高中数学2-2第一章导数及其应用导学案

1.1变化率与导数

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念

1•了解导数概念的实际背景.2.会求函数从XI到X2的平均变化率.

3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.

预习案自主学习研读•思考•裳试

新知提炼，

1.平均变化率

函数了=/&)从%,到x2的平均变化率

△y/(x?)—f(xi)

(1)定义式:

△x*2一一

(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.

(3)作用：刻画函数值在区间［为，融］上变化的快慢.

(4)几何意义：已知PG”/')),22(X2,加2))是函数V=/。)的图象上两点，则平均变化

率¥=/(X2)―/(片)表示割线pR的斜率.

△XX2-X\

2.瞬时变化率

函数了=/*)在x=x。处的瞬时变化率

,.△Vf(Xo+△x)—f(Xo)

(1)定义式：limd=llim-!=----------=;-.

Ar--0AxAr-»0-Ax

(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值.

(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢.

3.导数的概念

..AV../~(Xo+Ax)(Xo)

定义式limA—Inn人

Ar—0△XAXTO

记法企。或川Xf

实质函数y=/(x)在x=x0处的导数就是y=/a)在x=xo处的瞬时变化率

1.判断(正确的打“J”，错误的打“X”)

Ay

(1)函数加)=c(c为常数)在区间［X|,X2］上的平均变化率曾为0.()

(2)函数y=/(x)在x=xo处的导数值与值的正、负无关.()

(3)瞬时变化率是刻画某函数在区间区，X2］上函数值的变化快慢的物理量.()

(4)在导数的定义中，Ax,Ay都不可能为零.()

答案：⑴J(2)V(3)V(4)X

2.如图，函数y=/(x)在48两点间的平均变化率是(

&…3—/(3)-/(I)1-3

解析：选氏d=^------------==一=一1.

△x3—12

3.已知;(x)=-2x+l,则/(0.5)=.答案:一2

4.函数y=/(x)=:在x=l处的瞬时变化率为.答案：—1

探究案讲练互动，解惑•探究•突破

探究点1求函数的平均变化率

例1已知函数Xx)=2?+3x—5.

(1)当乃=4,且Ax=l时，求函数增量Ay和平均变化率曾；

(2)求(1)中的平均变化率的几何意义.

【解】因为y(x)=2d+3x—5,所以Ay=/(xi+△X)—/1)

=2(xi+Ax)2+3(X|+Ax)-5-(2xf+3XI_5)=2[(AX)2+2XIAx]+3Ax

=2(AX)2+(4X]+3)AX.

(1)当为=4,Ax=l时，A^=2X12+(4X4+3)X1=21,则耗=?=21.

Avf(5)—f(4)

(2)在(1)中，仄5』----号----，它表示抛物线上点力(4,39)与点8(5,60)连线的斜率.

求函数平均变化率的步骤

(1)求自变量的改变量Ax=》2-Xi；

(2)求函数值的改变量A^=;(X2)-/(XI)；

(3)求平均变化率孩f(必)一/(Xi)

X2-X\

W跟踪训练1.(2017•宁波高二检测)已知函数y=f+l的图象上一点(1,2)及邻近一点

Ay

(1+Ax，2+Ay),则曾等于()

A.2B.2x

C.2+AxD.2+(Ax)2

△y/(1+Ax)一/~⑴[(1+Ax)2+1]—2

解析：选C;=2+△%.

△x-AxAx

2.求函数歹=〃)=3工2+2在区间［xo，枇+△、］上的平均变化率，并求当x()=2,△、=

0.1时平均变化率的值.

解：函数y=/a)=3f+2在区间［沏，的+Ax］上的平均变化率为

2

/(x()+Ax)-f(劭)［3(x0+Ax)+2］—(3xo+2)6x()*Ax+3(△%)~

(xo+Ax)-xo=后=后=6x0+3Ax.

当％o=2,Ax=0.1时，

函数y=3f+2在区间［2,2.1］上的平均变化率为6X2+3X0.1=12.3.

探究点2实际问题中的瞬时速度

例2一质点的运动方程为s=8-3『，其中s表示位移(单位：m),/表示时间(单位：s).

(1)求质点在［1,1+A4这段时间内的平均速度；

(2)求质点在/=1时的瞬时速度.

【解】(1)质点在［1,1+△/］这段时间内的平均速度为岩=8-3+

=(—6—3Ar)(m/s).

(2)由(1)知名=一6—3当△/趋近于0时，差趋近于一6,

所以质点在t—1时的瞬时速度为一6m/s.

求运动物体瞬时速度的三个步骤

第一步：求时间改变量△t和位移改变量△s=S(Zo+AZ)-5(/o);

第二步：求平均速度3=£;

第三步：求瞬时速度，当无限趋近于。时，荒无限趋近于的常数。即为瞬时速度，

即0=S"o).

G跟踪训练1.一物体的运动方程为s=7』一⑶+8,且在/=/0时的瞬时速度为1，则“=

解析：因为△s=7(/o+△。2—13d+A/)+8—73+13,0—8

=14历•A/-13AZ+7(A?)2>

As

所以妈77=蚂(I*13+7p=14gT3=l,所以.答案：1

2.一做直线运动的物体，其位移s与时间f的关系是s⑺=3/一』.

(1)求此物体在t=2时的瞬时速度;

⑵求/=0到1=2时的平均速度.

解：(1)取一时间段[2,2+Ar],As=s(2+A;)-s(2)=[3(2+A0-(2+^02]-(3X2-22)

—Af—(△1)2

=—AZ—(AZ)21-Az,

△「Ar

(一1一ZU)=-1,所以当f=2时，物体的瞬时速度为-1.

AJO△r△JO'

(2)因为当，e[O,2]时，△，=2—0=2.

,7—As=2=1

△S=S(2)—S(0)=(3X2—22)—(3X0-()2)=2.V2-

所以在0到2之间，物体的平均速度为1.

探究点3用定义求函数的导数

例3根据导数的定义，求下列函数的导数：

(1)求函数y=f+3在x=l处的导数；

4

(2)求函数y=7在x=2处的导数.

【解】(l)Ay=[(l+AX)2+3]—(12+3)=2AX+QX)2,所以笠」)-=2+»x.

所以y[x=]=lim(2+△x)=2.

、444(Ax)2+4。

1

(2)因为△尸3+2)2-Q=(Ax+2)2—(Ax+2)2

所以FAx+4

△x(Ax+2)2,

b,,AyAx+4

所以㈣△X=一蚂。(Ax+2)尸一L

求函数y=/(x)在点xo处的导数的三个步骤

求函数的增量)—<AEQo+A%)诙Q

1

求函数的Ay/(3+A*H(4O)

平均变化率AxAx

〔取极限:得导数〕1]小。即%吧

简称：一差、二比、三极限.

*跟踪训练1.设函数/(x)=ax+3,若八1)=3,则°等于()

A.2B,-2

C.3D.-3

f(l+Ax)—/(1)a(1+Ax)+3-(a+3)

解析：选C.因为/(l)=lim---------7---------=lim-------------:-------------

Ax—»0△X-Ax-*O△x

因为/(1)=3,所以。=3.故选C.

2.求函数y=x—/在x=l处的导数.

解：因为Ay=(l+Ax)_R^_(l_g=AxT

Ax

AyAx+1+Ax1Av

所以丁=----7------=l+i_i_「当Ax-0时，—一--2,所以八1)=2,

△xAx1+AxAxJ

即函数y=x-(在x=l处的导数为2.

♦♦imaiffl♦♦

i.瞬时速度与平均速度的区别和联系

区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间

内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关.

联系：瞬时速度是平均速度的极限值.

2.函数人x)在X。处的导数

(1)当AxHO时，比值个的极限存在，则人外在点X。处可导；若含的极限不存在，则

/(x)在点X。处不可导或无导数.

2

(2)在点x=x()处的导数的定义可变形为/Vo)-lim3"~丝)~~或/(x0)—

Ax—OdX

,.fQx)—f(x0)

lim---------------

△x—*x0X-Xo

♦♦胤堂倒曼卜.

1.设函数y=/a)=f—1,当自变量X由1变为1.1时，函数的平均变化率为()

A.2.1B.1.1

C.2D.0

解析.选A4』(LD—/⑴=以=21

用牛忻・匹1,1-10.1

21

2.已知Xx)=;,且/(⑼=一］,则用的值等于()

A.-4B.2

C.-2D.±2

AgL3~fAX）—f（X）2

解析：选D/（加妈。7,

21

于是一M=-5'"0=%解得〃?=±2・

3.某物体做匀速运动，其运动方程是s="+"则该物体在运动过程中，其平均速度

与任何时刻的瞬时速度的关系是

As.S（/（）+△/）—S（而）V（而+△，）—Vto

解析:VQ=limV7=lim-=lim-

A/->0△tA/->0△tAiO△t

n-△/

=妈/7=>答案：相等

4.已知函数加)=x+%分别计算次x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变

化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快.

解：自变量X从1变到2时，函数段)的平均变化率为‘⑵2工⑴=2+2J+D4

自变量x从3变到5时，函数/(x)的平均变化率总(3)_=_53空

1141

因为方卓，所以函数自变量X从3变到5时函数值变化得较快.

用案巩固晡:•巧练・跟踪•验证

[A基础达标]

1.若函数y=/a)=f—1,图象上点P(2,3)及其邻近点0(2+Ax,3+Ay),则£[=()

A.4B.4Ax

C.4+AxD.△%

解析：选C.因为Ay=(2+AX)2-1-(22-1)=4AX+(AX)2,

g"Ay4A%+(Ax)2

所以=；=4+Ax.

△xAx

2.一质点运动的方程为s=5-3』，若一质点在时间段[1,1+Af]内相应的平均速度为

-3A/-6,则该质点在f=l时的瞬时速度是()

A.—3B.3

C.6D.16

解析：选D.由平均速度和瞬时速度的关系可知，v=s,(l)==lim(—3△6)=-6.

A/—>0

3.某物体的运动规律是s=s(。，则该物体在，至h+这段时间内的平均速度是()

—S([+△£)—s(力一S(△，)

A'°="=晨B.°=——

—S(/)—S(/+△/)—s(△/)

C.v=­j—D.v=—

解析：选A.由平均速度的定义可知，物体在/到，+△/这段时间内的平均速度是其位

移改变量与时间改变量的比.

△sS(/+△f)—s(f)

所以。=

△「kt

4.若可导函数加)的图象过原点，且满足lim'=-1,则/(0)=()

A.V—>0dX

A.-2B.—1

C.1D.2

解析：选B.因为_/(x)图象过原点，所以次0)=0,

%一/(0+Ax)~f(0)/(Ax)乂H

所以/(0)=lim---------7---------=lim-----=一1.故选B.

A.r->0AxAx-0

5.某物体做直线运动，其运动规律是S=f2+,(f的单位是秒，S的单位是米)，则它在4

秒末的瞬时速度为()

A•垮米/秒B.垮米/秒

C.8米/秒D.竽米/秒

(4+Ar)*2+7T^-16-T

△As4+A/4

解析：选B.因为覆=-------------------------

一3Af

(Az)2+8A/-F

4(4+Az)3A53125

所以妈

△/"A,+8—

2

6.已知函数y=f+3,当x由2变到1.5时，函数的增量Ay=

解析：△尸/(1.5)-/(2)=佶+3)-(|+3)=,-1=；.答案：|

7.如图所示，函数y=/(x)在M，必］，民，却，困，xj这几个区间内，平均变化率最

大的一个区间是.

解析：由平均变化率的定乂可知，函数y=y(x)在区间［修，工2］，［》2，工3］，［%3，刈］上的平

均变化率分别为：八必)一…),/⑹一/⑴),/5)一/5),结合图象可以发

X2~X\片―M

现函数y=/(x)的平均变化率最大的一个区间是次3,x4］.

答案：⑶，M

8.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动，如果它的加速度是。=5xio5m/s2,

子弹从枪口射出所用的时间为1.6Xl()7s,则子弹射出枪口时的瞬时速度为m/s.

解析：运动方程为

因为As=5«o+△°2一53=必0A.所以At,

△s

所以0=lim4又因为u=5X10m/s?,/Q=1.6X10

A10△t

所以o=a/o=8Xio2=8oo(m/s).答案：800

9.若函数y=/(x)=-f+x在［2,2+△对(Ax>0)上的平均变化率不大于一1,求Ax的

取值范围.

解：因为函数y=/(x)在［2,2+Ax］上的平均变化率为R="2+A?x:/>(2)=

-(2+Ax)2+(2+Ax)-(-4+2)-4Ax+Ax-(Ax)2

\=7=-3—△x,

△x

所以由一3—AxW—1,得2.又因为AQO,所以Ax>0,

即的取值范围是(0,+°°).

10.已知质点A/按规律s=2『+3做直线运动.(位移单位：cm,时间单位：s)

△s

(1)当f=2,△£=0.01时，求兀"；

△s

(2)当f=2,△£=0.001时，求

(3)求质点M在f=2时的瞬时速度.

封Ass(/+△，)~s(/)2(/+△t)2+3-(2/2+3)

解：寸---------飞---------=--------------X-----------------=4—.

(1)当f=2,A/=0.010'b—=4X2+2X0.01=8.02(cm/s).

r,△S

(2)当Z=2,Ar=0.001—=4X2+2X0001=8-002(cm/s).

△s।

(3)y=JimJim(4z+2△E)=4z=4X2=8(cm/s).

［B能力提升］

11.已知点尸(必,则)是抛物线y=3，+6x+l上一点，且，(刖)=0,则点尸的坐标为()

A.(1,10)B.(-1,-2)

C.(1,-2)D.(-1,10)

缸打、，/byf(Xo+△%)-f(X。)

解析：选--------7——

△x

3(x()+Ax)」+6(x0+Ax)+1—3焉一6x()-1

—3△x+6x()+6,

△x

所以/(xo)=limlim(3△x+6x()+6)=6xo+6=O,所以x0=—1.

△x—*0△XAx—>0

把Xo=-1代入y=3/+6x+l,得y=-2.所以尸点坐标为（一1,—2）.

/（Xo—一/（劭）

12.（2017,泉州期中）设函数人工）在x=x（）处可导，则lim等于（）

Ax-0Ax

B./(—Xo)

C.-/(xo)D.一/（一刈）

/（劭一△4）一/（Xo）于（x（）—Ax）—f5）

解析：选C.limlim-/a。），故

△xAx—O-Ax

选C.

一〒，x>0,

13.已知函数/（x）=<山求/（4）八一1）的值.

」+工2,

11114+Ax-2

解:当x=4时，Ay=-,————,—-X-

、4+&x胃2、4+bx2^4+Ax

Ax・・所以R

2d4+34+Ax+2)2d4+bx34+Ax+2)

所以lim~T^=lim11

AY—O△XAx—O244+bx(<4+Ax+2)-2XWX(5+2)-⑹

所以/（4）=表.当*=一1时,Ay/(—l+Ax)—/(一1)

△x-△x

1+(—1+Ax)2—1—(—1)2,口3/心…、，’口

---------------7----------------=Ax-2,由导数的定义，得/(-l)=lim(Ax-2)

八X-------------------------------------Ax—*0

=一2,所以八4）以-1）=专义（_2）=一/

14.（选做题）若--物体运动方程如下：（位移单位：m,时间单位：s）

29+3(f-3)2,0Wf<3,

s=N)=

3*+2,，23.

求：（1）物体在f£[3,5]内的平均速度；

（2）物体的初速度u0;

（3）物体在t=\时的瞬时速度.

解：（1）因为物体在/£[3,5]内的时间变化量为Zu=5—3=2,位移变化量为AS=3X52

+2-（3X32+2）=3X（52-32）=48,所以物体在，£[3,5]内的平均速度为

岩=竽=24(m/s).

（2）求物体的初速度为，即求物体在/=0时的瞬时速度.

因为物体在f=o附近位移的平均变化率为管J(0+

29+3[(O+AZ)-3]2-29-3(0—3)2

=-L----------或------------------=3.18,

△s

所以物体在Z=0处位移的瞬时变化率为lim—=lim(3A/-18)=-18,

加一0△t加一o

即物体的初速度%=-18m/s.

(3)物体在t=\时的瞬时速度即为物体在t=\处位移的瞬时变化率.

因为物体在t=i附近位移的平均变化率为吊Ja+△[m

29+3F(1+Ar)-3]2-29-3(1-3)2

=-----L-----------E-----------------=3A/-12,

所以物体在E处位移的瞬时变化率为四原=妈(3AI2)=-⑵

即物体在/=1时的瞬时速度为-12m/s.

1.1.3导数的几何意义

学习

目标1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.3.会求曲线在某点处的

切线方程.

4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.

预习案自主学习研读•思考•裳试

.获知提炼.

1.导数的几何意义

(1)切线的定义

如图，对于割线PP”,当点P“趋近于点P时，割线PP“趋近于确定的位置，这个确定

位置的直绫"称为点P处的切线.

(2)导数的几何意义

导数的几何意义：函数危)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k=lim

Ax—»0

fCxo+Ax)-/(Xo)”

Av—f(xQ.

2.导函数的概念

(1)定义：当X变化时，713便是X的一个函数，我们称它为负X)的导函数(简称导数).

f(x+AY)—f(%)

(2)记法：/(x)或了，即/(x)=/=lim.—1VT：一.

Ax—>0△X

1.判断(正确的打“J”，错误的打“X”)

(I)导函数/(X)的定义域与函数Xx)的定义域相同.()

(2)函数在一点处的导数/(xo)是一个常数.()

(3)函数y=/(x)在点沏处的导数/(xo)就是导函数/(x)在点x=xo处的函数值.()

(4)函数｛x)=0没有导数.()

(5)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点.()

答案：⑴X(2)7(3)7(4)X(5)X

2.已知曲线y=/(x)=2?上一点/(2,8),则点/处的切线斜率为()

A.4B.16

C.8D.2

答案：C

3.已知y=/(x)的图象如图，则/'(h)与八XB)的大小关系是()

A.f(xQ岁(Xs)B.f(xA)<f(xB)C.f(xA)=f(xB)D.不能确定

解析：选B.由图可知，曲线在点力处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小,

结合导数的几何意义知/(xA)<f(xB),选B.

4.曲线y=:在点P(l,1)处的切线的方程为.答案：x+y—2=0

、探究案讲练互动，解惑•探究•突破卜

探究点1曲线在某点处的切线方程

例1求曲线产：在点从3,夕处的切线方程.

【解】因为J=lim1=lim2,\=~r>

AXTOADX-VX^Xx

所以曲线产拄点43,处的切线斜率为g,

所以曲线在点乂3,§处的切线方程为y—：=—3）,即x+9伊-6=0.

（1）求曲线〉=火》）在点P处的切线方程的步骤

①求出点P的坐标（xo,/（M）.

②求出函数在Xo处的变化率/（Xo）,从而得到曲线在点尸（X0,外0））处切线的斜率.

③利用点斜式写出切线方程.

（2）求曲线过点尸的切线，点尸不一定是切点，也不一定在曲线上，即使点尸在曲线上

也不一定是切点.

口跟踪训练1.（2017•青岛高二检测）若函数Hx）=x-5则它与x轴交点处的切线的方

程为.

解析：由/（x）=x—1=0得x=±l,即与X轴交点坐标为（1,0）或（一1,0）.

（x+Ax）——J、—r1

x+Axx…11

因为/（x尸妈----------砥-----------=妈［1+x（x+V）卜1+声

所以切线的斜率％=1+；=2,所以切线的方程为了=2（X—1）或y=2（x+l）.

即2x—y—2=0或2%一夕+2=0.答案：2%一夕一2=0或2x-y+2=0

2.试求过点尸（1,-3）且与曲线相切的直线的斜率以及切线方程.

解：设切点坐标为（Xo，泗），则有为=xW.因y'=limlim-----；-------2x.

Ax―0dXAx—»0dX

=,=

所以ky\x=XQ=2x（）.因切线方程为y—y（）2XQ（X—劭），

将点（1,一3）代入，得一3-'/=2x（）—2x：,所以孟一2x（）—3=0,所以劭=—1或x0=3.

当M=-1时，k=-2；当沏=3时，上=6.所以所求直线的斜率为-2或6.

当Xo=-1时，乂)=1,切线方程为y—1=-2(x+l),即2x+y+l=0；

当％o=3时，yo=9,切线方程为y—9=6（x—3）,即6x一歹一9=0.

探究点2利用导数的几何意义求切点坐标［学生用书P5］

例2已知曲线危）=x?+6在点P处的切线平行于直线4x—y—3=0,求点P的坐标.

【解】设切点尸坐标为Qo,泗）.

于(x+—f(x)(x+Ax)2+6—(，+6)

lim妈QX+AX)

AxAr—O

=2x.所以点P在（xo,泗）处的切线的斜率为2xo.因为切线与直线4x—y—3=0平行，

所以2xo=4,x（）=2,为=/+6=10,即切点为（2,10）.

Q互动探究若本例中的“平行于直线4x一夕一3=0”变为“垂直于直线2x—y+5=

o”，其他条件不变，求点尸的坐标.

解：由本例解析知，点P(XO,州)处的切线的斜率为2xo.因为切线与直线2x—y+5=0垂

直，所以2x()X2=—l,得沏=一川=答，即切点为(一；，笥.

求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤

(1)先设切点坐标(X0,泗)；

(2)求导函数/(x)；

(3)求切线的斜率/你)；

(4)由斜率间的关系列出关于X。的方程，解方程求xo；

(5)点(X。，外)在曲线外)上，将(xo,则)代入求为得切点坐标.

处跟踪训练1.已知曲线夕=?的一条切线的斜率为:，则切点的横坐标为()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选A.因为尸/4£=$=；,所以x=l,所以切点的横坐标为1.

2.己知曲线人》)=一§在点P处的切线平行于直线2%+了-1=0,求切点P的坐标.

解：设切点P为(xo,yo)，则k=/(x0)=lim/(X。+―=)im

Ar_*0八XAx—>0

______1_____1(Xo+Ax)2—焉

Go+Ax)2/xj(xo+Ax)2.2xo+Ax2

Ax1}55)Axxo(xo+Ax)2Xo*

、.2

因为切线平行于直线2x+y—1=0,所以切线斜率为-2.所以嘉=-2.

所以即=—1.所以次沏)=/(—1)=—1.所以切点P的坐标为(一1,—1).

探究点3导数几何意义的综合应用[学生用书P6]

例3设函数/(幻=/+52-9*-13<0),若曲线y=/(x)的斜率最小的切线与直线12x

+y=6平行.求a的值.

3232

【解】因为Ax)—/(x)=a+Ax)+a(x+Ax)-9(x+Ax)-1-(x+ax-9x

-l)=(3x2+2ax-9)△x+(3x+a)(Ax)2+(Ax)3,

所以尹=3x2+2ax-9+(3x+a)Ax+(Ax)2,所以/(x)=lim尹=3f+2融一9

△XAx—>0△X

=3(5+削—9一会—9—专由题意知/(x)的最小值是一⑵所以-9号=-12,

即『=9,因为a<0,所以a=-3.

导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如

直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识

相结合.

区跟踪训练若抛物线^=4x2上的点尸到直线y=4x—9的距离最短，求点P的坐标.

解：由点P到直线y=4x—9的距离最短知过点P的切线与直线y=4x—9平行.

,Ay4(x+Ax)2~4X2,

设尸(%o，yo)，y=hm~r~=1™-----------7-------------=lim(8x+4Ax)=8x,

'八'JAx—oAXA—OAXAX->O

所以点尸处的切线斜率为8%o，8x()=4,且涧=4xj,得劭=2，yo=1»

所以点P的坐标为R,1)

♦♦HDSJffl♦♦

i.曲线上某点处的导数与切线的关系

(1)函数道X)在XO处有导数，则在该点处函数兀0表示的曲线必有切线，且导数值是该切

线的斜率.

(2)函数｛x)表示的曲线在点。0，(卬))处有切线，但函数在该点处不一定可导，如.危0

=也在》=0处有切线，但不可导.

2.“函数危)在点X。处的导数人M”“导函数/(x)”“导数”之间的区别与联系

(1)函数在一点处的导数/(xo),就是在该点处函数值的改变量与自变量的改变量之比的

极限值，它是一个常数，不是变数.

(2)函数的导数是对某一区间内任意点x而言的，就是函数负x)的导函数/(x).

(3)函数道x)在点X。处的导数/(xo)就是导函数/(x)在x=x0处的函数值，即/。0)=训尸％.

这也是求函数在点xo处的导数的方法之一.

3.(易误防范)求曲线的切线要注意“过点尸的切线”与“在点尸处的切线”的差异.过

点P的切线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上，即使点P在曲线上也不一定是切点；

在点尸处的切线，点P必为切点，且在曲线上.

♦♦邕1堂倒测♦♦

1.曲线>=-2x2+1在点(0,1)处的切线的斜率是()

A.-4B.0

C.4D.-2

解析：选B.因为Ay=-2(Ax)2,所以#=-2Ax,lim/=lim(-2Ax)=0,由导

△XAx-0△XAx—»0

数的几何意义知切线的斜率为0.

2.设曲线卜=0?在点(1,0)处的切线与直线2x-y-6=0平行，则。等于()

A.1

C.-2D.-1

a(1+Ax)2-aX\2QAX+〃(Ax)2

解析:选A.因为y'\x=\=lim一=hm--------;---------=lim(2a

Ax-*OAxAx-0△XAr->0

+aAx)=2a,所以2a=2,所以a=l.

3.曲线3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为

解析：设兀。=y=x2—3x,切点坐标为(xo,涧)，

(x()+bx)2-3(x()+Ax)一/+3xo

f(x0)=lim

m—*0△x

2x()Ax-3Ax+(Ax)2

=lim—=2xo—3=1,故x()=2,泗=/一3xo=4—6二-2,

△x

故切点坐标为(2,-2).答案：(2,-2)

4.已知抛物线y=/(x)=f+3与直线y=2x+2相交，求它们交点处抛物线的切线方程.

y=f+3,

解：由方程组得f—2x+l=0,解得了=1,y=4,所以交点坐标为(1,4),

y=2x+2f

(Ax+1)2+3—(l2+3)

又・=Ax+2.当Ax趋于0时Ax+2趋于2.

Ax

所以在点(1,4)处的切线斜率％=2.所以切线方程为y—4=2(