微观经济分析（第3版）中文完美翻译版-第7章

曹乾（（3thHal.R.（UniversityofMichiganAnn微观经济分析（3版(考虑某消费者面对集合X中某些可能的消费束的情形，集合X称为他的set

体的消费集。例如，为维持消费者生存所必需的那些消费束组成的集合。我们总是假定消费者对于Xx≻yxy（completeXxyx≻yy≻x（或二者都成立 （reflective（transitive 给定描述“弱偏好”的排序≻，我们可以定义严格偏好≻x≻yy≻x x≻yy≻x 。对于X中的所有y，集合{x:x≻y}和{x:x≺y}都是闭集。由此可知， {xx≻y和{xx≺y这个假设将某些不连续的行为排除了；它的意思是说，如果(x是消费束的一个序列，yx*，x*y一样好。yzxy的一个消费26章。（utility函数u:XRx≻y当且仅当u(x)uy。可以证明，如果偏好排序是完备的、反u(x代表某个偏好≻fRRf(u(x将和u(xf(u(x仅当u(x)uy

f(uyxyx≻yxyxyx≻yxy好。这只是假设商品是好的（good。（badnonsatiationxyyy≻x（一。Xx,yzx≻zy≻z，则tx1ty≻z，其中0t1 Xx,y（xy）zx≻zy≻z，则tx1ty≻z 0t1curve（一）xyxysets)；无差异曲线类似于生产理论中的等产量线。在一条无差异曲线上面或上方（onorset（凸性意味着消费者偏好平均消费束胜于极端消费束，但是除了这个意义之外，它不具则存在着可以代表这些偏好的一个连续效用函数u:RkR。eRke1,...,1xu(xx~ 存在某个t，使得txe~x。我们必须证明这个效用函数真正代表了消费者隐含的偏好。令u(x)u(y)

其中txe~其中tye~于是如果txty，根据强单调性可知txe≺tyex~txe≺tye~x≻y，则txe≻tye，因此txty证明u(x令u(x1xn是一个效用函数。假设我们增加商品i的数量，为了使效用不变，消费者应该怎样改变商品j的数量？1章的做法，令dxi和dxjxixj的变化量。根据假设，效用的变化量u(x)

u(x)

（一）

substitution换不会改变边际替代率。为了证明这一点，令v(u是效用函数u

v(u) v(u)

mpp1pk表示商品1k的价格向量。BXx:px

pxxX中27章可知，我们需要检验目标函数是连续的，并且约束集是闭且有界的。根据假设可知，pi0（其中i1k）m0x*和我们选择用哪个x*≻x，因此代表偏好≻x* 变预算集，因此我们不会改变最优选择集。也就是说，如果x*具有下列性质：x*≻xpxmxx*≻y对于所有满足tpytmy如果我们对偏好再作出一些正规性的假设，我们对消费者效用最大化行为描述得会更详细。例如，假设偏好满足局部非饱和性；我们能否得到某个x*使得px*m？假设我们x*的花费严格小于m，Xx*x*在预算集上并未使得效用最大。v(p,m)

px函数vpm称为．（indirectutilityfunction，它是在既定价格和收入条（demandedbundlefunction)正象企业的情形一样，消费者的需求函数是pm)的零次齐次函数。我们在前面已经Lu(x)(pxm)其中xiu(x)p

为了解释这些条件，我们将第ij

i,j1,...,上式的左侧是商品ij之间的边际替代率，右侧可以称为商品ij之间的经济替代率（economicrateofsubstitution。最大化意味着这两个替代率必定相等。如果不

12

pi 于是，如果消费者放弃一单位商品商品ij，那么他将位于同一条无差7.1{xp1x1p2x2mx2mp2p1/p2)x1。因此，预算线的斜率为p1/p2，纵截距为m/p2。消费者希望在预算线上找到一点使得他图x*的扰动。因此，我们必然有p(x*dx)pxmpdx0，这反过来意味着dxpDu(x*)dxDu(x*)dxpdx0dx成立，Du(x*)必然和p成比例，这就是我们已经发现的一阶条件。二阶导数为2u(xx

htD2u(x*)h0对于所有满足ph0的h成立 h是负半定的。这等价于要求u(xx*之处必然位于预（7.1）

u12 我们在前面定义了间接效用函数的概念。这个函数vpmp和收m的函数。vpmppp则vpmvpm。类似v(pm是收入m的非减函数。vpm是pm（3）vpmppvpmk}对于所有k（4）vpmp0mBxpxmBxpxmppBBB上的极大值，至少和u(xB上的极大值一样大。类似地，可以证明关于mv(tp,tmvpm，其中t0.pp分别满足vpmkvpmkptp1tp。我们想证明v(pm)k。定义以下预算集：B{x:pxm}B{x:pxm}B{x:pxx满足tpx1tpxmpxmpxm。这两个不等式可以写tpx

tpx(1t)pxvpm)maxu(xxBmaxu(x)使得x在BB （因为BBB （因为vpmk且vpmk7.2我们注意到如果偏好满足局部非饱和性假设，则vpm是m的严格增函数，所以它是可逆的，我们可以从该函数中解出m:它是效用水平的函数；也就是说，给定任何效用水平up时实现效用u所必需的最小收入额。如图7.3function，并用e(p,u)min使得u(x)7.2：价格无差异曲线。价格无差异曲线是指满足vpmk（其中k为常数）的所有价格组合。下轮廓集包含所有满足v(pm)k的价格组合。图的全部性质（5章。为方便起见，我们将这些性质重复表述如下。ep,upep,upep,upep,upp0若hp,up时实现效用水平u的束，则hip,ui1kpi

functionv(p,m*)maxpxm*x*是上述最大化问题的解并且令u*u(x*e(p,u*)min使得u(xm*7.4x*（更严格的论证参见本epvpmm。实现效用vpm的必要最小支出为mvp,ep,u))u。收入ep,u能实现的最大效用为uxipmhipvpm。收入为m时的马歇尔需求函数与效用为vpm时的希hipu)xipepu。效用为u时的希克斯需求函数与收入为ep,uv(p,xi(p,m)

v(p,

pi0以及m0x*在p*m*处使得效用最大，最大值为u*x(p*,m*)h(p*,

u*v(p,e(这个恒等式是说，不管价格在什么水平上，如果在这些价格下为使消费者达到效用u*，你给他一笔最小的收入，那么他能达到的最大效用就是u*。v(p*, v(p*,m*)e(0

v(p*,

xi(p,m)hi(p,u)

.v(p*, 由于这个恒等式对于所有p*m*x*xp*m*pj

v(p,m)u(x(p,

nu(x) i

v(p, i

pxpmmpj xj(p,m)pi i

v(p,m)x(p,

现在将（7.3）式两侧对m

pi i

将预算约束对m

pii

v(p,m)

参见第min使得u(zx一样好，他应该拥有的最小钱数。functionm(p,x)e(x固定不变，则u(x)mpx)的行为和支出函数的行为是一样的：它对于价格p是单调的、齐次的和凹的，等等。但下列事实不怎么明上，如果偏好是连续的、局部非饱和的，则支出函数是u的严格增函数。因此mpx)是一个效用函数。metricindirectutilityfunction。它的表达式为(p;q,m)e(p,v(q,pqm7.6:p少钱，才能使他的状况和当价格为q且他的收入为m时的状况一样好。直接和间接补偿函数的一个没好特征是他们仅包含变量。它们是一类．（ngbtyhor柯布-道格拉斯效用函数形式为u(xx)xax1a 1表着相同的偏好，我们也可以将它写为u(x1x2alnx11alnx2

p1x1p2x2

Lalnx1(1a)lnx2(p1x1p2x2

p11app1x1p2x2m

1a

ap2x2p1x1ap1x1amp1x1x(p,p,m) x(p,p,m)(1 v(p1,p2,m)lnmalnp1(1a)lnp2

e(p,p,u)Kpa 1Kam替换上式中的ep1,p2u，用v(p1,p2m)替代u可得v(p,p,m) Kpap11m(p,x)Kpap1au(x,x1 Kpap1axa1 1(p;q,m)Kpap1av(q,q,1 Kpa1 例子：CESCES效用函数的形式为u(xx(xx1 来的偏好，我们可以选择u(xx1ln(xx 在以前我们已经知道CESc(wy)(xrxr)1ry r/(1。因此，CESe(p,u)(prpr)1/r v(p,m)/

1(prpr

(11

mrpr

pr 1 .v(p,m)/

(prpr)1/

(prpr m(p,x)(prpr)1/r(xx)1/ (p;q,m)(prpr)1/r(qrar)1/r

max

s.t.pxmin

s.t.u(x)（2）（3）x*是（7.12）的解，令uu(x*x*也是（7.13）x是（7.13）pxpx*而且u(xu(x*。根据局部非饱x*就不可能是（7.12）的解。■。假设上述假设都得到满足。令x*是（7.13）的解，令mpx*，并假设m0x*也是（7.12）的解。x（7.12）u(xu(x*pxpx*mpx*0且效用函数是连续的，我们可以找到0t1ptxpx*m且u(txu(x*。因此，x*不可能是（7.13）的解。■可在Debru(1964)中找到。Hick（1946McFadden&Winter(1968)。货币度量的效用函数M