数学第四讲数学归纳法证明不等式单元检测（B）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第四讲数学归纳法证明不等式单元检测（B)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分)1．用数学归纳法证明3n＞n3(n≥3,n∈N），第一步应验证(）．A．n＝1B．n＝2C．n＝3D．n＝42．设f(x）是定义在正整数集上的函数，且f(x）满足：“当f（k)≥k2成立时，总可推出f（k＋1）≥(k＋1）2成立”．那么，下列命题总成立的是（）．A．若f(3）≥9成立，则当k≥1,均有f(k)≥k2成立B．若f（5）≥25成立,则当k≤5，均有f（k）≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8，均有f（k)≥k2成立D．若f（4）＝25成立，则当k≥4，均有f（k)≥k2成立3．用数学归纳法证明n3＋（n＋1）3＋（n＋2)3,n∈N＋能被9整除,利用归纳假设证n＝k＋1，只需展开（）．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．（k＋1)3D．（k＋1）3＋（k＋2)34．用数学归纳法证明不等式成立时，起始值至少应取（）．A．7B．8C．9D．105．用数学归纳法证明“对任意偶数n，an－bn能被a＋b整除”时，其第二步论证应该是（）．A．假设n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝2k时命题成立,再证明n＝2k＋1时命题也成立C．假设n＝k时命题成立，再证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k时命题成立，再证明n＝2（k＋1）时命题也成立6．用数学归纳法证恒等式(n∈N＋)时,由n＝k到n＝k＋1时，两边应同时加上（)．A．B．C．D．。7．用数学归纳法证明(n＋1）＋（n＋2）＋…＋(n＋n）＝的第二步中，n＝k＋1时等式左边与n＝k时的等式左边的差等于(）．A．2k＋2B．4k＋3C．3k＋2D．k＋18．已知平面内有k条直线，它将平面分成f（k)个区域，增加一条直线后，平面分成的区域最多会增加（）．A．k个B．k＋1个C．f(k）个D．f（k＋1)个9．用数学归纳法证明（n∈N＋,且n＞1）时，第一步是证下述哪个不等式成立？（)．A．1＜2B．C．D．10．已知，则f(n＋1)等于(）．A．B．C．D．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)（2n＋1)时,在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是__________．12．在数列｛an}中，a1＝1,且Sn，Sn＋1，2S1成等差数列，则S2,S3，S4分别为________，猜想Sn＝________.13．用数学归纳法证明，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标是__________．14．从1＝1，1－4＝－（1＋2),1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－（1＋2＋3＋4），…，归纳出:1－4＋9－16＋…＋（－1）n＋1n2＝__________。三、解答题(本大题共4小题，15,16，17小题每题12分，18小题14分,共50分)15．观察下列各式：,，,…，请你猜想一般关系式，并用数学归纳法证明你的结论．16．求数列：，，，…，,…的前n项和Sn.17．设n∈N＋,求证：2n＞n.证明：因为2n＝(1＋1)n，由贝努利不等式,得（1＋1)n≥1＋n×1＝1＋n。上式右边舍去1，得(1＋1)n＞n,所以不等式2n＞n成立．18．设bn＝2n（n∈N＋），证明:对任意的n∈N＋，不等式成立．参考答案1。答案:C解析：由n≥3，n∈N知，应验证n＝3。2.答案：D解析:对于A，f（3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故B错误．对于C，没有奠基部分,即没有f（8)≥82,故C错误．对于D，f(4）＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D．3。答案：A4。答案:B解析:原不等式可化为,即,即，所以，即,即。故26＜2n－1，即n－1＞6，故n＞7，所以n最小取8.5.答案：D解析:第k个偶数应是2k，所以应假设n＝2k时命题成立,再证明n＝2(k＋1)时命题也成立．6.答案：D解析:左边含变量，因此n＝k＋1时,应再加上7。答案：C解析：n＝k时，左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k），n＝k＋1时,左边＝（k＋2）＋…＋（k＋k)＋(2k＋1)＋(2k＋2），两者之差为3k＋2.8。答案：B解析：第k＋1条直线与前k条直线的交点最多有k个，从而将增加的直线分为k＋1段，每段所在的区域将原区域分为两个区域，故最多增加k＋1个区域．9。答案：C解析：n＝2时，左边＝，右边＝2,∴应证.10。答案：C11。答案：1＋2＋3解析：当n＝1时,2n＋1＝3,左边＝1＋2＋3。12.答案:，,解析：因为Sn,Sn＋1，2S1成等差数列，所以2Sn＋1＝Sn＋2S1.又S1＝a1＝1，所以2S2＝S1＋2S1＝3S1＝3，于是，，于是,由此猜想。13。答案：解析：注意不等式两边含变量“n”的式子,因此当n＝k＋1时，应该是含“n"的式子发生变化，所以n＝k＋1时，应为.14.答案：解析：等式的左边符号正负间隔出现,先正后负，所以最后一项系数应为（－1）n＋1，和的绝对值是前n个自然数的和,为。15。解:一般关系式为.当n＝1时,，显然成立．假设n＝k时，,则当n＝k＋1时，＝（k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，不等式也成立．故恒成立．16.解：;；；…由以上计算可猜想数列的前n项和.下面用数学归纳法证明此等式对任何n∈N＋都成立．证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，等式成立．（2）假设n＝k(k∈N＋，k≥1）时,等式成立，即.当n＝k＋1时，，这就是说,当n＝k＋1时，等式成立，即。根据（1）（2）知，等式对于任何n∈N＋都成立．1