第03讲 有理数的乘法（3个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第第页第03讲有理数的乘法课程标准学习目标①有理数的乘法法则②有理数的乘法运算定律③多个有理数相乘1.掌握有理数的运算法则以及运算定律，能够在有理数的乘法中熟练的进行应用。2.掌握多个有理数的乘法运算法则，能够运用运算定律在多个有理数的乘法的计算中简便运算。知识点01有理数的乘法运算法则乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，在把绝对值相乘。若两个因数的符号时一样的，则积的符号为正，若两个因数的符号不一样，则积的符号为负。再把他们的绝对值相乘。任何数与0相乘都等于0。任何数与1相乘的积是原数，与﹣1相乘得到它的它的相反数。在有理数的乘法计算时，小数化成分数，带分数化成假分数。【即学即练1】1．计算：（1）3×（﹣5）＝﹣15；（2）（﹣5）×（﹣4）＝20；（3）﹣2×0＝0；（4）（﹣2）×＝﹣；（5）（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝﹣6；（6）（﹣3）×（+2）×（﹣5）＝30．【分析】（1）（2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；（3）根据任何数乘以0都等于0计算；（4）把带分数化为假分数，然后约分即可得解；（5）（6）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：（1）3×（﹣5），＝﹣3×5，＝﹣15；（2）（﹣5）×（﹣4），＝5×4，＝20；（3）﹣2×0＝0；（4）（﹣2）×，＝﹣×，＝﹣；（5）（﹣1）×（﹣2）×（﹣3），＝﹣1×2×3，＝﹣6；（6）（﹣3）×（+2）×（﹣5），＝3×2×5，＝30．故答案为：15；20；0；﹣；﹣6；30．知识点02有理数的乘法运算定律乘法运算定律：乘法交换律：交换因数的位置，积不变。即。乘法结合律：三个有理数相乘，先把前两个因数相乘或先把后两个因数相乘，积不变。乘法分配律：一个数乘以几个数的和或差，等于这个数别分乘以这几个数的积的和或差。即：【即学即练1】2．用简便方法计算：（1）（﹣2）×（﹣7）×（+5）×（﹣）；（2）（﹣0.25）×（﹣）×4×（﹣18）．【分析】根据有理数的乘法法则计算便可．【解答】解：（1）（﹣2）×（﹣7）×（+5）×（﹣）＝﹣＝﹣10；（2）（﹣0.25）×（﹣）×4×（﹣18）＝﹣＝﹣14．【即学即练2】3．简便计算（1）（﹣48）×0.125+48×+（﹣48）×（2）（）×（﹣36）【分析】（1）整理成含有因数（﹣48）的形式，然后逆运用乘法分配律进行计算即可得解；（2）利用乘法分配律进行计算即可得解．【解答】解：（1）原式＝（﹣48）×（0.125﹣+）＝（﹣48）×＝﹣60；（2）原式＝×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）＝﹣20+27﹣2＝5．知识点03多个有理数相乘多个有理数相乘的法则：多个有理数相乘时，先观察因数中有无0作为因数，若有0作为因数，则积为0；若没有0作为因数，则根据负因数的个数先确定积的符号，当负因数的个数为奇数个时，积的符号为﹣，当负因数的个数为偶数个时，积的符号为正。在把所有因数的绝对值相乘。【即学即练1】4．计算．（1）（﹣6）×（+8）；（2）（﹣0.36）×（﹣）；（3）（﹣2）×（﹣2）；（4）（﹣288）×0；（5）2×（﹣1）×（﹣）×（﹣）；（6）（﹣5）×（﹣8）×0×（﹣10）×（﹣15）；（7）（﹣3）×（﹣0.12）×（﹣2）×33；（8）（+）×|﹣|×2×（﹣5）；（9）（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）+（﹣5）×（﹣7）；（10）（﹣0.1）×（﹣1）×（﹣100）﹣0.01×（1000）．【分析】根据有理数的乘法法则进行运算，先判断出积的符号，再计算绝对值．【解答】解：（1）（﹣6）×（+8），＝﹣（6×8），＝﹣48；（2）（﹣0.36）×（﹣），＝0.36×，＝0.04×2．＝0.08；（3）（﹣2）×（﹣2），＝×，＝6；（4）（﹣288）×0＝0；（5）2×（﹣1）×（﹣）×（﹣），＝﹣×××，＝﹣3；（6）（﹣5）×（﹣8）×0×（﹣10）×（﹣15）＝0；（7）（﹣3）×（﹣0.12）×（﹣2）×33，＝﹣×0.12××，＝﹣30；（8）（+）×|﹣|×2×（﹣5），＝×××（﹣），＝﹣4；（9）（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）+（﹣5）×（﹣7），＝﹣3×4×5+5×7，＝﹣60+35，＝﹣25；（10）（﹣0.1）×（﹣1）×（﹣100）﹣0.01×（1000），＝﹣0.1×1×100﹣0.01×1000，＝﹣10﹣10，＝﹣20．题型01有理数的乘法计算及其简便运算【典例1】计算：（1）（﹣13）×（﹣6）（2）﹣×0.15（3）（+1）×（﹣1）（4）3×（﹣1）×（﹣）（5）﹣2×4×（﹣1）×（﹣3）（6）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7）【分析】（1）（2）（3）两个数相乘，同号得正，异号得负；（4）（5）（6）几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．【解答】解：（1）（﹣13）×（﹣6），＝13×6，＝78；（2）﹣×0.15，＝﹣0.05；（3）（+1）×（﹣1），＝﹣（×），＝﹣2；（4）3×（﹣1）×（﹣），＝3×1×，＝1；（5）﹣2×4×（﹣1）×（﹣3），＝﹣（2×4×1×3），＝﹣24；（6）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7），＝2×5×2×5×7，＝700．【变式1】计算：（1）﹣2×7×（﹣4）×（﹣2.5）．（2）×（﹣）×（﹣24）×（+1）．（3）（﹣4）×499.7××0×（﹣1）．【分析】（1）首先根据负因数的个数可判断积为负，再把绝对值相乘，然后约分计算即可；（2）首先根据负因数的个数可判断积为正，再把绝对值相乘，然后约分计算即可；（3）观察发现因数中有0，故结果为零．【解答】解：（1）原式＝﹣（2×7×4×2.5）＝﹣140；（2）原式＝××24×＝36；（3）原式＝0．【变式2】（1）；（2）；（3）；（4）（﹣8）×（﹣12）×（﹣0.125）×（﹣）×（﹣0.1）．【分析】（1）把带分数化为假分数，然后根据有理数的运算法则进行计算即可得解；（2）把125和8，6和﹣利用乘法交换、结合律进行计算即可得解；（3）把﹣19写成（﹣20+），然后利用乘法分配律进行计算即可得解；（4）把（﹣8）与（﹣0.125）交换结合到一起，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：（1）（﹣）××（﹣1）＝﹣××（﹣）＝；（2）125×3.67×6×8×（﹣）＝125×8×3.67×6×（﹣）＝1000×3.67×（﹣1）＝﹣3670；（3）36×（﹣19）＝36×（﹣20+）＝﹣20×36+×36＝﹣720+2＝﹣718；（4）（﹣8）×（﹣12）×（﹣0.125）×（﹣）×（﹣0.1）＝（﹣8）×（﹣0.125）×（﹣12）×（﹣）×（﹣0.1）＝1×4×（﹣0.1）＝﹣0.4．【变式3】计算．（1）（﹣10）×（﹣）×（﹣0.2）×9；（2）（﹣1.2）×0.75×（﹣1.25）；（3）﹣×3.59﹣×2.41+×（﹣3）；（4）（）×（﹣24）．【分析】（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；（2）把小数化为分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；（3）逆运用乘法分配律进行计算即可得解；（4）利用乘法分配律进行计算即可得解．【解答】解：（1）（﹣10）×（﹣）×（﹣0.2）×9＝﹣10××0.2×9＝﹣6；（2）（﹣1.2）×0.75×（﹣1.25）＝××＝；（3）﹣×3.59﹣×2.41+×（﹣3）＝﹣×（3.59+2.41+3）＝﹣×9＝﹣；（4）（﹣+﹣）×（﹣24）＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24）＝6﹣8+10＝16﹣8＝8．【变式4】选择适当方法，简便计算：（1）（2）（3）﹣15×24+15×13+15．（4）．（5）．【分析】（1）利用乘法分配律进行计算即可得解；（2）先把﹣19写成（﹣20+），再利用乘法分配律进行计算即可得解；（3）逆运用乘法分配律，提取15，然后进行计算即可得解；（4）把小数化为分数，然后利用乘法运算法则进行计算即可得解；（5）运用乘法分配律和逆运用乘法分配律进行计算即可得解．【解答】解：（1）（+﹣）×（﹣12）＝×（﹣12）+×（﹣12）﹣×（﹣12）＝﹣6﹣4+3＝﹣7；（2）﹣19×6＝（﹣20+）×6＝﹣20×6+×6＝﹣120+＝﹣；（3）﹣15×24+15×13+15＝15×（﹣24+13+1）＝15×（﹣10）＝﹣150；（4）×0.25×（﹣8）×（﹣36）＝××8×36＝30；（5）（﹣+）×36﹣6×1.45+3.95×6＝×36﹣×36+×36+6×（﹣1.45+3.95）＝28﹣30+14+6×2.5＝12+15＝27．题型02绝对值与有理数的乘法【典例1】已知|a|＝3．|b|＝4，且a＞b，则ab的值为（）A．±12 B．±1 C．1或﹣7 D．7或﹣1【分析】根据绝对值的性质求出a、b的值，然后确定出对应关系，再相乘即可．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝4，∴a＝±3，b＝±4，∵a＞b，∴当a＝3，b＝﹣4时，ab＝3×（﹣4）＝﹣12，当a＝﹣3，b＝﹣4时，ab＝（﹣3）×（﹣4）＝12，综上所述，ab的值为±12．故选：A．【变式1】若|x|＝3，|y|＝5，且xy＜0，求x﹣y的值．【分析】根据题意利用有理数的乘法法则判断x与y异号，再利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可求出x﹣y的值．【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝5，且xy＜0，∴x＝3，y＝﹣5或x＝﹣3，y＝5，则x﹣y＝8或﹣8．【变式2】已知|x|＝5，|y|＝9．（1）求x，y的值；（2）若xy＜0，求x+y的值．【分析】（1）根据绝对值的定义即可得到x，y的值；（2）根据xy＜0，知道x，y异号，然后分两种情况分别计算即可．【解答】解：（1）∵|x|＝5，|y|＝9，∴x＝±5，y＝±9；（2）∵xy＜0，∴x，y异号，当x＝5，y＝﹣9时，x+y＝5﹣9＝﹣4；当x＝﹣5，y＝9时，x+y＝﹣5+9＝4；综上所述，x+y的值为4或﹣4．【变式3】已知|a|＝5，|b|＝7．（1）若ab＜0，求|a﹣b|的值．（2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求a•b的值．【分析】（1）直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案；（2）直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝7，∴a＝±5，b＝±7，（1）若ab＜0，所以a，b异号，当a＝5，b＝﹣7时，|a﹣b|＝|5﹣（﹣7）|＝12，当a＝﹣5，b＝7时，|a﹣b|＝|﹣5﹣7|＝12，综上，|a﹣b|＝12；（2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），则a﹣b≤0，当a＝5，b＝7时，a•b＝5×7＝35，当a＝﹣5，b＝7时，a•b＝﹣5×7＝﹣35，综上，ab＝±35．【变式4】已知有理数a，b，c满足，求的值．【分析】根据可以看出，a，b，c中必有两正一负，从而可得出求的值．【解答】解：∵，∴a，b，c中必有两正一负，即abc之积为负，∴＝﹣1．【变式5】若a＞0，ab＜0，则化简|a﹣2b+5|+|﹣3a+2b﹣2|的结果为4a﹣4b+7．【分析】根据a＞0，ab＜0判断出b＜0，进一步判断出a﹣2b+5＞0，﹣3a+2b﹣2＜0，再根据绝对值的性质化简即可．【解答】解：∵a＞0，ab＜0，∴b＜0，∴a﹣2b+5＞0，﹣3a+2b﹣2＜0，∴|a﹣2b+5|+|﹣3a+2b﹣2|＝a﹣2b+5+3a﹣2b+2＝4a﹣4b+7，故答案为：4a﹣4b+7．题型03有理数乘法中的新定义运算【典例1】若定义新运算：a△b＝（﹣2）×a×3×b，请利用此定义计算：（1△2）△（﹣3）＝﹣216．【分析】根据运算规则先求得1△2的值，然后再将1△2的值代入计算即可．【解答】解：1△2＝（﹣2）×1×3×2＝﹣12，（1△2）△（﹣3）＝（﹣12）△（﹣3）＝（﹣2）×（﹣12）×3×（﹣3）＝﹣216．故答案为：﹣216．【变式1】若“！”是一种数学运算符号，并1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则的值为（）A．0.2！ B．2450 C． D．49！【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝＝50×49＝2450，故选：B．【变式2】若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．（1）求3*（﹣4）的值；（2）求（﹣2）*（6*3）的值．【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．【解答】解：（1）3*（﹣4），＝4×3×（﹣4），＝﹣48；（2）（﹣2）*（6*3），＝（﹣2）*（4×6×3），＝（﹣2）*（72），＝4×（﹣2）×（72），＝﹣576．1．下列各式中积为正数的是（）A．2×3×5×（﹣4） B．2×（﹣3）×（﹣4）×（﹣3） C．（﹣2）×0×（﹣4）×（﹣5） D．（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）【分析】根据有理数的乘法法则进行计算，再根据所得的结果的符号进行判断．【解答】解：A、2×3×5×（﹣4）＝﹣120＜0，故积为负；B、2×（﹣3）×（﹣4）×（﹣3）＝﹣72，故积为负；C、（﹣2）×0×（﹣4）×（﹣5）＝0，积为0；D、（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝120，故积为正；故选：D．2．若（﹣3）×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】将选项代入，得出运算结果即可．【解答】解：（﹣3）×2＝﹣6，故A选项错误；（﹣3）×1＝﹣3，故B选项错误；（﹣3）×0＝0，故C选项错误；（﹣3）×（﹣1）＝3，故D选项正确；故选：D．3．下列说法中错误的是（）A．一个数同0相乘，仍得0 B．一个数同1相乘，仍是原数 C．一个数同﹣1相乘得原数的相反数 D．互为相反数的积是1【分析】根据有理数乘法法则和相反数的定义逐一判断．【解答】解：A、正确；B、正确；C、正确；D、如0的相反数是0，0×0＝0．故选：D．4．如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0，则原点O的位置在（）A．点A的右边 B．点B的左边 C．A、B两点之间，且靠近点A D．A、B两点之间，且靠近点B【分析】利用有理数的乘法，加法法则判断即可．【解答】解：∵如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0，∴a与b异号且b绝对值大，即a＞0，b＜0，|b|＞|a|，则原点O的位置在A、B两点之间，且靠近点A，故选：C．5．数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足ab＞0，a+b＜0，下列结论正确的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0【分析】根据有理数的乘法法则、有理数的加法法则进行解题即可．【解答】解：由题可知，∵ab＞0，a+b＜0，∴a与b同号，且都为负数，故只有C符合．故选：B．6．已知m﹣n＝0，且m﹣a＝n+b，则a，b一定满足的关系式是（）A．ab＝0 B．ab＝1 C．a﹣b＝0 D．a+b＝0【分析】根据有理数的加减法法则和有理数的乘法法则进行解题即可．【解答】解：∵m﹣n＝0，且m﹣a＝n+b，∴m﹣n＝a+b＝0，故选：D．7．a，b，c为非零有理数，它们的积一定为正数的是（）A．a，b，c同号 B．a＞0，b与c同号 C．b＜0，a与c同号 D．a＞b＞0＞c【分析】根据题意，利用有理数的乘法法则判断即可．【解答】解：a，b，c为非零有理数，它们的积一定为正数的是a＞0，b与c同号，故选：B．8．下列说法正确的是（）A．如果a＞b，则有|a|＞|b| B．若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数 C．一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数 D．若m+n＝0，则m、n互为相反数【分析】根据绝对值的性质、有理数的乘法、相反数的定义即可求出答案．【解答】解：A、当a＝1，b＝﹣5时，|a|＜|b，不符合题意，故A不符合题意．B、若有一个数为零时，此时乘积为0，故B不符合题意．C、一个有理数的绝对值是它本身，则这个是非负数，故C不符合题意．D、若m+n＝0，则m、n互为相反数，故D符合题意．故选：D．9．已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论判断正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＞0，c＜0 C．a＞0，b＜0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＜0【分析】根据有理数的乘法，同号得正，异号得负，即可判定．【解答】解：∵a＞0，ac＜0，∴c＜0，∵abc＞0，∴b＜0；故选：D．10．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（）A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为101b+10（a+1）﹣1 D．a的值小于3【分析】设5a的十位数字是m，个位数字是n，列出符合条件的方程组即可求解；【解答】解：如图，设5a的十位数字是m，个位数字是n，∴，∴，a＝15÷5＝3，∴乘积结果可以表示为100b+10（a+1）+b﹣1＝101b+10（a+1）﹣1．∴A，B，C正确，D错误．故选：D．11．35×25×4＝35×（25×4），应用了结合律．【分析】观察式子发现是把25×4先计算，根据乘法的运算律进行判断即可．【解答】解：35×25×4＝35×（25×4），应用了乘法的结合律，故答案为：结合．12．已知|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a•b的值为35或﹣35．【分析】先根据绝对值确定a，b的值，再根据有理数的乘法，即可解答．【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝7，∴a＝±5，b＝±7，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，∴a＝5，b＝7或a＝﹣5，b＝7，∴a•b＝35或﹣35，故答案为：35或﹣35．13．若a、b、c是非零有理数，a+b+c＝0，则++﹣的值为﹣3或3．【分析】根据a、b、c是非零有理数，a+b+c＝0，利用分类讨论的方法可以求得所求式子的值．【解答】解：∵a、b、c是非零有理数，a+b+c＝0，∴当a、b、c中一正两负时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则a＝﹣（b+c），故++﹣＝1+（﹣1）+（﹣1）﹣2＝﹣3；当a、b、c中两正一负时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0，则c＝﹣（a+b），故++﹣＝1+1+（﹣1）+2＝3；故答案为：﹣3或3．14．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论中：①abc＞0；②a+c＜b；③c﹣b＞0；④；⑤；⑥b＜c＜﹣a＜0＜a＜﹣c＜﹣b．正确的是①③⑤⑥．【分析】先根据数轴上a，b，c的位置，可得b＜c＜0＜a，|a|＜|c|＜|b|，利用乘法的符号法则、有理数的减法法则、绝对值的化简等知识点逐个判断得结论．【解答】解：由数轴可知，b＜c＜0＜a，|a|＜|c|＜|b|，∴abc＞0故①正确；∵b＜c＜0＜a，|a|＜|c|＜|b|，∴a+c＜0，∴b＜c＜a+c＜0，故②错误；∵b＜c，∴0＜c﹣b，故③正确；由已知，|a|＜|b|，∴＝＞1，∵b＜c＜0＜a，故④错误；∵b＜c＜0＜a，∴，故⑤正确；∵b＜c＜0＜a，|a|＜|c|＜|b|，∴0＜a＜﹣c＜﹣b，b＜c＜﹣a＜0，∴b＜c＜﹣a＜0＜a＜﹣c＜﹣b，故⑥正确；故答案为：①③⑤⑥．15．在学习有理数乘法时，李老师和同学们做了这样的游戏，将2023这个数说给第一位同学，第一位同学将它减去它二分之一的结果告诉第二位同学，第二位同学再将听到的结果减去它的三分之一的结果告诉第三位同学．第三位同学再将听到的结果减去它的四分之一的结果告诉第四位同学，…照这样的方法直到全班48人全部传完，则最后一位同学告诉李老师的正确结果是．【分析】根据题意列出算式进行计算即可．【解答】解：根据题意可得：＝＝＝．故答案为：．16．计算：（1）（﹣4）×（﹣18）×（﹣25）；（2）100××10×0.01；（3）（﹣40）×（﹣1）×（﹣3）×（﹣0.5）；（4）．【分析】（1）利用乘法交换律，结合律计算即可；（2）根据有理数的乘法法则计算即可；（3）根据有理数的乘法法则计算即可；（4）利用乘法交换律，结合律计算即可．【解答】解：（1）（﹣4）×（﹣18）×（﹣25）＝﹣（4×25）×18＝﹣100×18＝﹣1800；（2）100