第03讲三角函数与解三角形(原卷版+解析)

第03讲三角函数与解三角形一、单选题1．（2021·云南昆明市·高三（文））东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A点测得：塔在北偏东30°的点处，塔顶的仰角为30°，且点在北偏东60°．相距80（单位：），在点测得塔在北偏西60°，则塔的高度约为（）A．69 B．40 C．35 D．232．（2021·山东枣庄八中高一期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（）A． B． C． D．123．（2021·安徽淮北一中高一月考）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为，则等于（）A． B． C． D．4．（2021·蚌埠铁路中学高三开学考试（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为（）A． B． C． D．5．（2021·江苏高一期中）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则（）A． B． C． D．6．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为，其中心（即圆心）距水面．如果水车每逆时针转圈，在水车轮边缘上取一点，我们知道在水车匀速转动时，点距水面的高度（单位：）是一个变量，它是时间（单位：）的函数．为了方便，不妨从点位于水车与水面交点时开始记时，则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映随变化的周期规律．下面关于函数的描述，正确的是（）A．最小正周期为B．一个单调递减区间为C．的最小正周期为D．图像的一条对称轴方程为7．（2021·江苏南京市·高一期中）托勒密（C.Ptolemy，约90-168），古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下图所示），该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（）A．0.0017 B．0.0454 C．0.5678 D．0.57368．（2021·江苏镇江·高一期中）今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年．“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知，为的两个黄金分割点，即．则（）A． B． C． D．二、多选题9．（2021·河北唐山·高三开学考试）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（）A．的最大值为 B．为的最小正周期C．为曲线的对称轴 D．为曲线的对称中心10．（2021·江苏）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）A． B．C． D．11．（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m0：005.09：002.518：005.03：007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（）A． B．C．该货船在2：00至4：00期间可以进港 D．该货船在13：00至17：00期间可以进港12．（2020·全国高三月考）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作弧；然后在黄金矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作弧；；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧，，的长度分别为，，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．三、填空题13．（2021·安徽高三开学考试（理））正割（secant）及余割（cosecant）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知，且对任意的实数均成立，则的最小值为__________．14．（2021·江苏仪征中学高一月考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，赵爽在为《周髀算经》，作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的面积为____________.15．（2021·安徽阜阳·高一期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图2所示，盛水桶在处距水面的距离为．后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为______．16．（2021·广东深圳·高三）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________．四、解答题17．（2021·海安市南莫中学高一期中）下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”.（1）在图（i）中，，且，求；（2）在图（ii）中，，设，求的最大值.18．（2021·昆明·云南师大附中高一期中）仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，为地球的球心，为地平线，有两个观测者在地球上的，两地同时观测到一颗流星，观测的仰角分别为，，其中，，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的，两点测得，，地球半径为公里，两个观测者的距离．（参考数据：，）（1）求流星发射点近似高度；（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径公里，请你据此判断该流星是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．19．（2021·奉新县第一中学高一月考）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.（1）将、用含有的关系式表示出来；（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？20．（2021·江苏省镇江中学）古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题：（1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求的近似值(结果保留).（2）正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，求证：.21．（2021·上海徐汇·高一期末）主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin（1）求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)；（2）证明：g(x)+g(x+1)+g(x+2)为定值．22．（2021·合肥市第六中学高一期末）合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形的区域进行改造，如图所示，其中米，米，为正三角形.改造后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为对三国历史文化的介绍区域.（1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积的最大值.第03讲三角函数与解三角形一、单选题1．（2021·云南昆明市·高三（文））东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A点测得：塔在北偏东30°的点处，塔顶的仰角为30°，且点在北偏东60°．相距80（单位：），在点测得塔在北偏西60°，则塔的高度约为（）A．69 B．40 C．35 D．23【答案】B【分析】根据题意构造四面体C-ABD,再运用线面位置关系及三角形相关知识求解出相应的线段长即可.【详解】如图，根据题意，图中平面ABD,,

中，，

又平面ABD，是直角三角形中，，选项B正确，选项ACD错误故选：B.2．（2021·山东枣庄八中高一期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（）A． B． C． D．12【答案】A【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得的三边边长，利用题中公式可求得的面积.【详解】由题意结合正弦定理可得：，周长为，即，，，.所以，故选：A.3．（2021·安徽淮北一中高一月考）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得出，平方可得，即可求出.【详解】因为大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，所以，即，两边平方得，即.因为是直角三角形中较大的锐角，所以，所以，所以.故选：B.4．（2021·蚌埠铁路中学高三开学考试（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得曲边三角形的面积为一个扇形加两个拱形的面积，或者3个扇形面积减去2个三角形的面积，然后由几何概型的概率公式求出概率．【详解】解：由题意可得正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形的面积S曲＝S扇形CAB+2S拱＝22+2（S扇形﹣S△ABC）＝3﹣222＝2π﹣2，三角形ABC的面积S△ABC＝＝，所以由几何概型的概率公式可得：所求概率＝＝，故选：A．5．（2021·江苏高一期中）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题知,再根据二倍角公式化简整理即可得答案.【详解】解:因为，,所以,所以故选:C6．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为，其中心（即圆心）距水面．如果水车每逆时针转圈，在水车轮边缘上取一点，我们知道在水车匀速转动时，点距水面的高度（单位：）是一个变量，它是时间（单位：）的函数．为了方便，不妨从点位于水车与水面交点时开始记时，则我们可以建立函数关系式（其中，，）来反映随变化的周期规律．下面关于函数的描述，正确的是（）A．最小正周期为B．一个单调递减区间为C．的最小正周期为D．图像的一条对称轴方程为【答案】D【分析】首先求得，，然后结合选项由三角函数的图象和性质判断即可.【详解】依题意可知，水车转动的角速度，，，解得，，由得，又，则，所以，.对于选项A：函数的最小正周期为，故A错误；对于选项B：当时，，因为，所以函数在上不具有单调性，故B错误；对于选项C：，所以C错误；对于选项D：（最小值），所以D正确.故选：D.7．（2021·江苏南京市·高一期中）托勒密（C.Ptolemy，约90-168），古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下图所示），该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（）A．0.0017 B．0.0454 C．0.5678 D．0.5736【答案】C【分析】先看左边列找，再往右找对第一行的即可.【详解】由题意查表可得的正弦值为0.5678.故选:C.8．（2021·江苏镇江·高一期中）今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年．“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知，为的两个黄金分割点，即．则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图形和已知条件表示出，然后用余弦定理求解即可【详解】由正五角星的对称性知：，不妨设，则，又，则，所以，，，故选：A二、多选题9．（2021·河北唐山·高三开学考试）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（）A．的最大值为 B．为的最小正周期C．为曲线的对称轴 D．为曲线的对称中心【答案】BD【分析】分析函数与不能同时取得最大值可判断A；由的最小正周期是，的最小正周期是可判断B；计算是否成立可判断C；计算是否成立可判断D；进而可得正确选项.【详解】对于A：若的最大值为，则与同时取得最大值，当取得最大值时，，可得取不到，若取得最大值时，，此时，而取不到，所以与不可能同时取得最大值，故选项A不正确；对于B：因为的最小正周期是，的最小正周期是，且，所以为的最小正周期，故选项B正确；对于C：，，所以不恒成立，即，所以不是曲线的对称轴，故选项C不正确；对于D：，所以对于任意的恒成立，所以为曲线的对称中心，故选项D正确；故选：BD.10．（2021·江苏）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】通过求，来判断出正确选项.【详解】，所以，A错误.，所以，B正确..所以，由于，所以，由于，所以，所以由解得，所以，C正确.，所以D错误.故选：BC【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.11．（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m0：005.09：002.518：005.03：007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（）A． B．C．该货船在2：00至4：00期间可以进港 D．该货船在13：00至17：00期间可以进港【答案】BCD【分析】依据题中所给表格，写出的表达式而判断选项A，B；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C，D.【详解】依据表格中数据知，可设函数为，由已知数据求得，，周期，所以﹐所以有，选项A错误；选项B正确；由于船进港水深至少要6.25，所以，得，又，则有或，从而有或，选项C，D都正确.故选：BCD【点睛】解三角不等式关键在于：找准不等式中的函数值m所对角；长为一个周期的区间内相位所在范围.12．（2020·全国高三月考）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作弧；然后在黄金矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作弧；；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧，，的长度分别为，，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】设，则，再由圆弧分别求得，，，然后再逐项判断.【详解】不妨设，则，所以.因为，所以.同理可得，所以，，，，所以A，B正确，C，D错误.故选：AB三、填空题13．（2021·安徽高三开学考试（理））正割（secant）及余割（cosecant）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知，且对任意的实数均成立，则的最小值为__________．【答案】9【分析】根据正余割的定义，得到和为1，结合基本不等式1的代入即可求解【详解】由题得：，所以即：，所以，解得：（舍）或，所以故答案为：914．（2021·江苏仪征中学高一月考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，赵爽在为《周髀算经》，作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的面积为____________.【答案】【分析】设，可得出，，利用余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】设，则，因为为等边三角形，则，故，在中，由余弦定理得，解得，故，，因此，的面积为.故答案为：.15．（2021·安徽阜阳·高一期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图2所示，盛水桶在处距水面的距离为．后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为______．【答案】【分析】根据题意构建平面几何模型，在借助三角函数求解答案.【详解】如图，过作直线与水面平行，过作于，过作于．设，，则，，由图知，，，，所以，整理得，则，即．故答案为：.16．（2021·广东深圳·高三）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________．【答案】【分析】根据题意，不妨设，故，进而得，所以在和中，由正弦定理得，，故，在结合三角恒等变换化简整理求函数最值即可.【详解】根据题意,点为的费马点，的三个内角均小于,所以，设，所以在和中，，且均为锐角，所以所以由正弦定理得：，，所以，，因为所以，因为，所以，所以，所以故实数的最小值为.故答案为：【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.四、解答题17．（2021·海安市南莫中学高一期中）下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra做出来的图片，其中四边形ABCD，AEFG，PQBE都是正方形.如果改变图（i）中的大小会得到更多不同的“树形”.（1）在图（i）中，，且，求；（2）在图（ii）中，，设，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知条件结合诱导公式求得，在中，利用余弦定理，即可求解；（2）由已知条件结合余弦定理，求得，再利用正弦定理、余弦定理及三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）当时，，则在中，由余弦定理可得，所以.（2）在中，由余弦定理知，，所以在中，由正弦定理知，可得，在中，由余弦定理可得，所以当时，的取最大值.答：（1）；（2）的最大值为.18．（2021·昆明·云南师大附中高一期中）仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，为地球的球心，为地平线，有两个观测者在地球上的，两地同时观测到一颗流星，观测的仰角分别为，，其中，，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的，两点测得，，地球半径为公里，两个观测者的距离．（参考数据：，）（1）求流星发射点近似高度；（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径公里，请你据此判断该流星是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．【答案】（1）公里；（2）该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”，理由见解析.【分析】（1）由已知条件在中利用正弦定理求出，在中再利用余弦定理求出，从而可得；（2）由（1）求出的值可得流星发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从而可得结论【详解】（1）因为，则，所以为等边角形，所以．又因为，所以，所以，所以，，．在中，由正弦定理：，得，解得，在中，由余弦定理：．所以，所以公里．（2）公里，所以流星发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）．19．（2021·奉新县第一中学高一月考）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.（1）将、用含有的关系式表示出来；（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？【答案】（1），；（2）当时，取最大值.【分析】（1）本题可通过正弦定理得出、；（2）本题首先可根据题意得出，然后通过余弦定理得出，通过转化得出，最后通过以及正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为，，，所以，，.（2）因为，，所以，在中，由余弦定理易知，即，因为，所以，，当，即时，取最大值，取最大值，此时，，故当时，取最大值.【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.20．（2021·江苏省镇江中学）古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题：（1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成