平面向量专题讲义(学生版+解析)

第第页平面向量专题讲义TOC\o"1-3"\h\u7566第1讲平面向量基本概念和基本定理 225067题型1平面向量的线性运算 221148题型2平行问题 719741题型3模长问题 89738题型4夹角问题 930568题型5平面向量的坐标运算 113728题型6投影问题 142111题型7垂直问题 1731474第2讲平面向量基本定理及三点共线定理 1927659第3讲平面向量中的范围、最值问题 2717369第4讲极化恒等式 4126382第5讲矩形大法 4814779第6讲五心问题（奔驰定理） 53第1讲平面向量基本概念和基本定理题型1平面向量的线性运算1．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：与的夹角为，与的夹角为，且；对两边平方得：①；对两边同乘得：，两边平方得：②；①②得：；根据图象知，，，代入得，；．故选：．2．已知向量满足，若为的中点，并且，则的最大值是A． B． C． D．【解析】解：如图所示，向量满足，，不妨取，．为的中点，．，，，．，，设，，，．则，当时取等号．的最大值是．故选：．3．在中，，．若点满足A． B． C． D．【解析】解：由题意可得故选：．4．已知，是两个单位向量，且．若点在内，且，，则A． B．3 C． D．【解析】解：因为，是两个单位向量，且．所以，故可建立直角坐标系如图所示．则，，故，，，，又点在内，所以点的坐标为，在直角三角形中，由正切函数的定义可知，，所以，故选：．5．在中，为边上任意一点，为中点，，则的值为A． B． C． D．1【解析】解：设则，故选：．6．点是的边上任意一点，在线段上，且，若，则的面积与的面积的比值是A． B． C． D．【解析】解：如图，设，，，，且，，则．，则，又与的底边相等，的面积与的面积的比值是．故选：．7．中，为边上任意一点，为线段上一点，且，又，则的值为A． B． C． D．1【解析】解：设，，，又，所以故选：．8．在中，点满足，则．【解析】解：点满足，，又，，．又，，．．故答案为：．9．如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为．【解析】解：以为原点，以所在的为轴，建立坐标系，设正方形的边长为1，则，，，，，．设，．再由向量，，，，，，，．由题意得，，．求得，故在，上是增函数，故当时，即，这时取最小值为，故答案为：．10．如图，在中，为上不同于，的任意一点，点满足．若，则的最小值为．【解析】解：不妨设，，，，，，，当时，有最小值，最小值为，故答案为：．题型2平行问题1．已知，若与平行，则A． B．1 C．2 D．3【解析】解：，，当与平行时，，解得．故选：．2．已知向量，则实数为A． B．或 C．1 D．【解析】解：由题意可得：，，，，，，，，，解得故选：．3．已知向量，，若，则．【解析】解：向量，，且，，即．则，，．故答案为：30．4．已知向量，，若，则向量的模为．【解析】解：向量，，若，则，解得，，向量的模为．故答案为：10．5．已知，，，则向量或．【解析】解；设：，，，解得；或等于或故答案为或．题型3模长问题1．设向量，满足，，则A．1 B．2 C．3 D．5【解析】解：，，分别平方得，，两式相减得，即，故选：．2．若向量，满足，，，则A．2 B． C．1 D．【解析】解：向量，满足，，，，，．故选：．3．已知向量，的夹角为，且，，则A． B． C． D．【解析】解：因为向量，的夹角为，且，，所以，即，解得或（舍．故选：．4．已知向量与的夹角为，且，，则向量．【解析】解：根据题意得，故答案为1．5．已知向量，夹角为，且，，则．【解析】解：根据题意，得；．故答案为：．6．已知向量，则．【解析】解：向量，又即即即故答案为：57．已知向量满足，，与的夹角为，则．【解析】解：向量满足，，与的夹角为，则．故答案为：．题型4夹角问题1．已知向量，，若向量，的夹角为，则实数A． B． C．0 D．【解析】解：由题意可得，解得，故选：．2．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．【解析】解：由已知非零向量，满足，且，可得，设与的夹角为，则有，即，又因为，，所以，故选：．3．已知非零向量满足：，则与的夹角为A． B． C． D．【解析】解：由，所以，解得，且；所以；又，，所以，即与的夹角为．故选：．4．已知非零向量满足，则与的夹角为A． B． C． D．【解析】解：由于非零向量满足，等号两边同时平方化简得：，则夹角为，故选：．5．已知向量，，若，则与的夹角为A． B． C． D．【解析】解：根据题意，设与的夹角为，向量，，若，则有，解可得，则，则，则有，，且，则有，则；故选：．6．在中，，，点为边上一点，且，则．【解析】解：由题意可知为的靠近的三等分点，，．故答案为：．题型5平面向量的坐标运算1．已知，，若，则的值为A．2 B． C．3 D．【解析】解：，，，，可得：，可得，．故选：．2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则A．2 B．4 C． D．【解析】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得，，，，解之得且，因此，则故选：．3．已知向量，，则A． B．0 C．1 D．2【解析】解：，，故选：．4．在中，点在上，且，点是的中点，若，，则A． B． C． D．【解析】解：点是的中点故选：．5．已知正方形的边长为2，为的中点，则A． B．6 C．2 D．【解析】解：根据题意，如图：以为坐标原点建立坐标系，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，则，，，，则，则，，则，故选：．6．已知向量，，若，，，则的值为．【解析】解：向量，，若可得，解得，，．故答案为：．7．已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为．【解析】解：以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，，，，，，，，，，，，设，，，，，，，解得，，，，，，，故答案为：．题型6投影问题1．已知点，，，，则向量在方向上的投影为A． B． C． D．【解析】解：；向量在方向上的投影为：．故选：．2．已知外接圆圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向的投影为A． B． C． D．【解析】解：由知，为的中点，如图所示；又为外接圆的圆心，半径为1，为直径，且，，；向量在向量方向的投影为．故选：．3．已知的外接圆的圆心为，半径为2，且，则向量在向量方向上的投影为A．3 B． C． D．【解析】解：的外接圆的圆心为，半径为2，且，，为平行四边形．的外接圆的圆心为，半径为2，得，四边形是边长为2的菱形，且，因此，，向量在方向上的投影为：，故选：．4．已知向量，的夹角为，且，，则向量在方向上的投影等于A． B． C． D．1【解析】解：，，，，解得或（舍去），在方向上的投影等于．故选：．5．已知向量，，且向量满足，则向量在方向上的投影为A． B． C．2或 D．2或【解析】解：向量，，，可得：，解得，，当时，，向量在方向上的投影为，当时，，向量在方向上的投影为，故选：．6．向量，满足，，，则在方向上的投影为A． B． C． D．1【解析】解：向量，满足，，，可得，所以，则在方向上的投影为：．故选：．7．已知向量，向量在方向上的投影为，若，则实数的值为A．3 B． C． D．【解析】解：，在方向上的投影为，，，又，，解得．故选：．8．若为单位向量，，则向量在向量方向上的投影为A． B．1 C． D．【解析】解：，，，在方向上的投影为：．故选：．9．已知非零向量，满足，，在方向上的投影为1，则．【解析】解：设，的夹角为，则在方向上的投影为，，，，，解得：，，．故答案为：36．10．已知边长为的等边中，则向量在向量方向上的投影为．【解析】解：根据题意，，在方向上的投影为：．故答案为：．11．已知向量，且，则向量在向量的方向上的投影为．【解析】解：，在的方向上的投影为．故答案为：2．12．若两单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影为．【解析】解：，，，在方向上的投影为：．故答案为：．13．已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影为．【解析】解：，，，，在方向上的投影是．故答案为：．题型7垂直问题1．已知向量，，且，则A． B．5 C．6 D．7【解析】解：，，且，，解得．故选：．2．已知向量，，，若，，则A．14 B． C．10 D．6【解析】解：向量，，，，可得，解得，，，可得，解得，，则．故选：．3．已知向量，向量，且，则A．6 B．2 C． D．【解析】解：向量，向量，且，，则，故选：．4．已知向量，．若向量与垂直，则A．6 B．3 C．7 D．【解析】解：已知向量，，若向量与垂直，则，求得，故选：．5．设，，向量且，，则A． B． C． D．10【解析】解：；；；；；；；；．故选：．6．已知两个单位向量，的夹角为，，若，则．【解析】解：两个单位向量，的夹角为，．，，，，解得，故答案为：．第2讲平面向量基本定理及三点共线定理一．选择题（共4小题）1．如图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的最小值为A．2 B． C． D．【解析】解：根据条件：，；又；；又，，三点共线；；，；；的最小值为．当且仅当．故选：．2．如图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的最小值为A．2 B． C． D．【解析】解：，，三点共线，，，点是的重心，，，，解得，；结合图象可知，；令，，，；故，，；故，（当且仅当，即，时，等号成立），故的最小值为；故选：．3．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点（点与点不重合），设，，则的最小值为A．2 B． C． D．【解析】解：为的重心，又在线段上，故选：．4．已知是三角形的重心，过的直线分别交直线，于，两点，，，，都是正数），的最小值是A．2 B．3 C．1 D．【解析】解：如图所示，设是的中点．，，三点共线，存在实数使得，，，，都是正数），，是三角形的重心，．，化为．又，为正数，，当且仅当时取等号．的最小值是．故选：．二．填空题（共5小题）5．如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是．【解析】解：若，，，，，三点共线，存在实数，使．，，，，，．设，，则，令得，，或．在上，；在，时，；时，取极小值，也是最小值；的最小值为3，即的最小值是3，故答案为：3．6．在中，，分别在，上，且，，交于点，若，则，．【解析】解：如图：过点作交于；，，；；；，，．故答案为：，．7．如图所示，已知点是的重心，过作直线与、两边分别交于、两点，且，则的值为．【解析】解：根据题意为三角形的重心，，，，由于与共线，根据共线向量基本定理知，存在实数，使得，即，，消去得，，即．8．已知点为的重心，过作直线与，两边分别交于，两点，且，，，则的最小值为．【解析】解：，，三点共线，存在，使，又是的重心，，，，，即．，当且仅当时取等号．故答案为：．9．点是的重心，过作直线与、两边分别交于、两点，且，．若，则，若，则．【解析】解：根据条件：，；又；；又，，三点共线；；，；，，又，即，．故答案为：1，2．三．解答题（共3小题）10．已知点为的重心，过点作直线与、两边分别交于、两点，且，求的值．【解析】解：根据题意为三角形的重心，，，，由于与共线，根据共线向量基本定理知，存在实数，使得，即，即即两边同除以整理得．11．若点是所在平面内一点，且满足：．（1）求与的面积之比．（2）若为中点，与交于点，设，求，的值．【解析】解（1）由，根据三点共线的性质，，且与不共线，可知、、三点共线．如图令，，即面积之比为．（2）由，，由、、三点共线及、、三点共线12．在中，（Ⅰ）求与的面积之比（Ⅱ）若为中点，与交于点且，求的值．【解析】解：（Ⅰ）在中，，即点在线段上的靠近的四等分点，与的面积之比为．（Ⅱ），，，设；三点、、共线，，，．第3讲平面向量中的范围、最值问题一．选择题（共17小题）1．如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于A． B． C． D．1【解析】解：以为原点，以所在直线为轴建立直角坐标系，设点，，则，，，，．所以．由于点在内（包含边界），目标函数为，如图所示，当点为点时，取得最大值，其最大值为，故选：．2．已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于A．13 B．15 C．19 D．21【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得，，，，，，，，，，由基本不等式可得，，当且仅当即时取等号，的最大值为13，故选：．3．已知，，，，；若是所在平面内一点，且，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得，，，，，，，，，，，，，当且仅当，即，，时，取等号，由可得，由可得，的最大值为13，最小值为．则的范围是，．故选：．4．已知，是平面内互不相等的两个非零向量，且，与的夹角为，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解析】解：如图所示，设，，则．由于，与的夹角为，可得中，，．由正弦定理可得：的外接圆的半径．则点为圆上的动点．由图可令，则．．故选：．5．设向量，的夹角定义：若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，的最大值为A．2 B． C． D．【解析】解：设，，则，，与的夹角为，中，，，由正弦定理可得：的半径为1，则点为圆上与不重合的动点，设，由正弦定理可得，，，则，当时，取得最大值，且为．故选：．6．已知平面内互不相等的非零向量，满足，与的夹角为，则的最大值为A．2 B． C． D．【解析】解：如图所示，设，．则．，与的夹角为，中，，．由正弦定理可得：的外接圆的半径．则点为圆上与点重合的动点．由图可令：，．，当时取等号．的最大值为．故选：．7．已知向量与的夹角为，，，，，在时取最小值，当时，的取值范围为A．， B．， C．， D．，【解析】解：由题意得：，，，由二次函数知，当上式取最小值时，，，，解得．的取值范围为．故选：．8．已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值．当时，夹角的取值范围为A． B．， C．， D．【解析】解：由题意可得，，，由二次函数知，当上式取最小值时，，由题意可得，求得，，故选：．9．设向量、满足：，，的夹角是，若与的夹角为钝角，则的取值范围是A． B． C． D．【解析】解：向量、满足：，，的夹角是，．若与的夹角为钝角，则，且与不共线，即，且，即，且．求得，，即，，，故选：．10．在空间直角坐标系中，已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为A． B． C． D．【解析】解：点在直线上运动，存在实数使得，，，，．，当且仅当时，上式取得最小值，．故选：．11．已知的面积为1，为直角顶点，设向量，，，则的最大值为A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，设，，则，，，，，的面积为1，即有，则．当且仅当时，取得最大值1．故选：．12．已知向量，均为单位问量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为A． B．1 C． D．2【解析】解：由，向量，为单位向量，可得，的夹角为．设，，．由向量，向量，均为单位问量，，，．设，，．向量满足与的夹角为，．由等边三角形，点在外且为定值，可得的轨迹是两段圆弧，是所对的圆周角．可知：当时是弧所在圆（上述圆弧）的直径时，取得最大值，在中，由正弦定理可得：．，取得最大值取得最大值是2．故选：．13．已知平面向量，，，满足，．若，，则A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【解析】解：的最大值为故选：．14．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是A．1 B．2 C． D．【解析】解：由题意可得，可得，，，即为，，当，即，同向时，的最大值是．故选：．15．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是A．，0 B．4， C．16，0 D．4，0【解析】解：，，，最大值为4，最小值为0．故选：．已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是A． B． C．， D．【解析】解：由是单位向量，且，则可设，，；向量满足，，，即，它表示圆心为，半径为的圆；又，，它表示圆上的点到点的距离，如图所示：且，；即的取值范围是，．故选：．17．设，为单位向量，非零向量，，，若，的夹角为，则的最小值为A． B． C．1 D．4【解析】解：，为单位向量，非零向量，，，若，的夹角为，，则，则，当且仅当时，取等号，故选：．二．填空题（共7小题）18．在边长为2的等边三角形中，是的中点，为线段上一动点，则的取值范围为．【解析】解：由题意可得和的夹角为，设，，，，故当时，取得最小值为，当时，取得最大值为3，故的取值范围为，19．已知向量满足，与的夹角为，，则的最小值为．【解析】解：由向量，，与的夹角为，可设，，，，，由，得；化为，所以点在以为圆心，以1为半径的圆的上；且表示圆上的点到点的距离，如图所示：由图形知，的最小值为．故答案为：．20．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，则实数的值是，向量的取值范围是．【解析】解：（1）设与的夹角为，则，，当，上式有最小值为，的最小值为，的最小值为3，，解得．又，，，此时．（2）由（1）可知，，与的夹角为，且，，，不妨设，，，，向量的取值范围是．故答案为：；．21．已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是．【解析】解：，，且与的夹角为锐角，，解得，但当，即时，两向量同向，应舍去，的取值范围为：且，故答案为：且．22．在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是．【解析】解：以和做平行四边形．则因为为的中点所以且反向，设，，其对称轴所以当时有最小值故答案为23．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．【解析】解：，只考虑，则，当且仅当时取等号．则的最大值等于．故答案为：．24．已知，是夹角为的两个单位向量，非零向量，，，若，则的最小值为．【解析】解：．，．．当时，取得最小值1．的最小值为1．故答案为：1．三．解答题（共1小题）25．设两向量、满足，，、的夹角为，若向量与向量的夹角为，，求实数的取值范围．【解析】解：两向量、满足，，、的夹角为，不妨设，，则，，．向量与向量的夹角为，，向量，化为，解得或．实数的取值范围是或．第4讲极化恒等式一．选择题（共3小题）1．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为A． B． C． D．【解析】解：以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则，，，，设，则，，，，所以则的最；所以当，时，取得最小值为，故选：．2．在等腰直角中，，，，（不与，重合）为边上的两个动点，且满足，则的取值范围为A．， B．， C．， D．，【解析】解：以等腰直角的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系，如图所示；则，直线的方程为；设，则，由，得；，；．，当时，取得最小值，且或1时，，无最大值；的取值范围是，．故选：．3．正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是A． B． C． D．【解析】解：如图所示．由正边长等于，点在其外接圆上运动．，．，，．故选：．二．填空题（共7小题）4．已知是边长为2的等边三角形，是平面内一点，则的最小值为．【解析】解：建立平面坐标系如图所示：则，，，设，，，，，．当，时，取得最小值为．故答案为：．5．如图，扇形的圆心角为，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为，．【解析】解：根据题意，以为坐标原点，为轴，为轴建立坐标系，如图：设，则的坐标为，，，，直线的方程为，设，由，，解得，，即，，令，由，，，，，，又，在，递减，可得，取得最大值1，时，取得最小值，则的范围是，．故答案为：，．6．在中，，是的中点，若，，在线段上运动，则的最小值为．【解析】解：，，故，设，由余弦定理可得，整理得，解得或（舍去），故有，，由二次函数的知识可知当时，取最小值故答案为：7．已知圆的直径，是该圆上异于、的一点，是圆所在平面上任一点，则的最小值为．【解析】解：如图所示，延长到点，使得，则．，，化为．．故答案为：．8．在中，，，，若是所在平面内一点，且，则的最大值为．【解析】解：设为中点，则，由得，，当与同向时最大，最大值为，最大值．故答案为：；9．若点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为．【解析】解：由题意可得，，故．设，，则，．，，关于对称，故在，上是增函数，当时有最小值为，无最大值，故的取值范围为，故答案为：．10．如图：已知、是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是，．【解析】解：，即，，，三点共线，，，在线段上，且，则的取值范围是故答案为：第5讲矩形大法一．选择题（共6小题）1．已知，，，则的取值范围是A．， B． C． D．【解析】解：如图所示，设，，，点在圆上，点，在圆上，则，，因此，即点在以为直径的圆上．由于点同时在圆上，故两圆有公共点．设圆的半径为，则有，由于为的中点，所以，故，解得：，又，故有，．故选：．2．已知向量满足：，若，的最大值和最小值分别为，，则等于A． B． C． D．【解析】解：由，，即，，设，则，且，，不妨取，．设，则，，，由题意，，化简得，，即．则点表示圆心在，，半径为的圆上的点，如图所示，则的最大值为，最小值为．．故选：．3．在中，，，点满足，则的最大值为A．9 B．16 C．18 D．25【解析】解：，，，，，当与方向相同时，取得最大值，的最大值为16．故选：．4．已知为单位向量，且，向量满足，则的取值范围为A． B． C． D．【解析】解：根据题意，设与的夹角为，又由为单位向量，且，即，则，即，则，则有，则有，即，即的取值范围为，；故选：．5．已知，为单位向量，且，向量满足，则的范围为A．， B．， C． D．，【解析】解：由，是单位向量，，可设，，，由向量满足，，，即，其圆心，半径，．故选：．6．已知向量，满足，，若，则的最小值是A． B． C．1 D．2【解析】解：根据条件，设，设，则：；；的终点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示：的最小值为：．故选：．二．填空题（共1小题）7．已知，向量满足，则的最大值为．【解析】解：设，，，如图：的终点的几何意义是以的终点为圆心，为半径的圆，则的最大值为，，，则，当且仅当，即时取等号，即的最大值为，方法，即，即．故答案为：．第6讲五心问题（奔驰定理）一．选择题（共11小题）1．已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：①②③④则点分别为的A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心 C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心【解析】解：先考虑直角三角形，可令，，，可得，，，设，①，即为，，，，，即有，，解得，即有到，轴的距离为1，在角的平分线上，且到的距离也为1，则为的内心；③，即为，，，，，可得，，解得，，由，故为的外心；④，可得，，，，，即为，，解得，，由的中点为，，，即分中线比为，故为的重心；考虑等腰三角形，底角为，设，，，，②，即为，，，，，可得，，解得，，即，由，，即有，故为的垂心．故选：．2．已知，，在所在的平面内，且，且，则，，分别是的A．重心外心垂心 B．重心外心内心 C．外心重心垂心 D．外心重心内心【解析】解：因为且，所以0到顶点，，的距离相等，所以为的外心．由得，即，所以．同理可证，所以为的垂心．若，则，取的中点，则，所以，所以是的重心．故选：．3．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是的外心、垂心，且为中点，则A． B． C． D．【解析】解：如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，为的外心，，即为斜边的中点，又为中点，，为中点，．故选：．4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，且，则的欧拉线方程为A． B． C． D．【解析】解：线段的中点为，，线段的垂直平分线为：，即，，三角形的外心、重心、垂心依次位于的垂直平分线上，因此的欧拉线方程为，故选：．5．在四面体中，，，点在面上的射影为点，则点为的A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【解析】解：作出在底面的射影，连结，，，，分别为，在平面内的射影，，，由三垂线逆定理得：，，为三角形的垂心．故选：．6．若点在平面内射影为，且，，则点为的A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【解析】解：点在平面内射影为，连结，，则，，，，，面，面，．，，面，面，，则为三角形的垂心．故选：．7．设的角、、的对边长分别为，，，是所在平面上的一点，，则点是的A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【解析】解：因为，所以，，所以，，所以，所以，，所以是的平分线，是的平分线，所以点是的内心，故选：．8．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【解析】解：，根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，而向量与共线，点的轨迹过的内心，故选：．9．在中，，，，则直线通过的A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心【解析】解：，，．即设，，则，．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形为菱形．为菱形的对角线，平分．直线通过的内心．故选：．10．已知在四面体中，对棱相互垂直，则点在平面上的射影为的A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心【解析】解：作出在底面的射影，连结，，，，，，分别为，，在平面内的射影，，，由三垂线逆定理得：，，，为三角形的垂心．故选．11．已知点在所在平面内，且，则点是的A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心【解析】解：，，即，，同理可得，，是的垂心．故选：．二．填空题（共10小题）12．点在则所在的平面外，点是点在平面内的射影，、、两两垂直，则点是则的垂心．（填外心，内心，垂心，重心）【解析】解：点在则所在的平面外，点是点在平面内的射影，、、两两垂直，平面，，又底面，，平面，，同理可证，，是的垂心．故答案为：垂心．13．是平面上一定点，中，一动点满足：，，则直线通过的①②③④（请在横线上填入正确的编号）①外心②内心③重心④垂心．【解析】解：设中点为，则为中边上的中线，由向量的运算法则可得，可得，可得、、三点共线，又，所以点一定过的重心、外心、内心、垂心，答案为：①②③④．14．已知为三角形所在平面上一点，满足，则点是的垂心