2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第24章解直角三角形24.4解直角三角形及其简单的应用（第3课时）

第24章解直角三角形24.4解直角三角形解与坡度、坡角有关的直角三角形（第3课时）教学目标1.理解坡度与坡角的概念，能准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.教学重难点重点：理解坡度与坡角的概念.难点：运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题.教学过程复习巩固1.锐角三角函数：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则两锐角关系：∠A+∠B＝90°.三边关系：a2+b2＝c2.边角关系：(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)；(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝；(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝.2.解直角三角形有以下基本类型：基本类型选择的关系式已知两边斜边和一直角边(c，a)b＝；由sinA＝，求∠A；∠B＝90°-∠A两直角边(a，b)c＝；由tanA＝，求∠A；∠B＝90°-∠A已知边和角斜边和一锐角(c，∠A)∠B＝90°-∠A；由sinA＝，求a＝c·sinA；由cosA＝，求b＝c·cosA，∠B＝90°-∠A；由tanA＝,求b＝；由sinA＝,求c＝导入新课我们已经掌握了直角三角的有关性质以及边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的重要依据，这节课就是利用直角三角形解与坡度、坡角有关的问题.教师引出课题：24.4解直角三角形解与坡度、坡角有关的直角三角形（第3课时）探究新知探究点一坡度、坡角的概念活动1（学生交流，教师点评）阅读教材第115页读一读【总结】在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i＝.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作∠α，即i＝＝tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.活动2（学生交流，教师点评）典例讲解(师生互动)例1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.（精确到0.1米）【探索思路】(引发学生思考)本题要求AB的长，由图示可知作梯形的两条高把梯形分成两个直角三角形和一个矩形，把线段AB分成三部分，只要求出这三部分的长，即可得到路基下底的宽.【解】作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F.由题意可知DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）.在Rt△ADE中，∵∴在Rt△BCF中，同理可得∴AB＝AE+EF+BF≈6.72+12.51+7.90≈27.1（米）.答：路基下底的宽约为27.1米.【即学即练】1.利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6m的一块(图中阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5m

，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100m的渠道要挖去的土方数.【解】如图分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，∵，∴AE＝1.5×0.6＝0.9(m).在等腰梯形ABCD中，可得FD＝AE＝0.9(m).∴AD＝2×0.9+0.5＝2.3(m).S梯形ABCD总土方数＝截面积×渠长＝0.8×100＝80(m

3).答：横断面ABCD面积为0.8m2，修一条长为100m的渠道要挖出的土方数为80m3.【题后总结】把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.活动3（学生交流，教师点评）【总结】利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案.探究点二方向角活动4（学生交流，教师点评）【思考】下图中，你能说出射线OA，射线OB，射线OC表示的方向吗？射线OA，表示南偏西25°；射线OB表示北偏西70°；射线OC表示南偏东60°.【总结】指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.如图：点A在点O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上.（西南方向）活动5（学生交流，教师点评）典例讲解（师生互动）例2海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？【探索思路】(引发学生思考)要判断渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险，只要求出点A到直线BF的距离与8海里相比较，因此想到过点A作BF的垂线，构造直角三角形，来解直角三角形.【解】过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于点F，∠AFD＝90°.由题意图示可知∠DAF＝30°，设DF＝x，AD＝2x，则在Rt△ADF中，根据勾股定理，得x.在Rt△ABF中，tan∠ABF＝，tan30°＝＝.解得x＝6，∴AF＝x＝≈10.4.∵10.4>8，∴没有触礁危险.【题后总结】点A到直线BF的距离，如果大于8海里，则没有危险，如果小于8海里，则有危险.【即学即练】2.如图所示，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20nmile.渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近.同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20min后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为()A.103nmile/hB.30nmile/hC.203nmile/hD.303nmile/答案:D【解析】在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝80°-20°＝60°，∴∠C＝180°-∠BAC-∠ABC＝180°-30°-60°＝90°，∴cos∠BAC＝，即cos30°＝，∴AC＝103(nmile)，∴救援船航行的速度v＝＝303(nmile/h).课堂练习1.已知沿一山坡水平方向前进40m，就升高20m，那么这个山坡的坡度是()A.1∶2 B.2∶1 C.1∶5 D.5∶2.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶3，堤高BC＝10m，则坡面AB的长度是A.15m B.203C.20m D.1033.如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC＝9.8m，路基高BE＝5.8m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值.4.（2019·湖北随州中考）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里.（1）求收到求救讯息时事故渔船偏P与救助船B之间的距离；（2）若救助船A，B分别以40海里／小时、30海里／小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达.参考答案1.A【解析】设这个山坡的坡角为α，则tanα＝，所以这个山坡的坡度是1∶2.2.C【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝，∵BC＝10m，tanA＝1∶3∴，AC＝103，∴AB＝＝＝20(m).∴AB的长度为20m.3.【解】过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.∵BE＝5.8m，i＝1∶1.6，i′＝1∶2.5，∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m).∴AD＝AE+FE+DF＝9.28+9.8+14.5≈33.6(m).由tanα＝i＝1∶1.6，tanβ＝i′＝1∶2.5，得α≈32°，β≈22°.即铁路路基下底宽为33.6m，斜坡的坡角分别为32°和22°.4.【解】（1）过点P作PH⊥AB，由题意得∠A＝30°，∠B＝45°，在Rt△PHA中，∵AP＝120，∠A＝30°，∴PH＝PA＝60.在Rt△PHB中，∵∠B＝45°，sinB＝，∴PB＝PH＝60（海里）.答：收到求救讯息时事故渔船偏P与救助船B之间相距60海里.（2）依题意可得A船所需时间为＝＝3（小时），B船所需时间为＝＝2（小时）.因为＞，所以B船先到达.课堂小结(学生总结，老师点评)坡度、坡角的概念：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i，即i＝.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作∠，即i＝＝tan.显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.布置作业教材第116页练习题，习题24.4第4题