2025届北京市西城66中高二上数学期末质量跟踪监视试题含解析

2025届北京市西城66中高二上数学期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为（）A. B.C. D.2．沙糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A.月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B.这一年的总利润超过400万元C.这12个月利润的中位数与众数均为30 D.7月份的利润最大3．已知集合，，则（）A. B.C. D.4．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.5．不等式的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.6．已知直线：与双曲线的两条渐近线分别相交于A、B两点，若C为直线与y轴的交点，且，则k等于（）A.4 B.6C. D.7．过点且斜率为的直线方程为（）A. B.C. D.8．已知命题，则为（）A. B.C. D.9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M是双曲线右支上一点，，且，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.10．已知点在抛物线：上，则的焦点到其准线的距离为（）A. B.C.1 D.211．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A.4 B.9C.23 D.6412．已知圆与圆相交于A、B两点，则圆上的动点P到直线AB距离的最大值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．方程的曲线的一条对称轴是_______，的取值范围是______.14．已知双曲线C：的一个焦点坐标为，则其渐近线方程为__________15．若圆平分圆的周长,则直线被圆所截得的弦长为____________16．已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点求证：（1）共面；（2）求证：18．（12分）已知椭圆，离心率为，短半轴长为1（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线，问：在椭圆C上是否存在点T，使得点T到直线l的距离最大？若存在，请求出这个最大距离；若不存在，请说明理由19．（12分）已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.(1)求和的通项公式；(2)求数列{}的前n项和.20．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在其定义域上是增函数，求实数的取值范围.21．（12分）如图，已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、，离心率为.过的直线与椭圆的一个交点为，过垂直于的直线与椭圆的一个交点为，.（1）求椭圆的方程和点的轨迹的方程；（2）若曲线上的动点到直线：的最大距离为，求的值.22．（10分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.【详解】根据题意，设点关于直线的对称点，则，解得，即.根据椭圆的定义可知，，当、、三点共线时，长轴长取最小值，即，由且，得，因此椭圆C的短轴的最小值为.故选：B.2、B【解析】根据图形和中位数、众数的概念依次判断选项即可.【详解】A：由图可知，月收入的最大值为90，最小值为30，故A正确；B：各个月的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以总利润为20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(万元)，故B错误；C：这12个月利润的中位数与众数均为30，故C正确；D：7月份的利润最大，为60万元，故D正确.故选：B3、B【解析】根据根式、分式的性质求定义域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求.【详解】∵，，∴故选：B4、A【解析】由函数在上单调递增，可得，从而可求出实数的取值范围【详解】由，得，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即恒成立，因为，所以，所以，所以实数的取值范围为，故选：A5、B【解析】解不等式，由此判断必要不充分条件.【详解】，解得，所以不等式的一个必要不充分条件是.故选：B6、D【解析】先求出双曲线的渐近线方程，然后分别与直线联立，求出A、B两点的横坐标，再利用可求解.【详解】由双曲线方程可知其渐近线方程为：，当时，与联立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故选：D7、B【解析】利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】由题意可知所求直线的方程为，即.故选：B.8、C【解析】将全称命题否定为特称命题即可【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题，则，故选：C.9、A【解析】本题考查双曲线的定义、几何性质及直角三角形的判定即可解决.【详解】因为，，所以在中，边上的中线等于的一半，所以．因为，所以可设，，则，解得，所以，由双曲线的定义得，所以双曲线的离心率故选：A10、B【解析】由点在抛物线上，求得参数，焦点到其准线的距离即为.【详解】由点在抛物线上，易知，，故焦点到其准线的距离为.故选：B.11、C【解析】直接按程序框图运行即可求出结果.【详解】初始化数值，，第一次执行循环体，，，1≥4不成立；第二次执行循环体，，，2≥4不成立；第三次执行循环体，，，3≥4不成立；第四次执行循环体，，，4≥4成立；输出故选：C12、A【解析】判断圆与的位置并求出直线AB方程，再求圆心C到直线AB距离即可计算作答.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，，即圆与相交，直线AB方程为：，圆的圆心，半径，点C到直线AB距离的距离，所以圆C上的动点P到直线AB距离的最大值为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.x轴或直线②.【解析】根据给定条件分析方程的性质即可求得对称轴及x的取值范围作答.【详解】方程中，因，则曲线关于x轴对称，又，解得，此时曲线与都关于直线对称，曲线的对称轴是x轴或直线，的取值范围是.故答案为：x轴或直线；14、【解析】根据双曲线的定义由焦点坐标求出，即可得到双曲线方程，从而得到其渐近线方程；【详解】解：因为双曲线C：的一个焦点坐标为，即，，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线为；故答案为：15、6【解析】根据两圆的公共弦过圆的圆心即可获解【详解】两圆相减得公共弦所在的直线方程为由题知两圆的公共弦过圆的圆心,所以即,又,所以到直线的距离所以直线被圆所截得的弦长为故答案为:616、.【解析】设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，求得,结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出不再放回，设事件：第1次抽到代数题，事件：第2次抽到几何题，则，，所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为:.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）以为原点,为轴,为轴，为轴,建立空间直角坐标系，设,,，求出，，，，0，，，，，从而，由此能证明共面（2）求出，0，，，，，由，能证明【详解】证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设，，，则0，，0，，2b，，2b，，0，，为AB的中点，F为PC的中点，0，，b，，b，，，2b，，共面.（2），【点睛】本题考查三个向量共面的证明,考查两直线垂直的证明,是基础题18、（1）；（2）存在，最大距离为.，理由见解析【解析】（1）根据离心率及短轴长求椭圆参数，即可得椭圆方程.（2）根据直线与椭圆的位置关系，将问题转为平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离，设直线方程联立椭圆方程根据求参数，进而判断点T的存在性，即可求最大距离.【小问1详解】由题设知：且，又，∴，故椭圆C的方程为.小问2详解】联立直线与椭圆，可得：，∴，即直线与椭圆相离，∴只需求平行于直线且与椭圆相切的切线与直线最大距离即为所求，令平行于直线且与椭圆相切的直线为，联立椭圆，整理可得：，∴，可得，当，切线为，其与直线距离为；当，切线为，其与直线距离为；综上，时，与椭圆切点与直线距离最大为.19、（1）；；（2）【解析】（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1）∵，∴当时，.当时，.∵时，满足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列的通项公式主要利用，分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和20、（1）在、上递增，在上递减；（2）.【解析】【小问1详解】由题设，且定义域为，则，当或时，；当时，.所以在、上递增，在上递减.【小问2详解】由题设，在上恒成立，所以在上恒成立，当时，满足题设；当时，，可得.综上，.21、（1）椭圆的方程为，点的轨迹的方程为（2）【解析】（1）由题意可得，求出，再结合，求出，从而可得椭圆的方程，设，则由题意可得，坐标代入化简可得点的轨迹的方程，（2）由题意结合点到直线的距离公式可得，设，将直线方程代入椭圆方程中消去，整理利用根与系数的关系，由，可得，因为，代入化简计算可求得答案【小问1详解】由题意得，解得，则，所以椭圆的方程，设，则由题意可得，所以，所以，所以点轨迹的方程为【小问2详解】由（1）知曲线是以