专题02 规律探索-2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第第页专题02规律探索类型一：探索式子的变化规律类型二：探索图形的变化规律类型三：探索数表中的规律类型一：探索式子的变化规律1．探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣3x2、5x3、﹣7x4、9x5、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（）A．﹣15x9 B．19x9 C．17x9 D．﹣17x9【分析】根据已知的式子可以得到系数的绝对值为（2n+1），奇数个为正，偶数个为负，x的指数是式子的序号．【解答】解：根据其中的规律得出的第9个单项式是17x9故选：C．2．探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（）A．﹣64x8 B．64x8 C．128x8 D．﹣128x8【分析】根据符号的规律：n为奇数时，单项式为正号，n为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n﹣1．指数的规律：第n个对应的指数是n解答即可．【解答】解：根据题意得：第8个单项式是﹣27x8＝﹣128x8．故选：D．3．给出一列式子x2y，，，，⋯，观察上式的规律，这一列式子中的第8个式子是﹣x16y8．．【分析】根据已知的式子可以得到x的次数是序号的2倍，y的次数是式子的序号，系数是（﹣）n﹣1，据此即可求解．【解答】解：根据规律可得：第n个式子是（﹣）n﹣1x2nyn．∴第8个式子是﹣x16y8．故答案为：﹣x16y8．4．观察下列单项式：x，﹣4x2，9x3，﹣16x4，25x5，…，根据这个规律，第10个式子应为﹣100x10．【分析】系数按照1，﹣4，9，﹣16，25，…（﹣1）n+1n2进行变化，指数按照1，2，3，4，5进行变化，所以按这个规律即可写出第10个式子．【解答】解：故答案为：﹣100x10．5．观察下列各多项式：2a+b，4a2﹣b3，6a3+b5，8a4﹣b7，…，根据你发现的规律，第6个多项式为（）A．12a6+b11 B．12a6﹣b11 C．10a6﹣b13 D．10a6﹣b11【分析】观察每个多项式中各项的系数与次数，从而得出规律，进而解决此题．【解答】解：第六个多项式为（2×6）a6+（﹣1）6+1b2×6﹣1＝12a6﹣b11．故选：B．6．观察下列算式：12﹣02＝1+0＝1；22﹣12＝2+1＝3；32﹣22＝3+2＝5；42﹣32＝4+3＝7；52﹣42＝5+4＝9；…若字母n表示自然数，请你观察到的规律用含n式子表示出来：（n+1）2﹣n2＝2n+1．【分析】根据题意，分析可得：（0+1）2﹣02＝1+2×0＝1；（1+1）2﹣12＝2×1+1＝3；（1+2）2﹣22＝2×2+1＝5；…进而发现规律，用n表示可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得：（0+1）2﹣02＝1+2×0＝1；（1+1）2﹣12＝2×1+1＝3；（1+2）2﹣22＝2×2+1＝5；…若字母n表示自然数，则有：（n+1）2﹣n2＝2n+1；故答案为：（n+1）2﹣n2＝2n+1．7．代数推理15×15＝225＝2×100+2525×25＝625＝6×100+2535×35＝1225＝12×100+25……试探究两位数的（即个位数字是5十位数字是a的两位数）平方的一般规律，＝a（a+1）×100+25【分析】根据已知数推理即可得到答案．【解答】解：由题意可得，15×15＝225＝2×100+25＝1×（1+1）×100+25，25×25＝625＝6×100+25＝2×（2+1）×100+25，35×35＝1225＝12×100+25＝3×（3+1）×100+25，……，则两位数的（即个位数字是5十位数字是a的两位数）平方的一般规律，，故答案为：a（a+1）×100+25．8．先阅读下面文字，然后按要求解题．例：1+2+3+…+100＝？如果一个一个顺次相加显然太繁，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法的运算律，是可以大大简化计算，提高计算速度的．因为1+100＝2+99＝3+98＝…＝50+51＝101，所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果．解1+2+3+…+100＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）＝101×50＝5050．（1）补全例题解题过程；（2）计算a+（a+b）+（a+2b）+（a+3b）+…+（a+99b）．【分析】本题涉及加法的交换律与结合律两个考点，观察可得用第一项a加上最后一项（a+99b），在乘以个数的一半即可简化过程，进而求得结果．【解答】解：（1）50、5050；（2）原式＝50×（2a+99b）＝100a+4950b．9．定义一种新运算：例如：1☆3＝1×2+3＝53☆（﹣1）＝3×2﹣1＝55☆4＝5×2+4＝144☆（﹣2）＝4×2﹣2＝6（1）观察上面各式，用字母表示上面的规律：a☆b＝2a+b；（2）若a≠b，那么a☆b≠b☆a（填“＝”或“≠”）；（3）若（3a）☆（﹣2b）＝﹣6，则3a﹣b＝﹣3；并求（3a﹣2b）☆（3a+b）的值．【分析】（1）根据已知的等式归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）利用题中的新定义计算得到结果，判断即可；（3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出值．【解答】解：（1）根据题意得：a☆b＝2a+b；（2）根据题中的新定义得：a☆b＝2a+b，b☆a＝2b+a，则a☆b≠b☆a；（3）已知等式整理得：6a﹣2b＝﹣6，即3a﹣b＝﹣3；原式＝2（3a﹣2b）+3a+b＝6a﹣4b+3a+b＝9a﹣3b＝3（3a﹣b）＝﹣9．故答案为：（1）2a+b；（2）≠；（3）﹣310．阅读下面的文字，完成后面问题．我们知道：，，，（1）那么＝，＝，用含有n的式子表示你发现的规律：；（2）并依此计算：．【分析】（1）根据式子的规律直接写出答案；（2）每个算式变成相减的形式后，结果的分子是2，所以用所有的式子去乘，便能找到规律进行计算．【解答】解：（1），，，故答案为：，，．（2）＝（1﹣）＝（1﹣）＝＝．11．观察下列各式：152＝225，252＝625，352＝1225，…（1）个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？（2）如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为n（1≤n≤9且n为整数），请你借助代数式解释（1）中的规律．（3）如果把三位数595看成十位数字为“59”个位数字为“5”的“两位数”，请利用发现的规律计算5952，要求写清计算过程及结果．【分析】（1）通过实例计算结果归纳出个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数的规律；（2）先根据题意列出算式，再进行计算、推理；（3）运用前面所发现的计算规律进行求解．【解答】解：（1）∵152＝225，252＝625，352＝1225，…，可得个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数是25；（2）如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为n（1≤n≤9且n为整数），则（10n+5）2＝100n2+100n+25＝100n（n+1）+25，即（10n+5）2＝100n（n+1）+25；（3）由（2）题结果可得，5952＝（10×59+5）2＝100×59×（59+1）+25＝354025．类型二：探索图形的变化规律12．用小棒按下面的规律拼摆八边形．萌萌、亮亮、乐乐、欢欢通过观察图形，找出了拼摆成的八边形的数量n和需要小棒的数量a之间的关系．下面说法正确的是（）A．萌萌：a＝16+16n（n＞3） B．亮亮：a＝7n+1 C．乐乐：a＝8n﹣1 D．欢欢：a＝7n+n【分析】根据给定的拼摆规律，可知第1个八边形需要八个小棒，后面每增加一个八边形需要七根小棒，进一步可得拼摆成n个八边形需要小棒的数量．【解答】解：根据题意，拼摆成n个八边形需要小棒的数量a＝8+7（n﹣1）＝7n+1，故选：B．13．观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“”的个数是3n+1（用含n的代数式表示）【分析】根据题意可知：第1个图有4个图案，第2个共有7个图案，第3个共有10个图案，第4个共有13‘个图案，由此可得出规律．【解答】解：由题意可知：每1个都比前一个多出了3个“”，∴第n个图案中共有“”为：4+3（n﹣1）＝3n+1故答案为：3n+114．观察如图并填表（单位：cm）：梯形个数1234…n图形周长5a8a11a14a…（3n+2）a【分析】观察图形得到规律：每增加一个等腰梯形，其边长增加3a，可以解答．【解答】解：观察图形发现，每增加一个等腰梯形，其边长增加3a，则：梯形个数123456…n图形周长5a8a11a14a17a20a…（3n+2）a故答案为：17a，20a，...，（3n+2）a．15．古希腊数学家把1，3，6，10，15，21…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第20个图形表示的三角形数是210．【分析】由所给的图形可得：第1个图形表示的三角形数为1；第2个图形表示的三角形数为1+2＝3；第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6；…，据此即可得出第n个图形的三角形数，从而可求解．【解答】解：第1个图形表示的三角形数为1，第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，…，第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+……+（n﹣1）+n＝，∴，解得：n＝20．故答案为：20．16．下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…按此规律排列下去．第⑩个图形中的颗数为175．【分析】根据题意将每个图形都看作两部分，一部分是上面的构成规则的矩形的，另一部分是构成下面的近似金字塔的形状，然后根据递增关系得到答案．【解答】解：∵4＝1×2+2，11＝2×3+2+321＝3×4+2+3+4第4个图形为：4×5+2+3+4+5，∴第⑩个图形中的颗数为：10×11+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝175．故答案为：175．17．用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第12个图案中共有小三角形的个数是35．【分析】观察与比较每个图案相同点与不同点，得出后一个图案总是在与之相邻的前一个图案基础上有规律地增加小三角形数，即在前一个图案的基础上增加比图案序号数多3个的小三角形数，从而解决该题．【解答】解：当n＝1时，第1个图案的小三角形的个数是＝2（个）．当n＝2时，第2个图案的小三角形的个数是＝3+2＝5（个）．当n＝3时，第3个图案的小三角形的个数是＝3×2+2＝8（个）．当n＝4时，第4个图案的小三角形的个数是＝3×3+2＝11（个）．以此类推，第n个图案的小三角形的个数是＝3（n﹣1）+2＝3n﹣1；∴第12个图案中共有小三角形的个数是3×12﹣1＝35（个），故答案为：35．18．如图是一组有规律的图案，它是由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有（2+2n）个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多2个涂有阴影的小正方形，然后写出第n个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可．【解答】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为4＝2×2，第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为6＝2×3，第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为8＝2×4，…，第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为2（n+1）＝2+2n．故答案为：（2+2n）．19．下列图形由正六边形、正方形和等边三角形组成，自左向右，第1个图中有6个等边三角形；第2个图中有10个等边三角形；第3个图中有14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中等边三角形的个数为（4n+2）个．【分析】根据题中等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论．【解答】解：∵第1个图由6＝4+2个等边三角形组成，∵第二个图由10＝4×2+2等边三角形组成，∵第三个图由14＝3×4+2个等边三角形组成，∴第n个等边三角形的个数之和4n+2．故答案为：（4n+2）．20．如图所示，把同样大小的黑色棋子按照规律摆放在正方形的边上，则第n个图形需要黑色棋子的个数是3+5n．【分析】仔细观察图形得到变化规律为每增加一个正方形黑色棋子增加5个，据此解答即可．【解答】解：第一个图形有3+5×1＝8个棋子，第二个图形有3+5×2＝13个棋子，第三个图形有3+5×3＝18个棋子，…第n个图形有3+5n个棋子，故答案为：5n+3．21．如图，用5个实心圆圈，5个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串；相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列．圆环串中圆环的个数12456实心圆圈和空心圆圈的总个数1019374655（1）把表格补充完整：（2）设圆环串由x个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数（9x+1）个（用含x的代数式表示）；（3）如果圆环串由这样的圆环18个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？【分析】（1）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可；（2）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可；（3）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个，由（2）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数．【解答】解：（1）表格补充完整如下：圆环串中圆环的个数12456实心圆圈和空心圆圈的总个数1019374655（2）∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，∴当圆环串由x个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为（9x+1）个，故答案为：（9x+1）；（3）当x＝18时，实心圆圈和空心圆圈的总数有9×18+1＝163个，∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个，∴空心圆圈有个．22．综合与实践【观察思考】某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．【规律总结】（1）从第一块地砖开始往后，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块；（2）若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，则正方形地砖的数量为（5a+1）块，三角形地砖的数量为（4a+2）块（用含a的代数式表示）；【问题解决】（3）为了增加道路的趣味性，计划将所有的正方形地砖换成创意地砖，已知每块正力形地砖的边长为80cm，若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，求创意地砖的面积为多少？若a＝25，且每平方米创意地砖的成本为26元，则需要多少钱（精确到个位）？【分析】（1）观察图形可以得出正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块；（2）根据图形找出规律即可；（3）先求每块正方形地砖的面积，即可求出创意地砖的面积，从而求出费用．【解答】解：（1）从第一块地砖开始往后，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块，故答案为：5；4；（2）若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，则正方形地砖的数量为（5a+1）块；三角形地砖的数量为（4a+2）块；故答案为：（5a+1）；（4a+2）；（3）由（2）可知，若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，则正方形地砖的数量为（5a+1）块，因为80cm＝0.8m，所以每块正方形地砖的面积为0.8×08＝0.64（m2），所以创意地砖的面积为0.64（5a+1）＝（3.2a+0.64）m2，当a＝25时，创意地砖的面积为3.2×25+0.64＝80.64（m2），所以需要80.64×26＝2096.64≈2097（元）．答：需要2097元．类型三：探索数表中的规律23．根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（）A．100 B．121 C．144 D．169【分析】每个图形中，左边三角形上的数字即为图形的序数n，右边三角形上的数字为p＝n2，下面三角形上的数字q＝（n+1）2﹣1，先把q＝143代入求出n的值，再进一步求出p的值．【解答】解：通过观察可得规律：p＝n2，q＝（n+1）2﹣1，∵q＝143，∴（n+1）2﹣1＝143，解得：n＝11，∴p＝n2＝112＝121，故选：B．24．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025 B．2023 C．2021 D．2019【分析】先由题意得出位于第32行第13列的数是连续奇数的第1012个数，再将n＝1012代入奇数列通式：2n﹣1求解即可．【解答】解：由题意可知：行数为1的方阵内包含“1”，共1个数；行数为2的方阵内包含“1、3、5、7”，共22个数；行数为3的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32个数；∴行数为32的方阵内包含“1、3、5、7、”共322个数，即共1024个数，∴位于第32行第13列的数是连续奇数的第（1024﹣12）＝1012个数，∴位于第32行第13列的数是：2×1012﹣1＝2023．故选：B．25．如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第9个网格中右下角的数为119．【分析】从图中观察出各个格子中的数据的规律，找出第九个格子的各个数字即可．【解答】解：由图中的数字可知，左上角的数字是一些连续的正整数，从1开始，左下角的数字是对应的左上角的数据加2，右上角的数字是对应的左下角的数字加1，右下角的数字是左下角的数字与右上角的数字乘积再加左上角数字的和，故第9个正方形中的左上角的数字是9，左下角的数字是11，右上角的数字是10，右下角的数字是：10×11+9＝119；故答案为：119．26．下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x的值为（）A．135 B．153 C．170 D．189【分析】仔细观察表格可以发现：右上角的数等于左下角的数乘以2，左上角的数是从1开始的自然数，右下角的数等于右上角与左下角的两个数的积与左上角数的和．【解答】解：分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；2＝1+1，3＝2+1，4＝3+1；∴18＝2b，b＝a+1．∴a＝8，b＝9．又∵9＝2×4+1，20＝3×6+2，35＝4×8+3，∴x＝18b+a＝18×9+8＝170．故选：C．27．将9个数填入幻方的九个方格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角上的三个数的和相等，如表一．按此规律将满足条件的另外6个数填入表二，则表二中这9个数的和为9a+9（用含a的整式表示）．表一492357816表二a+5a+1a﹣5【分析】根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等作出图形，根据题意列出关于a与x的方程，可得x＝a+3，进一步求出这9个数的和即可．【解答】解：如图所示：x﹣110+xaa+5a+1xa+2a﹣5a+6a+a+1+a+2＝a+x+a+6，解得x＝a﹣3，3（3a+3）＝9a+9．故答案为：9a+9．28．在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（）A．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7 C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数【分析】根据题意，可以用含a的代数式表示出各个位置上的数字，然后即可判断A、B、C，再将四个数相加，即可判断D．【解答】解：由图可得，右上角的数为a，则右上角的数字为a﹣1，左下角的数字为a+6，右下角的数字为a+7，故选项A、B、