专题02 函数概念与基本初等函数（老师版）

专题02函数概念与基本初等函数一、单选题1.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三上学期第二次月考】已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则A． B． C． D．【答案】D【解析】当时,,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D．2.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三上学期第二次月考】已知函数，（是自然对数的底数），若关于的方程恰有两个不等实根、，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】：∵，∴恒成立，∴，∴，作函数，的图象如下，结合图象可知，存在实数，使得，故，令，则，故在递减，在递增，∴，故选：D.3.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期2月质量检测】函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，且定义域关于原点对称，所以函数为偶函数，故排除B项；，设，则恒成立，所以函数单调递增，所以当时，，任取，则，所以，，，所以，函数在上为增函数，故排除C、D选项.故选：A.4.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期2月质量检测】已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且函数与直线有一个交点，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数为奇函数，为偶函数，所以，则，所以函数是周期为的周期函数.因为奇函数的定义域为，所以.因为函数与直线有一个交点，所以.所以，，.所以.故.故选：B.5.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底】的部分图象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于，则，即，可知的定义域为，则，故排除C，而，所以为奇函数，则图象关于原点对称，故排除B，又因为当时，，故排除D.故选：A.6.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底】已知四点均在函数f（x）＝log2的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函数f（x）＝log2，由f（2）＝1可得，∴a＝b+2，由f（）＝0可得，∴a＝1，解得：a＝4，b＝2，∴f（x），设点C，D的横坐标分别为x1，x2，由题意可知，则，∴，由f（x2）﹣f（x1）＝1得：，∴，∴x1x2＝2x2﹣4x1，把代入解得或﹣4，又∵点C不与B重合，∴x1＝﹣4，∴C（﹣4，3），∴，，故平行四边形ABCD的面积S＝，故选：B.7.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）】已知函数，给出下述论述，其中正确的是（）A．当时，的定义域为B．一定有最小值C．当时，的定义域为D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是【答案】A【解析】对A，当时，解有，故A正确；对B，当时，，此时，，此时值域为，故B错误；对C，由A，的定义域为，故C错误；对D，若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴，解得，但当时，在处无定义，故D错误.故选：A.8.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（一）】设函数，若存在区间，使在，上的值域为，，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】，，当时，，在，上单调递增，，在，上单调递增，，，，在，上单调递增，在，上的值域为，，，方程在，上有两解，．作出与直线的函数图象，则两图象有两交点．若直线过点，，则，若直线与的图象相切，设切点为，，则，解得．，故选：．9.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（一）】已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，则，，，在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，如图，当时，；当时，；当时，.故选:D.10.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第一次高考模拟】已知为上的奇函数，，在为减函数．若，，，则a，b，c的大小关系为A． B． C． D．【答案】C【解析】由于为奇函数,故为偶函数,且在上为增函数.,所以,故选C.11.【湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟卷（二）】已知三个数、、，其中，，，则、、的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，，因为，，所以，因为，所以，故选：D.12.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷二】已知是自然对数的底数，设，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以.故选:D13.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷二】已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则关于的不等式的解集为（）．A． B．C． D．【答案】C【解析】为上的奇函数，，令，则，为上奇函数；在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，由奇函数性质知：在上单调递增；，，则，又，当时，，当时，不成立，即不成立，由此可在坐标系中画出与大致图象如下图所示：由图象可知：当时，，即当时，.故选：C.14.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷一】函数的图像大致为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；因为，所以排除C，故选：A.15.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷一】已知，(e=2.718…为自然对数的底数)，，则a，b，c的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，所以所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，，，所以，即.故选：C16.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期二模】函数的图像可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以函数为奇函数，C、D错误，当，，，，，B错误，故选：A.17.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）】是的零点，若，则的值满足A．的符号不确定B． C． D．【答案】D【解析】根据函数在上是减函数，，可得，故选D.18.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（七）】已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，定义在上的函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，所以又由当时，结合初等函数的性质，可得函数为单调递增函数，又由对数的运算性质可得，所以，即.故选：D.19.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期二模】天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时，)A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27【答案】C【解析】根据题意可得：可得，解得，根据参考公式可得，故与最接近的是.故选：C.20.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期三模】已知函数，.若与的图象在区间上的交点分别为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，解得：，关于对称；当时，，关于对称；，，若为与在的交点，则也为与在的交点，.故选：C.21.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（七）】中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了（）（附：）A． B． C． D．【答案】B【解析】将信噪比从提升至，大约增加了，所以，大约增加了.故选：B.22.【湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（七）】已知函数满足，函数，若函数与的图像共有个交点，记作，则的值为A． B． C． D．【答案】D【解析】函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=8-f(4+x)，可得：f(-x)+f(4+x)=8，即函数f(x)关于点(2，4)对称，函数可知图象关于(2，4)对称；∴函数f(x)与g(x)的图象共有168个交点即在(2，4)两边各有84个交点．而每个对称点都有：x1+x2=4，y1+y2=8，∵有168个交点，即有84组．故得：(x1+y1)+(x2+y2)+…+(x168+y168)=(4+8)×84=1008．本题选择D选项.二、多选题1.【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（一）】已知函数满足：对于定义域中任意，在定义域中总存在，使得成立.下列函数中，满足上述条件的函数是（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由题意可得函数的值域关于原点对称，对于A，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；对于B，函数的值域为，不关于原点对称，不符合题意；对于C，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；对于D，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；故选：ACD.2.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷一】日本导演竹内亮拍摄的记录片《后疫情时代》是继《南京抗疫现场》､《好久不见，武汉》之后，又一部以中国抗疫为主题的记录片力作.该片以南京马拉松比赛､无人配送､网络直播等为切入点，真实记录了中国在疫情防控复工复产方面取得的重大成就，并指出：“在新冠疫情冲击下，中国在全球主要经济体中率先恢复增长，成为世界经济体中的亮点”.片中记录某物流公司引进智能无人配送技术，为疫情期间居家隔离网上购物带来了很大的便利，同时也大大提升了公司的效益.2020年全年总收入与2019年全年总收入相比增长了一倍，同时该公司的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该公司这两年不同运营成本占全年总成本的比例.已知该公司这两年的年利润率相同，注：年利润率=(全年总收入-全年总成本)/全年总收入.下列说法错误的是（）A．该公司2020年原材料费用等于2019年工资金额与研发费用的总和B．该公司2020年研发费用是2019年工资金额､原材料费用､其他费用三项的总和C．该公司2020年其他费用占2019年工资金额的D．该公司2020年设备费用是2019年原材料费用的两倍【答案】ACD【解析】不妨设2019年全年的总成本为，则2020年全年的总成本为.该公司2020年原材料费用为，2019年工资金额与研发费用的和为，故A错误；该公司2020年研发费用为，2019年工资金额､原材料费用､其他费用三项的和为，故B正确；该公司2020年其他费用为，2019年工资金额为，故C错误；该公司2020年设备费用为，2019年原材料费用为，故D错误，故选：ACD3.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期考前冲刺卷】函数的定义域为I，若使得均有，且函数是偶函数，则可以是（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A选项，因为的值域为，所以A错误；对于B选项，，该函数为偶函数，根据三角函数的有界性知，存在正实数，满足，故B正确；对于C选项，由条件得，不是偶函数，故C错误；对于D选项，由条件知，的值域为，满足存在正实数，使得，且，故为偶函数，故D正确.故选：BD.4.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（六）】设a，b，c都是正数，且，那么（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由于，，都是正数，故可设，，，，则，，.，，即，去分母整理得，.故选AD.5.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考（七）】下列函数是奇函数，且在上单调递增的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A.因为，所以函数是奇函数，又在上单调递增，故正确；B.因为，所以，所以函数不是奇函数，故错误；C.因为，所以函数是奇函数，又在上单调递增，故正确；D.因为，所以函数是偶函数，故错误；故选：AC三、填空题1.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三上学期第二次月考】已知函数是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则方程在区间上的解的个数是______【答案】9【解析】∵当时，，令，则，解得.∵，∴函数是周期为4的周期函数.又∵函数是定义域为的奇函数，∴在区间上，，，，，则方程在区间上的解有0，1，2，3，4，5，6，7，8共9个.2.【湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三上学期第二次月考】在研究函数()的单调区间时，有如下解法:设,在区间和区间上是减函数,因为与有相同的单调区间,所以在区间和区间上是减函数.类比上述作法,研究函数()的单调区间,其单调增区间为_____________.【答案】【解析】【解析】构造函数，则，当时，单调递减，由复合函数的单调性可知函数()单调递减；当时，单调递增，由复合函数的单调性可知函数()单调递增；综上可得：函数()的单调增区间为.3.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期保温卷一】已知关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是________【答案】【解析】由，则方程，即，令，，则由单调性可知，函数是递增的，故时，值域为.而转化为，当时，方程为，不成立，故，即转化为在有两个不相等的实根，即和，有两个不同的交点.，当和时，，即在上递减，在上递减；当时，，递增.另外，时，；时，；.结合函数，图象可知，当时，和，的图象有两个不同的交点.故答案为：.4.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期二模】已知函数，则______．【答案】【解析】由，得；故答案为：.5.【湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期考前冲刺卷】函数，若，，，都有成立，则满足条件的一个区间可以是__________（填写一个符合题意的区间即可）.【答案】（答案不唯一）【解析】在区间内，，即函数的图象在区间内上凸，如图，可以看出，的图象的切线斜率递减，即，，，令，解得：，所以满足条件的一个区间是的一个子集，可以是.故答案为：（答案不唯一）6.【湖南师范大学附属中学2