解答题精准限时训练3(全国卷版)(原卷版+解析)VIP

解答题精准限时训练3（全国甲乙卷版）(建议用时60-70分钟）三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（2022·河北·高三专题练习）己知数列的前项和为，且，_______.请在①；②；成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上而题干中，并解答下面问题.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．（2022·全国·高三专题练习）如图，在五面体中，平面平面，，，且，.（1）求证：平面平面；（2）已知是线段上点，满足，求二面角的余弦值.19．（2022·全国·高三专题练习）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫向另一位著名的数学家帕斯卡提请了一个问题，帕斯卡和费马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注.（1）甲、乙赌博意外终止，若，则甲应分得多少赌注？（2）记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的面积为，上顶点为，右顶点为，直线与圆相切，且椭圆的面积是圆面积的倍.（1）求椭圆的标准方程.（2）为圆上任意一点，过作圆的切线与椭圆交于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中为正实数．（1）试讨论函数的单调性；（2）设，若存在，，使得不等式成立，求的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数（）.（1）当时，解关于的不等式；（2）设关于的不等式的解集为，，如果，求实数的取值范围.解答题精准限时训练3（全国甲乙卷版）(建议用时60-70分钟）三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（2022·河北·高三专题练习）己知数列的前项和为，且，_______.请在①；②；成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上而题干中，并解答下面问题.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）答案见解析；（2）.【详解】因为，所以，即，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，其公差.（1）选①.由，得，即，所以，解得.所以，即数列的通项公式为.选②.由，成等比数列，得，则，所以，所以.选③.因为，所以，所以，所以.（2）由题可知，所以，所以，两式相减，得，所以.18．（2022·全国·高三专题练习）如图，在五面体中，平面平面，，，且，.（1）求证：平面平面；（2）已知是线段上点，满足，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（1）如图，设中点为，过作，令交AB于M，连接EM.，所以,且OM//AC由已知DE//AC,且.所以DE//OM,且DE=OM所以ODEM为平行四边形，所以OD//EM.因为为等边三角形，则有，又平面平面，所以平面，所以平面ABC又平面AEB所以平面平面ABC.（2）由（1）知、、三条直线两两垂直，如图建立空间直角坐标系，依题意可得，，，，，设平面的法向量，则有取由BC=3BF，BC=2得：，则，，设平面的法向量，则有取.易知二面角的大小与向量、的夹角大小一致所以二面角的余弦值等于19．（2022·全国·高三专题练习）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫向另一位著名的数学家帕斯卡提请了一个问题，帕斯卡和费马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注.（1）甲、乙赌博意外终止，若，则甲应分得多少赌注？（2）记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.【答案】（1）216元；（2），是，理由见解析.【详解】（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，当时，甲以赢，所以，当时，甲以赢，所以，当时，甲以赢，所以，于是得甲赢得全部赌注的概率为，所以，甲应分得的赌注为元.（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当时，乙以赢，，当时，乙以赢，，从而得乙赢得全部赌注的概率为，于是甲赢得全部赌注的概率，对求导得，因，即，从而有在上单调递增，于是得，乙赢的概率最大值为，所以事件是小概率事件.20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的面积为，上顶点为，右顶点为，直线与圆相切，且椭圆的面积是圆面积的倍.（1）求椭圆的标准方程.（2）为圆上任意一点，过作圆的切线与椭圆交于，两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值为（1）因为，，所以直线的方程为.因为直线与圆O相切，所以，即.因为椭圆的面积是圆O面积的倍，所以，.即.故椭圆的标准方程为.（2）当过的切线的斜率不存在时，切线方程为，此时，所以.当过的切线的斜率存在时，设切线方程为，则，所以.设，，则，得，所以，.因为，且，.所以.因为，所以，所以，所以，即为定值，且.21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中为正实数．（1）试讨论函数的单调性；（2）设，若存在，，使得不等式成立，求的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．【详解】解：（1）根据题意，，，，或，所以①当时，，则有，或；，此时可得，在，上单调递增，在上单调递减．②当时，，则有，或；，此时可得，在，，上单调递增，在上单调递减．③当时，恒有，此时函数在上单调递增．综上可得，①当时，在，上单调递增，在上单调递减．②当时，在，，上单调递增，在上单调递减．③当时，函数在上单调递增．（2）根据题意，由（1）可得，，若存在，，使得不等式成立，则需使，，由（1）可知，①当时，，则有，或；，此时可得，在，上单调递增，在上单调递减，即得在，上单调递增，故有；②当时，，则有，或；，此时可得，在，，上单调递增，在上单调递减．当时，即时，在，上单调递减，则有，不合题意；当时，即时，在，上单调递减，在，则有，此时令，则，即得此时在上单调递增，所以（1）恒成立，即恒成立，不合题意；综上可得，．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（2022·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.（1）设点P的极坐标为，点M的极坐标，依题意，，由得：，即，所以点P的轨迹的极坐标方程为.（2）设点B的极坐标为，由题设知，点A在曲线上，点B与点A不重合时，面积而，因此，，当时，S取得最大值，所以面积的最大值为.[