数学第二讲参数方程单元测评一

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元测评（一）(时间100分钟，满分120分）一、选择题（每小题5分，共50分）1.在方程(θ为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为(）A。（2，-7）B.(）C。（)D.（1,0）解析：把参数方程化为普通方程时注意范围的等价性,普通方程是y=1-2x2(-1≤x≤1）,再根据选择肢逐个代入进行验证即可.答案：C2。下列参数方程（t为参数）与普通方程x2—y=0表示同一曲线的方程是(）A。B。C。D.解析：注意参数范围,可利用排除法.普通方程x2-y=0中的x∈R，y≥0,A中x=|t|≥0，B中x=cost∈［—1，1］,故排除A和B.而C中y==cot2t==，即x2y=1,故排除C.答案：D3。直线3x-4y-9=0与圆（θ为参数)的位置关系是（)A。相切B。相离C。直线过圆心D.相交但直线不过圆心解析:把圆的参数方程化为普通方程,得x2+y2=4,得到半径为2,圆心为（0,0），再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线和圆的位置关系.答案：D4.参数方程(t为参数）所表示的曲线是（）A.一条射线B。两条射线C。一条直线D.两条直线解析：根据参数中y是常数，可知方程表示的是平行于x轴的直线,再利用不等式知识求出x的范围可得x≤—2或x≥2，可知方程表示的图形是两条射线.答案：B5。若直线l的参数方程是（t为参数)，则过点（4，-1）且与l平行的直线在y轴上的截距为（）A。4B。—4C。2D。-2解析：设过点(4，—1）的直线方程为令x=0,得t=-5.代入②得y=-1-3=-4。答案：B6.设r〉0,那么直线xcosθ+ysinθ=r与圆(φ是参数）的位置关系是（)A。相交B.相切C。相离D.视r的大小而定解析：根据已知圆的圆心在原点,半径是r，则圆心（0，0）到直线的距离为d==r,恰好等于圆的半径,所以直线和圆相切.答案：B7。设直线l1:（t为参数)，如果α为锐角，那么直线l1到直线l2：x+1=0的角是()A.—αB。+αC.αD.π-α解析：根据方程可知l1的倾斜角为π—α，l2的倾斜角为，根据直线到角的定义，只需让l1逆时针旋转+α即与l2重合。所以直线l1到l2的角为+α.答案：B8.直线(t为参数)上与点P(-2,3）的距离等于的点的坐标是（）A.(-4，5)B.（-3，4)C。(—3,4)或（-1，2）D。(—4,5）或(0，1)解析:可以把直线的参数方程转化为标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得将t代入原方程，得∴所求点的坐标为（-3,4)或(—1，2)。答案：C9。已知圆的渐开线（φ为参数)上有一点的坐标为(3，0),则渐开线对应的基圆的面积为（）A。πB。3πB。4πD。9π解析：把已知点(3，0）代入参数方程得由②得φ=tanφ。代入①，得3=r（cosφ+·sinφ）3cosφ=r.再代入②，得3cosφsinφ-tanφ·cosφ=0,即3cosφsinφ—sinφ=0，即sinφ=0。代入①，得r=3。所以基圆的面积为9π。答案：D10.半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是（)A。πB。2πC。12πD。14π解析:根据条件可知圆的摆线的参数方程为(φ为参数）,把y=0代入可得cosφ=1，所以φ=2kπ（k∈Z).而x=3φ—3sinφ=6kπ。根据选项可知选C.答案：C二、填空题（每小题4分，共20分）11。圆锥曲线（θ为参数）的准线方程是___________。解析：根据条件和三角函数的性质，可知对应的普通方程为=1，表示的曲线是焦点在y轴的双曲线，且对应的a=3，b=2,c=,所以准线方程是y=±。答案：y=±12。（2005上海试题）将参数方程x=1+2cosθ，y=2sinθ(θ为参数)化为普通方程，所得方程是___________.解析：由平方相加得(x—1）2+y2=4。答案：（x—1）2+y2=413。(经典回放）若实数x、y满足x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值为___________。解析：方程可化为(x—1)2+(y+2)2=5.设（θ为参数)。∴x-2y=1+cosθ+4-2sinθ=5—5sin（θ—φ）,其中cosφ=,sinφ=。当sin(θ-φ)=—1时，(x-2y）max=10.答案：1014。直线l经过点M0(1，5),倾斜角是，且与直线x—y—2=0交于点M，则|M0M|的长为___________。解析：直线l的参数方程是（t为参数）,代入方程x-y-2=0中,解得t=—(10+6）,根据t的几何意义可知｜M0M｜=|t｜=10+6.答案：10+615。在圆的摆线上有点（π，0），那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上，参数φ=对应点的坐标为___________。解析：首先根据摆线的参数方程(φ为参数),把点（π，0）代入可得cosφ=1，则sinφ=0,φ=2kπ(k∈Z),所以r=（k∈Z).又r＞0,所以k∈N*,当k=1时r最大为.再把φ=代入即可。答案：（)三、解答题（共50分)16.（12分）已知圆x2+y2=r2及圆内一点A（a,b）(a、b不同时为零），求被A平分的弦所在的直线方程.解析：本题主要考查直线被圆截得的弦长中点问题，可以利用直线参数方程中参数t的性质。首先设出直线的参数方程，代入圆的方程，可以得到关于参数t的二次方程，根据参数的性质可知方程两根的和为0。解:设所求直线的参数方程为代入圆的方程x2+y2=r2，整理得t2+2(acosθ+bsinθ）t+a2+b2—r2=0.设t1、t2为方程两根，∵A是中点，∴t1+t2=0,即acosθ+bsinθ=0。∴tanθ=—,即k=-。∴所求直线方程是y—b=-(x-a），即ax+by=a2+b2。17.（12分）A为椭圆上任意一点,B为圆(x—1）2+y2=1上任意一点，求｜AB|的最大值和最小值。解析：化普通方程为参数方程,再求出圆心坐标，利用两点间距离公式转化为三角函数求值域问题来解决。解:化普通方程为参数方程（θ为参数），圆心坐标为C(1，0），再根据平面内两点之间的距离公式可得｜AC|===，所以,当cosθ=时，|AC|取最小值为；当cosθ=—1时,｜AC｜取最大值为6。所以,当cosθ=516时，|AB｜取最小值为+1;当cosθ=-1时,｜AB｜取最大值为6+1=7。18。(12分）设抛物线y2=4x有内接三角形OAB，其垂心恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周长。解析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心,则抛物线的对称轴即x轴与AB垂直,且A、B关于x轴对称，所以△OAB为等腰三角形。解：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，F为△OAB的垂心，所以x轴⊥AB,A、B关于x轴对称。设A（4t2,4t）(t＞0),则B(4t2,-4t），所以kAF=,kOB=—=—.因为AF⊥OB,所以kAF·kOB=·（—)=-1.所以t2=.由t＞0，得t=所以A（5,2).所以|AB|=4,｜OA｜=｜OB｜=3,这个三角形的周长为10。19.(14分)已知点M（2,1）和双曲线x2-=1,求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在的直线l的方程。解析:这是直线和圆锥曲线的综合应用题,首先可以设出直线的参数方程x=2+tcosα，y=1+tsinα(t为参数)，代入双曲线的方程得到关于t的二次方程,设方程的两根分别为t1、t2，若M为弦AB中点，则有t1+t2=0，可得α的方程，从而得到直线的斜率即可得直线的方程.解：设直线l的参数方程是(t为参