新高考数学之圆锥曲线综合讲义第24讲直径问题(原卷版+解析)

第24讲直径问题1．如图，，为椭圆长轴的左、右端点，为坐标原点，，，为椭圆上不同于，的三点，直线，，，围成一个平行四边形，求.2．已知椭圆，为坐标原点，，是椭圆上两点，，的斜率存在并分别记为、，且，求的最小值.3．已知椭圆的离心率是，是坐标原点，点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的点，直线，的斜率分别是，．（Ⅰ）求证：为定值；（Ⅱ）设直线交椭圆于，两点，，，且的面积是，求椭圆的标准方程．4．如图，已知椭圆的离心率为，且过点，，为椭圆上一点，过坐标原点作圆的两条切线分别交椭圆于点，，直线，的斜率存在且不为零，分别记为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：为定值；（Ⅲ）请问的面积是否为定值？若是，请求出定值并证明；若不是，请说明理由．5．在平面直角坐标系中，已知椭圆，其焦点到相应准线的距离为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图所示，是椭圆上两点，且的面积，设射线，的斜率分别为，①求的值；②延长到，使得，且交椭圆于，求证：为定值．6．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，过椭圆右焦点且垂直于轴的一条直线交椭圆于，两点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知两点，设，，是椭圆上的三点，满足，点为线段的中点，求的值．7．已知椭圆的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为4．求椭圆的方程；如图，椭圆内切于四条直线，所围成的矩形，、是矩形的两个顶点．（1）设是椭圆上任意一点，且，求证：动点在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若、是椭圆上两个动点，且直线、的斜率之积等于直线、的斜率之积，试探求的面积是否为定值，并说明理由．8．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且直线与圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，，若，，成等比数列，推断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．9．已知椭圆的右焦点到直线的距离为，离心率，，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，，使得动点满足，若存在，求出的值和定点，；若不存在，请说明理由．10．已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．①若直线PA平分线段MN，求k的值；②对任意，求证：．11．设F1,F2分别为椭圆C(1)若椭圆C上的点(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,试写出双曲第24讲直径问题1．如图，，为椭圆长轴的左、右端点，为坐标原点，，，为椭圆上不同于，的三点，直线，，，围成一个平行四边形，求.【解答】解：设，，，，，，斜率分别为，，则，的斜率为，，且，所以，同理，因此．2．已知椭圆，为坐标原点，，是椭圆上两点，，的斜率存在并分别记为、，且，求的最小值【解答】解：设，，，，，，，，由，整理得：，即，则，，则，，即，，，，则，，当且仅当，即，或，，当且仅当，即，或，综上可知：的最小值，故选：．3．已知椭圆的离心率是，是坐标原点，点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的点，直线，的斜率分别是，．（Ⅰ）求证：为定值；（Ⅱ）设直线交椭圆于，两点，，，且的面积是，求椭圆的标准方程．【解答】证明：，，，．可得．设，．则，可得：．．解：由题意可得：不垂直于轴，设直线的方程为，联立，化为：．△．设，，，，，．，，，即．，．．化为：，△．．点到直线的距离．的面积，解得．．椭圆的标准方程为．4．如图，已知椭圆的离心率为，且过点，，为椭圆上一点，过坐标原点作圆的两条切线分别交椭圆于点，，直线，的斜率存在且不为零，分别记为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：为定值；（Ⅲ）请问的面积是否为定值？若是，请求出定值并证明；若不是，请说明理由．【解答】解：由题意可得：，，．联立解得，．椭圆的方程为：．证明：设经过原点的圆的切线的方程为，则，化为：，则，是此方程的两个实数根．则，又，可得，．解：的面积为定值1．下面给出证明．联立，化为：，．不妨设．取．同理可得：．．直线的方程为：，原点到直线的距离，．5．在平面直角坐标系中，已知椭圆，其焦点到相应准线的距离为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图所示，是椭圆上两点，且的面积，设射线，的斜率分别为，①求的值；②延长到，使得，且交椭圆于，求证：为定值．【解答】解：（1）由题意可知，，解得：，，椭圆的方程为：；（2）①方法1：设直线，设直线，则，解得：，同理可得，点到的距离为，因为的面积为，所以，即，即，所以，所以；方法2：齐次化设，，，，因此，，由，因此，直线，的斜率存在时，两边同除以，则，所以，因此；方法3：参数法设，，因为，因此，则，则，，所以，所以；②证明：因为，所以，，设交椭圆于，，且，因此，即，，，所以，即，，因为，，都在椭圆上，则，，，所以，整理得，且，所以，即，所以，所以为定值．总结：椭圆，，为椭圆上的动点，设，，，，且满足，则有：①，，；②；③为椭圆上一点，且，且．6．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，过椭圆右焦点且垂直于轴的一条直线交椭圆于，两点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知两点，设，，是椭圆上的三点，满足，点为线段的中点，求的值．【解答】解：（Ⅰ）依据题意可设椭圆，，则有：，解得，椭圆；（Ⅱ）设，，，，则，①，由，得，又点在椭圆上，则有②，综合①、②得：．又线段的中点为，且．上式表明，点在椭圆上，且该椭圆的两个焦点恰好为两点，由椭圆定义有．7．已知椭圆的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为4．求椭圆的方程；如图，椭圆内切于四条直线，所围成的矩形，、是矩形的两个顶点．（1）设是椭圆上任意一点，且，求证：动点在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若、是椭圆上两个动点，且直线、的斜率之积等于直线、的斜率之积，试探求的面积是否为定值，并说明理由．【解答】解：由题意知椭圆的离心率，即．又，所以，即，所以．因为四个顶点围成的四边形面积为4，所以，即，解得，．故椭圆的方程为；（5分），，．（1）设，，则．由，得，所以，即．故点在定圆上．（10分）（2）设，、，，则．平方得，即．（12分）因为直线的方程为，所以到直线的距离为，所以的面积，，故的面积为定值1．（16分）8．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且直线与圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，，若，，成等比数列，推断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【解答】解：（1）因为抛物线的焦点为，，则，所以．（2分）因为直线与圆相切，则，即．（4分）解得，，所以椭圆的方程是．（5分）（2）设直线的方程为，点，，，，将直线的方程代入椭圆方程，得，即，则，．（7分）由已知，，则，即，所以，即．因为，则，即，从而，．（10分）所以．为定值．（12分）9．已知椭圆的右焦点到直线的距离为，离心率，，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，，使得动点满足，若存在，求出的值和定点，；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题设可知：，解得，．椭圆标准方程为；（2）设，，，则由，得，．．由得，，当且仅当时取等号；（3）．．．设，则由，得，，，，，即，．点、在椭圆上，．．即，点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为、，则由椭圆的定义，得，，，．存在常数，和平面内两定点，，，，使得动点满足．10．已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．①若直线PA平分线段MN，求k的值；②对任意，求证：．【答案】(1)椭圆方程为;(2)见解析.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，令或，得出顶点和焦点坐标，代入椭圆的标准方程中，得出a和b的值；第二问，将直线PA方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到，即得到B点坐标，计算出向量和的坐标，利用向量的数量积证明．试题解析：（1）在直线中令得；令得，则椭圆方程为（2）①，，M、N的中点坐标为（，），所以②法一：将直线PA方程代入，解得记，则，，于是，故直线AB方程为代入椭圆方程得，由，因此，法二：由题意设，∵A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，，两式相减得：考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．11．设F1,F2分别为椭圆C(1)若椭圆C上的点(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,试写出双曲【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】分析：（1）到两交点的距离之和为4，点在曲线上，列出的方程求解即可。（2）设椭圆上的动点为，线段的中点,利用中点的坐标关系式，列出与的坐标关系，用表示出，代入椭圆方程即可。（3）分别设出的坐标，表示出斜率化简整理即可。详解：(1)椭圆C的焦点在x轴上.由椭圆上的点A到F1,F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.又点A,∴+=1,b2=3.∴c2=a2-b2=1.∴椭圆C的方程+=1,焦点F1(-1,0),F2(1,0).(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1),线段F1K的中点Q(x,y)满足:x=,y=,∴x1=2x+1,y1=2y.∴+=1,+=1为所求的轨迹方程.(3)类似的性质为:若M,N是双曲-=1(a>0,b>0)上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,