，前7项和为（Ⅰ）求的通项公式（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.21．（12分）已知圆C：（1）若点，求过点的圆的切线方程；（2）若点为圆的弦的中点，求直线的方程22．（10分）排一张有6个歌唱节目和5个舞蹈节目的演出节目单.（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据互斥事件、对立事件的定义可得答案.【详解】把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，所以它们的关系是互斥但不对立.故选：C.2、C【解析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离【详解】由截面圆的面积为可知，截面圆的半径为，则球心到截面圆心的距离为故选：C【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面3、B【解析】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，则可得，则圆柱的体积为，利用导数求出最大值，确定值.【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，∴，∴，则圆柱的体积，∴，由得，由得，∴当时，取极大值，也是最大值，即故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识.4、B【解析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.【详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为1，∴若与关于x轴对称，则，即，当三点不共线时，当三点共线时，所以同理(当且仅当时取得等号)所以当三点共线时，当三点不共线时，所以∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，∴.故选：B.5、A【解析】由题意得，表示以为圆心，2为半径的圆，表示过原点和圆上的点的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，然后求出切线的斜率即可【详解】因为复数的模为2，所以，所以其表示以为圆心，2为半径的圆，如图所示，表示过原点和圆上的点的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设切线方程为，则，解得，所以的最大值为，故选：A6、B【解析】配方求出圆心坐标，再由点到直线距离公式计算【详解】圆的标准方程是，圆心为，∴，解得故选：B.【点睛】本题考查圆的标准方程，考查点到直线距离公式，属于基础题7、C【解析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，，解得，，所以数列为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.8、B【解析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】，答案为B【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于简单题.9、B【解析】由导数运算法则求出导发函数，然后可得导数值【详解】由题意，所以故选：B10、A【解析】解不等式求集合，然后判断两个集合的关系【详解】，解得，故，可化为或，解得或，故，故“”是“”的充分不必要条件故选：A11、D【解析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围.【详解】∵，∴，若在区间内存在单调递增区间，则有解，故，令，则在单调递增，，故.故选：D.12、D【解析】设圆的半径，求出圆的面积与正六边形的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：设圆的半径，则，则，所以，所以在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率;故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由抛物线的定义得：，所以，当三点共线时，最小可得答案.【详解】如图所示：，由抛物线的定义得：，所以，由图象知：当三点共线时，最小，.故答案为：.14、##【解析】作直线l，抛物线准线且交y轴于A点，根据抛物线定义有，进而判断目标式最小时的位置关系，结合点线距离公式求最小值.【详解】如下图示：若直线l，抛物线准线且交y轴于A点，则，，由抛物线定义知：，则，所以，要使目标式最小，即最小，当共线时，又，此时.故答案为：.15、【解析】过作，垂足分别为，由直线为抛物线的准线，转化，当三点共线时，取得最小值【详解】过作，垂足分别为抛物线的焦点为直线为抛物线的准线由抛物线的定义，故，当三点共线时，取得最小值故最小值为点到直线的距离：故答案为：16、【解析】设出点和三角形的重心，利用重心坐标公式得到点和三角形的重心坐标的关系，，代入椭圆方程即可求得轨迹方程，再利用，，三点不共线得到.【详解】设，，由，得，即，，因为为的重心，所以，，即，，代入，得，即，因为，，三点不共线，所以，则的重心的轨迹方程是.故答案：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法可求得.【小问1详解】解：设等差数列公差为，，【小问2详解】解：，.18、（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性从而求得函数单调区间；（2）根据题意，转化目标不等式为，分别构造函数，，利用导数研究其单调性，即可证明.【小问1详解】因为，故可得，又为单调增函数，令，解得，故当时，；当时，，故的单调减区间为，单调增区间为.【小问2详解】当时，，要证，即证，又，则只需证，即证，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值；令，，又为单调增函数，且时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，取得最小值.则，且当时，同时取得最小值和最大值，故，即，也即时恒成立.【点睛】本题考察利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究恒成立问题；处理本题的关键是合理转化目标式，属中档题.19、（1）（2）存在【解析】（1）利用“退作差”法求得的通项公式.（2）利用裂项求和法求得，由此求得.【小问1详解】依题意①，当时，.当时，②，①-②得，，时，上式也符合.所以.【小问2详解】.所以.故存在实数，使得对任意恒成立.20、(1)(2).【解析】（1）根据等差数列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，进而求出通项；（2）先明确=，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.解析：（Ⅰ）由，得因为所以（Ⅱ）21、（1）或（2）【解析】（1）求出圆的圆心与半径，分过点的直线的斜率不存和存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径，即可求出切线方程；（2）根据圆心与弦中点的连线垂直线，可求出直线的斜率，进而求出结果.【小问1详解】解：由题意知圆心的坐标为，半径，当过点的直线的斜率不存在时，方程为由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切当过点的直线的斜率存在时，设方程为，即．由题意知，解得，∴方程为故过点的圆的切线方程为