高三复习数学教师7（大题规范天天练）

大题规范天天练（第一周）

星期一（三角与数列）2017年—月一日

1.三角知识（命题意图：在三角形中，考查三角恒等变换'正余弦定理及面积公式

的应用）

（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知

(1)求cosC的值;

(2)若△ABC的面积为“卜,且sin2A+sin2B=*in2。，求a,/?及c的值.

解⑴因为sin袅乎，

C1

所以cosC=l—2sin2^=—4.

13

(2)因为sin2A+sin25=Y^sin2C,由正弦定理得

/+乂=磊2,①

由余弦定理得a2+b2=c2+2ahcosC,将cosC=—(代入，得

3

ab=-^(r,②

O

由S«M8C=女皆及sinC=\l1-cos2c得必=6,③

a=2,(Q=3,

b=3,或卜=2,

{c=4,LC=4.

经检验，满足题意.

所以a=2,b=3,c=4或a=3,b=2,c=4.

2.数列（命题意图：考查数列基本量的求取，数列前〃项和的求取，以及利用放缩

法解决数列不等式问题等）

（本小题满分15分）已知数列｛圆｝中，。|=1,其前n项的和为S,”且满足a产代士

（心2）.

⑴求证：数列帽是等差数列;

1113

（2）证明:当心2时，C+初+扣+…+打法

证明（1）当〃22时,Sn~Sn-i=2S~=\f

Sn-]~S,j=2SnSn-\

从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.

（2）Etl（l）可知，p=9+（〃-l）X2=2〃-1,

On31

*'•5n=2»-r

当〃"2时'7s,尸葭（2〃-1）<〃（2〃-2）

=2,77^17=骷-5）

从而&+聂+*3+…+.

星期二（概率与立体几何）2017年月日

1.概率（命题意图：考查相互独立事件概率的求解及数学期望的求法）

（本小题满分15分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别

为0.6、0.5>0.5>0.4,各人是否需使用设备相互独立.

⑴求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

（2）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.

解记A表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0,1,2,

8表示事件：甲需使用设备，

。表示事件：丁需使用设备，

。表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.

(1)。=4•B•C+A2•B+A2•BC,

P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A)=QX0.52,z=0,1,2,

所以尸(O)=P(Ai•B•C+Ai•B+A2•BC)

=P(Ai•B-O+P(A2•B)+P(A2•BC)

=尸(4)P(B)P(O+尸(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(O

=0.31.

(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,其分布列为

P(X=0)=P(BA()•C)

=P(B)P(Ao)P(。

=(1-0.6)X0.52X(1-0.4)

=0.06,

P(X=l)=P(BAo•C+BA0•C+BA\•C)

=P(B)尸(Ao)P(0+P(B)P(Ao)P(C)+P(B)P(4)P(O=0.6X0.52X(1-0.4)+(1-

0.6)X0.52X0.4+(1-0.6)X2X0.52X(1-0.4)=0.25,

2

尸(X=4)=尸(A2•B•C)=P(A2)P(B)P(Q=0.5X0.6X0.4=0.06,

P(X=3)=P(O)-P(X=4)=0.25,

P(X=2)=1—P(X=0)—P(X=1)—P(X=3)—P(X=4)

=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,

数学期望£(X)=0XP(X=0)+lXP(X=l)+2XP(X=2)+3XP(X=3)+4X

P(X=4)

=0.25+2X0.38+3X0.25+4X0.06=2.

2.立体几何(命题意图：考查线线垂直及面面角的求解)

(本小题满分15分)在如图所示的多面体中，平面

AE1EB,AD//EF,EF//BC,BC=2AO=4,EF=3,AE=BE

=2,G是3C的中点.

⑴求证：BDA.EG；

(2)求平面DEG与平面OEF所成锐二面角的余弦值.

(1)证明VEF±¥iSlAEB,AEu平面AEB,BEu平面AEB,

：.EFLAE,EFA.BE,又AELBE,

：.BE,EF,AE两两垂直，

以点E为坐标原点，EB,EF,EA分别为x,y,z轴.

建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得，4(0,0,2),

8(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),

kL\\F

G(2,2,0),/.EG=(2,2,0),BD=(-2,2,2),-乍GC

：.BD-EG=-2X2+2X2+0X2=0,：.BD1.EG,即BO_LEG.

(2)解由已知得而=(2,0,0)是平面。Eb的法向量，

设平面DEG的法向量为〃=(x,y,z),

VEb=(0,2,2),EG=(2,2,0),

EG,7i—-0,fy+z=0,

令x=l,得〃=(1,—1,1),

ED-n=0,

设平面DEG与平面OEF所成锐二面角的大小为9,

,n-EB25EInVI

则|cos〈〃，EB)|—=~~r--o,则cos〃=q

\n\-\EB\2斓33

...平面DEG与平面OEF所成锐二面角的余弦值为坐

星期三（解析几何）2017年—月一日

解析几何（命题意图：考查椭圆方程的求解及直线与椭圆相交情况下的范围问题）

（本小题满分15分）如图，已知Fi、尸2是椭圆C：宗+后=1（。/歹

＞方＞0）的左、右焦点，以为直径的圆D经过椭圆的上产弋二已力

顶点A,且|/=F\A•^4=6.

⑴求椭圆C的方程及圆D的方程；

（2）斜率为々的直线/过右焦点反，且与椭圆C交于M、N两点,若在光轴上存在

点P（m,0）,使得以PM、PN为邻边的平行四边形为菱形，求实数m的取值范围.

解（1）因为以为直径的圆经过椭圆的上顶点A，且|而=

所以/&4&=方，ZBAFx=ZABFi，

所以NBAB+/BAR=ZAF2B+ZABF\,

所以NRAF2=NABFI,

所以△BA&是等边三角形.

所以府11=|"市2|=|屏'11=2c,

又而'1『=|存'1F+1醇J,即4c1=c1+b2=a2,

则B(-3c,0),Fi(-c,0),F2(C,0),4(0,b),

所以而1-BA=(c,b)-(3c,与=3/+炉=6,

所以/=4,82=3,<?=1,

所以椭圆C的方程为?+?=1.

由尸1(一1,0),府i|=2,得

圆D的方程为(x+l)2+V=4.

⑵由⑴知乃(1,0),则/：y=k(x-1),

y=k(x—1),

联立,-+^=1消去丫整理得(3+4后)广一8七+43-12=0,

设M(»,》)、N(X2,yi)，则4=(一8筠2—4(3+4》)(4k一12)=16><9/+1)>0,

■I+X2=3+4M，yi+y2=Z(%i+x2-2),

=—

所以尸A/+PN=(xi—m9yi)+(i2—机，yi)(xi+%22m,yi+”).

由于菱形的对角线互相垂直，则(曲+喇・疝v=o,

因为MN的一个方向向量是(1,k),故xi+%2—2机+&(yi+y2)=0,所以xi+九2-2机

+F(xi+及—2)=0,

所以K(焉一2)+龄一2加=°，

由已知条件知ZW0,

1c1，所以0＜加＜；,

所以m=3+^=T~

■+4

故实数机的取值范围是[0,4＞

星期四(函数与导数)2017年—月一日

函数与导数(命题意图：考查曲线的切线、最值及数列不等式的证明等)

(本小题满分15分)已知函数/(幻=加+1,g(x)=ln(x+l).

(1)当实数a为何值时，函数g(x)在x=0处的切线与函数.*x)的图象相切；

(2)当xG[0,+8州寸，不等式y(x)+g(x)Wx+1恒成立，求a的取值范围；

(3)已知“CN*,试判断g(〃)与g，(0)+g，(l)+…+g'(及-1)的大小，并证明之.

解(l)；g(x)=ln(x+l),

，g'(尤)=*，g'(。)=1，

故g(x)在x=0处的切线方程为y=x.

X,

得ax2—x+l=0,

Car9+1,

/.4=1—4a=0,

・••T

(2)当尤6[0,+8)时，不等式於)+g(x)Wx+l恒成立,

即加+1!1(》+1)—XW0恒成立.

设〃(%)=加+111。+1)—x(xN0),

只需//(x)maxWO即可.

.,1x[2ax+(2Q—1)]

h(")=2以+干―1=不

—X

①当a=O时，h'(x)=F7，当x>0时，h'(x)<0,

A-I1

函数%(x)在［O,+8)上单调递减，

故〃(x)W〃(O)=O成立.

②当40时，由1(x)=0,得x==—1或x=0.

1°^-1<0,即时，在区间(0,+8)上，h'(x)>Q,则函数久幻在(0,

+8)上单调递增，久处在(0,+8)上无最大值，此时不满足条件.

2°若土一120,即时，函数g)在(0,上单调递减，在区间

氐—1，+8)上单调递增，同样%(九)在［0,+8)上无最大值，不满足条件.

③当“VO时，h'W<0,函数力⑴在［0,+8)上单调递减，故〃(x)W/?(O)=O成

立，

综上所述，实数。的取值范围是(-8,0］.

(3)结论:g5)Vg@+g<l)+g，(2)+…+g<〃-1).

证明：当。=0时，ln(x+l)Wx(当且仅当x=0时取等号)，令x=：,

/.lnf~+1)V,，

\nJn

/.ln(»+1)—In

故有

Innln(zz1)*^

n-1

ln(n-1)—ln(n—2)<~

n—2

In3-ln2<1,ln2-ln1<1,

所以ln(n+1)<1-----

即g(〃)Vg'(0)+g'(l)+g'(2)H----Fg，(〃-1).

星期五(综合限时练)2017年—月一日

解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)

1.(本小题满分14分)已知数列｛a”｝与｛仇｝满足即+i一m=2(仇+1—b)(〃GN*).

(1)若0=1,bn=3n+5,求数列｛&｝的通项公式；

⑵若ai=6,d=2"(〃WN*),且筋”>2"+〃+22对一切〃GN*恒成立，求实数2

的取值范围.

解(1)因为a”+i—。"=2(d+|—b),hn=3n+5.

所以斯+i—。"=2(儿+1—儿)=2(3〃+8—3〃-5)=6,

所以｛0｝是等差数列，首项为内=1,公差为6,即为=6〃-5.

(2)因为仇=2",所以诙+1-诙=2(2"+1-2")=2"+1,

当“M2时,。"=(<2"一斯m-2)+…+伍2-0)+。1

=2"+2"」H-----F22+6

=2,,+1+2,

当”=1时，0=6,符合上式，所以a"=2""+2,

2"n1n

由2"+〃+2A得2>一弓+”1］，

乙乙乙

〃+1n\~n

2〃+22“r-2"+2、①

所以，当〃=1,2时，可而"取最大值;，

故人的取值范围为修，+8)

2.(本小题满分15分)如图，四棱锥P—ABCD中，NABC=

ZBAD=90°,3C=2AD,△以8与△鬼。都是等边三角形.

(1)证明：PB±CD；

(2)求二面角A-PD-B的余弦值.

(1)证明取的中点E,连接。E,则四边形AOEB为正方形，过P作PO_L平

ffiABCD,垂足为O,

连接。A,OB,OE,OD,

由△RIB和△/%£)都是等边三角形可知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,

即点0为正方形ADEB对角线的交点，

故OELBO,又PO工OE,且尸on03=0,

从而OEL平面P8D,

又P8u平面PB。，所以OE_LPB,

因为。是BO的中点，E是BC的中点，

所以OE〃CD,因此P8_LCD

⑵解由(1)可知，OE,OB,0P两两垂直，

以。为原点，0E方向为x轴正方向，。8方向为y轴正方

向，0P方向为z轴正方向，建立如图所示的直角坐标系0

~~xyz.

设|AB|=2,则A(一啦，0,0),0(0,~y[2,0),P(0,0,啦)

AD=(y]2,一隹0),AP=(y)2,0,柩,

设平面玄。的法向量〃=(x,y,z),

n-AD=y/2x—y[2y=0,

•V

n-AP=y[2x+y/2z=0,

取x=1,得y=1,z=—1,即〃=(1,1,—1),

因为OEL平面PBD,设平面PBD的法向量为m,

取机=(1,0,0),

则cos{m,〃〉=小:]=坐'

由图象可知二面角A-PD-B的大小为锐角.

所以，二面角4一尸。一8的余弦值为竽.

3.(本小题满分15分)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,

这些球除颜色外完全相同.

⑴从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P；

(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为为，X2,

心，随机变量X表示X”X2,心中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X).

解(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P

_CZ+Cg+C3_6+3+1__5_

=-36-=而

(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.

{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X=4)=^=忐；

{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3

个黄球和1个其他颜色的球”，故尸(x=3)=0g臂型=与芸=1|；

十日13111

于是P(X=2)=1—P(X=3)—P(X=4)=1一百一市=应.

所以随机变量X的概率分布如下表：

X234

11131

p

1463126

因此随机变量X的数学期望

1113120

E(X)=2XI4+3X^+4X—=-

4.(本小题满分15分)已知椭圆C：、+*=1(。＞匕＞0)经过点(1,^一个焦点

为(小，0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y=A(x—l)伙W0)与x轴交于点P,与椭圆C交于A,8两点，线段A3

的垂直平分线与x轴交于点。.求舐的取值范围.

/_序=3,

解(1)由题意得13解得。=2,b=L

、1十赤=匕

所以椭圆C的方程为。+V=L

y=k(x—1),

⑵由口,得(1+4F*—8&+4F—4=0.

疝+产1,

设A(xi,”)，5(x2,>2),

MI―8F4Z?—4

则有xi+x2="jqq/，xi无2="jqz而，

-2k

yi+”=k(xi+x2_2)=

1+4^-

所以线段AB的中点坐标为后,]+jj,

所以线段AB的垂直平分线方程为

y~T一+k^=-\(14+小4、J

于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点

Q(J7^，0｝又点P(l，0),

3P14-P

所以『。尸1一"而=1+4修

/Qp4后一4

又阴=y(1+冽[(T+^)2-*4-1+^]

41(1+尼)(1+3上)

1+4一•

4\l(1+d)(1+3必)

干曰殴=1+4^

7G

十'|PQ「1+S

2

所以1<3—

所以需的取值范围为(4,44).

5.(本小题满分15分)已知函数_/U)=(2a/+fct+l)eX(e为自然对数的底数).

(1)若求函数段)的单调区间；

(2)若人1)=1,且方程_/U)=l在(0，1)内有解，求实数。的取值范围.

解(1)当a=T，/U)=(x2+bx+1)[*,

f'(JC)=—[^+(/?—2)x+1~b]ex,

令)(x)=0,得xi=Lx2=l-=当"=0,7'(x)WO；

当。>0时，当1—OVxVl时，/'(x)>0,当xVl—b或x>l时，/'(x)VO；

当人<0时，当1<X<1—Z?时，/'(x)>0,当x>l—b或x<l时，

fU)<0.

综上所述，8=0时，/U)的单调递减区间为(一8,+°°)；

b>0时，./(X)的单调递增区间为(1一41),递减区间为(一8,1一份，(1,+oo).

bVO时，/U)的单调递增区间为(1,1一加，递减区间为(一8,1),(l-b,+8).

(2)由式1)=1得2a+/?+1=e,b=e—1—2a.

由/W=1得e*=lax1+bx+1,设g(x)=eA—lajr—bx~1,则g(x)在(0，1)内有零

点.

设xo为g(x)在(0，1)内的一个零点，则由g(0)=0、g(l)=0知g(x)在区间(0,祀)

和(xo,1)上不可能单调递增，也不可能单调递减，设/?(x)=g，(x),则〃(x)在区间(0,

尤o)和(月，1)上均存在零点，即〃(x)在(0,1)上至少有两个零点ga)=eX-4ox—A

hfa)=e”一4a

当aW%寸，h'(x)>0,4(x)在区间(0,1)上递增，久处不可能有两个及以上零点；

当a衿时，h'(x)<0,4(x)在区间(0,1)上递减，4(x)不可能有两个及以上零点；

当(vaV割寸，令〃(x)=0得x=ln(4a)e(0,1),

所以〃(x)在区间(0,ln(4a))上递减，

在(ln(4a),1)上递增,力㈤在区间(0,1)上存在最小值

〃(ln(4a)).

若〃(%)有两个零点,则有〃(ln(4a))VO,/z(0)>0,%⑴>0.

/?(ln(4a))=4“一4aln(4a)—。=6〃-4aln(4a)+1—e(7<a<|j.

3

设9(x)=]r—jdnx+1—e(l<x<e),

则98)=；一Inx,令"(x)=0,得了=必，

当IVxV/时—(x)>0,O(x)递增，当#VxVe时(p'(x)<0,O(x)递减，

0(x)max=s(&)=#+1—e<0,所以/?(ln(4«))<0恒成立.

e-21e—21

由/?(0)=1—Z?=2a—e+2>0,//(l)=e—4n—/?>0,得？.当[口寸,

设〃(x)的两个零点为即，X2，则g。)在(0,九|)递增，在(九|,X2)递减，在(X2，1)递

增，所以g(xi)>g(0)=0,g(X2)〈g(l)=0，则g(x)在(xi，&)内有零点.综上,实数

a的取值范围是(望，

大题规范天天练（第二周）

星期一（三角与数列）2017年—月一日

1.三角（命题意图：考查正、余弦定理、面积公式及三角恒等变换）

（本小题满分14分）已知△ABC的三个内角A、B、。所对应的边分别为a、b、c,

且满足号二0'「

cosA2—cosC

（1）若8=4,求a；

（2）若c=3,ZXABC的面积为3,求证：3sinC+4cosC=5.

,a_______c/旦sinAsinC

⑴解由cosA=2—cos。得cosA=2—cosC

/.2sinA=sinAcosC+sinCeosA=sinB,即2a=b,

"=4,：,a=2.

⑵证明•••AABC的面积为3,

.".^absinC=a2sinC=3,①

".'c=3,.*.«2+4<22—4a2cosC=9,②

由①②消去t?得3sinC=5-4cosC,

即3sinC+4cosC=5.

2.数列（命题意图：考查等差、等比数列的基本运算及求和）

（本小题满分15分）已知数列｛〃”｝是首项01=1的等差数列，其前〃项和为S„,数

列｛瓦｝是首项。=2的等比数列,且历§2=16,b\b3=b4.

⑴求。和bn；

（2）令a=l,C2k=a2k-\>C2k+i=a2k+kbk（k=l,2,3…），求数列｛c”｝的前2〃+1项

和72/1+1.

解（1）设数列｛&｝的公差为4,数列｛儿｝的公比为q,

则a”=l+（〃-l）d,b„=2q"

由。仍3=仇，得q当=b尸2.

由b2s2=2q(2+①=16,

解得d=2,

•.a”=2〃-11

(2)•.•乃”+1=ci+ai+(ti2+b।)+。3+(。4+2・岳)H-----Fti2n-i+52”+nbn)

=1+S2”+3I+2必+…+〃儿).

令A=b\+2。2H-----brib”,

则A=2+2.22H-----\-n-2n,

/.2A=22+2-234-----卜〃-2"+i,

两式相减，得一A=2+2?H-----F2"一〃2E,

：.A=n-2,,+i-2n+l+2.

dc2n(1+。2八)，9

又S2n=--------2-------'=4/,

T2n+\=1+4层+〃.2"+1—2"+|+2

=3+4/+（〃-

星期二（概率与立体几何）2017年—月一日

1.概率（命题意图：考查古典概型的概率的求法以及数学期望的求解）

（本小题满分15分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区

分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3

件正品时检测结束.

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测

出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.

解（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.

AlAi3

P（A）=FF，.

(2)X的可能取值为200,300,400.

A21

P(X=200)=Xrm，

AHcicUs3

P(X=300)=

P(X=400)=1—P(X=200)-P(X=300)

136

To-w=To-

故X的分布列为

X200300400

136

p

10ToTo

1,3,6

E(X)=200X300X400X350.

2.立体几何(命题意图：考查线面的平行关系、线面角的求法及空间向量在立体几

何中的应用)

(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—A8CO中，底面ABCQ

是菱形，ZDAB=60°,平面A8C0,PO=AO=1,点

E,少分别为A8和中点.

(1)求证：直线AF〃平面PEC；

(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.

⑴证明作FM〃C。交PC于M,连接EM.

•.•点F为PO中点，

：.FM=^CD.FM//CD.

又E是AB中点，且AB=CD,AB//CD.

：.AE=~AB=FM,AE//FM,

...AEMF为平行四边形，

J.AF//EM,

,.飞列平面PEC,

EMu平面PEC,

，直线AF〃平面PEC.

⑵解连接DE,

，：ZDAB=60°,

：.DE±DC,如下图所示，建立坐标系,

则P(0,0,1),C(0,1,0),

,ol

...办=（一坐，；，11箱=（0,1,0）.设平面的一个法向量为〃=（x,y,z）.

'."n-AB=O,n-AP=O,

—^x+^y+z=0,

0

取x=l,则z=2，

.y=0,

...平面PAB的一个法向量为〃=1,0,

VPC=(0,1,-1),

...设向量n与前所成角为e,

当

，=也V42

cos

Inll^CI14,

...直线PC与平面PAB所成角的正弦值为卷.

星期三（解析几何）2017年月日

解析几何（命题意图：考查直线与椭圆相交情况下的弦长及三角形面积问题）

?,2

（本小题满分15分）已知椭圆M：金+%=13>0）上一点与椭圆

的两个焦点构成的三角形周长为4+273.

⑴求椭圆M的方程；

⑵设不过原点。的直线/与该椭圆交于P,。两点，满足直线OP,PQ,。。的

斜率依次成等比数列，求AOP。面积的取值范围.

解（1）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为4+2仍，

所以2a+2c=4+2小，

又a=2b,所以

所以8=1,则a=2,c=小.

所以椭圆M的方程为=+V=L

(2)由题意可知，直线/的斜率存在且不为0,

故可设直线/的方程为y=Ax+〃?0"W0),P(x\,yi),

Q(X2,”)，

[y=kx+m,

由f,,,消去y得(l+4K)f+8切a+4(*—1)=0,

X+4/—4=0,

则1=643/”2—16(1+43)(机2—1)=16(43一，/+1)>0,

.一8km4Cnr—1)

且用+无2=丁书'XI尤2="4AZ'

故“了2=(去1+m)(kx2+m)=lcx\X2+km{x\4-%2)+m2.

因为直线OP,PQ,0。的斜率依次成等比数列，

,yiV2I^XiXi+km(xi+及)+"及力

所rr以uj.J=------------------------------------------=心,

X\X2X1X2

又7H#0,所以M=即仁±3，

由于直线OP,OQ的斜率存在，且/>0,得0<加2<2且/WL

2

则S△OPQ=；\y\—yi\,\2m\=义比一切•依I=g•y](xi+%2)—4XI%2\m\=

\jm2(2—w2)，

所以SAOPQ的取值范围为(0,1).

星期四(函数与导数)2017年—月一日

函数与导数(命题意图：考查函数的单调性及不等式恒成立问题，考查等价转化思

相/UA)、

(本小题满分15分)已知函数/(x)=(3—a)x—2+a—21nx(aWR).

⑴若函数y=/(x)在区间(1,3)上单调，求a的取值范围；

(2)若函数g(x)=/(x)—x在(0,g)上无零点，求a的最小值.

解(1)函数./(X)的定义域为(0,+8),/a)=3—4—彳=-----------.

当“23时，有/(x)V0,即函数段)在区间(1,3)上单调递减；

2

当aV3时，令/(x)=0,得若函数y=*x)在区间(1,3)上单调，则

W1或1~23,解得aWl或［waV3；

3~aJ—aJ

综上，a的取值范围是(一8,1］U］，+8).

恒成立不可能，

故要使函数g(x)在(o,0上无零点，只要对任意的xe(o,0,ga)>o恒成立，

即对x6(0,；),a>2—智恒成立，

令/(x)=2—普多x£(0,，，

22

x(%-1)-2皿尤21nx+--2

贝I()7［、2=~/?，

r'x——(%—1)/(X—i1\)/

再令"?(x)=21nx+1—2,xe(0,1j,

2-2(1-x)

<0,

x=飞

故〃z(x)在(0,g)上为减函数，于是机(x)>〃U=2—21n2>0,从而/(%)>0,于是

/(x)在(0,J上为增函数，

所以=2-41n2,

/(x)<2

故要使。>2一普恒成立，只要ad[2—41n2,+°°),

综上，若函数g(x)在10,方上无零点，则。的最小值为2—41n2.

星期五(综合限时练)2017年—月一日

解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)

YI(〃-1)

1.(本小题满分14分)设数列｛为｝的前〃项之积为T,„且10g2〃=-------",

HEN*.

(1)求数列｛。”｝的通项公式；

⑵设济=M"-l(〃eN*),数列｛儿｝的前〃项之和为S”若对任意的"GN*,总有

S“+i>S”求实数2的取值范围.

,n(»—1)*gn(n—1)

解(1)由k)g2〃=-------2-------，〃WN,得T"=2---------，

5一1)(〃一2)

所以〃_]=2■(〃£N*,2),

n<w_l>

7---------

rri।Tn2(n-1)(〃-2)*

所以d-zz=7-22-5=2〃，

n177—1-Vn—1)(n-2)乙

2~~2—

又ai=Ti=20=l,适合上式，所以q〃=2〃-I〃£N*.

1—2ZZ

(^)由bn—Xcin-1=22〃1—1,得1—ri—(2H—1)2—n.

所以5"+1>*=(2"+1—1"-5+1)>(2"-1)4一〃=2"4>1=4>去

因为对任意的〃WN*,吴去故所求的义取值范围是由+8)

2.(本小题满分15分)如图，已知空间四边形48co在平面a上公、

的射影是梯形FBCE,BC//EF,BCLBF,BC=2EF=2AF=4DE.

又平面ABC与平面a所成的二面角的大小为45°.______AC

(1)求异面直线AB与C。所成角的大小；

(2)设直线BD交平面AFC于点O,求比值而.

解（1）如图，以点E为原点，FB,FE,胡分别为x,y,z轴,

建立空间直角坐标系.因为平面FBCE,BCLBF,所以

BCVAB,所以NAB/就是平面A8C与平面a所成的二面角的

平面角，所以NABF=45°,从而|AF|=|3F|.

令局=a,则|Afl=|EF|=|BF|=2a,\BC\=4a,

A(0,0,2a),B(2a,0,0),C(2a,4a,0),0(0,2a,a).

所以蕊=(2a,0,-la),CD=(~2a,~2a,a),

-4a2—2a2y[2

cos(AB,CD)

2yf2a,3a2,

所以（油，CD）=135°,故异面直线AB与CO所成角的大小为45°.

⑵连接BE、CF交于点G,再连接OG

因为。E〃AEAFC,Afu平面AFC,

所以OE〃平面APC.

又平面BOEA平面ARC=OG,所以。G〃OE,

^,BO=BG

物以O。—GE

..AfaEGEF1cc,x,BOBG

由△EFGs/kSCG,倚BG=BC=T所以“)=GE=2,

3.（本小题满分15分）某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学

中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七

个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同

学被选到的可能性相同）.

（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

解（1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则

a•a+d•cs49

P(A)=瓦=60'

所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为新.

（2）随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.

di-c『”

P(X=k)=-瓦一(仁0,1,2,3).

所以随机变量X的分布列是

X0123

1131

p

62To30

随机变量X的数学期望E(X)=0X：+1x1+2X^+3X^7=1.

72

4.(本小题满分15分)如图，椭圆宗十方=l(a>Q0)的上顶

点为A,左顶点为以尸为右焦点，过口作平行于A8的

直线交椭圆于C、。两点，作平行四边形OCE。，点E恰-8

在椭圆上.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若平行四边形OCEO的面积为2a,求椭圆的方程.

bh

解(1)...焦点为F(c,0),A3的斜率为,，故直线CO的方程为y=/(九一C).

与椭圆方程联立后消去y得到及一2cx—〃=0.

,.♦co的中点为G(I，一给,点a。，一年)在椭圆上.

...将E的坐标代入椭圆方程并整理得2c2=/,.•.离心率e=、喙

(2)由(1)知:=乎，b=c,则直线CO的方程为y=芈(x—c),与椭圆方程联立消去

y得至！J2X2—2CX—C2=0.

•••平行四边形OCED的面积为S=c|yc—M

=^c\](xc+切)2-4XCXD=^C\]c2+2c2=坐,2=2玳,所以c=2,b=2,a=

272.

?2

故椭圆方程为"+?=1.

o今

5.(本小题满分15分)设函数/U)=++(2/"—3)x+lnx(〃zGR).

⑴讨论函数_/U)在定义域上的单调性；

(2)若对任意的xe(l,2),总有兀r)V—2,求机的取值范围.

―.、，心、，,,,1f+(.2m—3)x+1

解(1)函数7U)的定义域为(0,+°0),/(x)=x+2m-3+-=--------；--------.

令片+(2加-3)尤+1=0,

则J=(2m—3)2—4—(2m—1)(2m—5).

①当时，4W0,

所以f+(2加-3)x+1>0,从而了(九)20；

②当〃2>,时，因为尤>0,

所以/+(2加-3)龙+l>f+(2*|—3}+1=/+2%+1>0,所以/(x)>0；

③当〃时，4>°，方程~+(2加-3)尤+1=0有两个不相等的实数根用，及(不

妨设X1<X2).

因为为+及=3—2机>3-2*3=2>0,xix2=l>0,所以光i>0,x2>0,

所以当xi<x〈X20寸，x2+(2m—3)x+1<0,

从而/(x)〈0；

当0V%Vxi或比>X2时，jr+(2m—3)x+1>0,

从而，(x)>0.

综上可知，当〃zeg时，函数.*x)在定义域(0,+8)上单调递增；

当mvg时，函数段)在区间(0,XI)和(X2,+8)上单调递增，在区间(XI,X2)上单

调递减，其中

3—2m—yj(2m—3)2—4

无尸2，

3—2m+yj(2加二3),二4

X2=2

（2）法一由（1）知，当时，函数/U）在区间（1,2）上单调递增，

1I13

所以“^）>,*1）=]+2/"—325+2X5—3=-/>—2,故2不成立.

当机时，函数./（X）在区间（X1，X2）上单调递减，在区间（0,尤|）和（X2，+8）上单

调递增.由加>0,尤2>o,X]X2=1,知O<X1V1<X2,所以在区间口，2]上，./U）max

max伏1）,旭）｝.

因为川）=1+2m—3—2m—犬2）=2+2（2加-3）+ln2=4m—4+ln2,

5）

2团一不忘—2,

所以2解得

2-ln2

4m—4+ln2W2,"W-7—

1

而-2—In2In2-1所以“q.

44-~4~<0,

1-

故实数〃2的取值范围是（一8,4-

-

法二./(x)V—2,即1f+(2加-3)x+ln—2.在区间(1,2)上，^x2+(2m—3)x+

Inx<—2=2机-3V

12,

^r+lnx+2.i_i_

2__________1In%+n2

x~2Xx

.1lnx+2e

令g(x)=—/—一~一，xe(i,2),则

f11—(Inx+2)—f+21nx+2

g(x)=~2~P=2?-

令〃(x)=­/+2111尤+2,xG(l,2),

.22(1—%2)

则h'(x)=—2x+-=----------<0,

所以函数力(x)在区间(1,2)上单调递减.

因为〃(1)=1>0,/?(2)=21n2-2<0,

所以存在唯一的均£(1,2),使得/?(xo)=O,且当xW(l,孙)时，〃(尤)>0,即g'(x)

>0；当X@(M),2)时，/?(x)<0,即g，(x)<0.

所以函数g(x)在区间(I,xo)上单调递增，在区间(XO,2)上单调递减，因此在［1,

2］上，g(x)min=min{g(l),g(2)}.

因为g(l)=_3_2=一|,

In2+2In2

g(2)=-1-2=2"

“I।1In21Tn2

所以g(2)-g(l)=2--=-2-

即g(2)>g(l).

故当x£(l,2)时,g(x)>g(l).

因此2m—3这一方,mW,

故实数m的取值范围是(一8,

大题规范天天练（第三周）

星期一（三角与数列）2017年—月一日

1.三角（命题意图：考查正弦定理'三角恒等变换及三角函数的最值（值域））

2b-c

（本小题满分14分）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为mb,c,且1

cosC

cosA,

(1)求角A的大小；

(2)求函数y=，§sinB+sin(c—石)的值域.

g八.lb-ccosC

解(1)由丁==，

利用正弦定理可得

2sinBcosA—sinCeosA=sinAcosC,

化为2sinBcosA=sin(C+A)=sinB,

VsinBWO,，cosA=3，

3，.・・A=9.

(2)y=SsinB+sin|

=SsinB+cosB

8+看).

=2sin

2nn

VB+C=—,0<B<y,

JIJI

oZ

JiJi2n

3O3

.大皿（8+不]金（孚，1,：.yE（yf3,2].

2.数歹IJ（命题意图：考查等差、等比数列的基本运算及数列的最值问题.）

（本小题满分15分）已知公差不为0的等差数列｛m｝的前〃项和为5,,,57=70且«i,

期成等比数列.

（1）求数列｛3｝的通项公式；

（2）设儿=型芳，数列｛乩｝的最小项是第几项，并求出该项的值.

7ai+21d=70,

解（1）设公差为d,则有

ci\3d=10,0=1,6Zi—10,

即〈=〈或〈

(ai+d)2=0(ai+5d)[d=3"〔d=0

=

・\an3n—2.

n.3〃2一〃

(2)S〃=¥1+(3〃-2)]

3/—〃+4848、

••也=---=3«+--l>2-3n-n-~l=23

当且仅当3〃=常，即〃=4时取“=”号,

数列｛d｝的最小项是第4项，。4=23.

星期二（概率与立体几何）2017年—月一日

1.概率（命题意图：考查互斥事件概率的求法，考查分布列与数学期望的求解）

（本小题满分15分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任

取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为〃.如果〃=3,再从这批产品中任

取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果〃=4,再从这批产品

中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品

都不能通过检验.

假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为上且

各件产品是否为优质品相互独立.

（1）求这批产品通过检验的概率；

（2）已知每件产品的检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产

品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望.

解(1)记该批产品通过检验为事件A,则P(A)

(2)X的可能取值为400,500,800；

41111

P(X=400)=l一讳—而=而，P(X=500)=讳,

P(X=800)=1,则X的分布列为

X400500800

1112

P

16164

E(X)=506.25.

2.立体几何(命题意图：考查折叠下的垂直问题及二面角的求解问题)

(本小题满分15分)如图，已知长方形A3C。中，AB=2®AD=y[2,M为DC

的中点，将△AOM沿AM折起，使得平面平面

⑴求证：ADA.BM；

(2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E—AM—。的余弦

值为坐.

(1)证明•.•长方形A8CD中，AB=2吸,AD="M为。。的中点,

：.AM=BM=2,5LAM1+BM1=AB1,：.AM±BM,

•.•平面ADM,平面A8CM,

平面ADMH平面ABCM=AM,