2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第24章解直角三角形24.3.1锐角三角函数（第1课时）

第24章解直角三角形24.3锐角三角函数1锐角三角函数（第1课时）教学目标1.理解锐角三角函数的定义.2.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.教学重难点重点：理解锐角三角函数的定义.难点：掌握三角函数之间的关系并会计算.教学过程复习巩固1.直角三角形两锐角、三边之间的关系：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.两锐角关系：∠A+∠B＝90°.三边关系：AC2+BC2＝AB2.2.相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等.导入新课活动1（学生交流，教师点评）【探究】任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系.能解释一下吗？教师引出课题：24.3锐角三角函数1锐角三角函数（第1课时）探究新知探究点一锐角的正弦、余弦、正切活动2（学生交流，教师点评）接着探究上面的问题，可得在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，因为∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，.这就是说，在Rt△ABC中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.【总结】1.∠A的正弦的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝.活动3（学生交流，教师点评）【思考】一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角∠A取其他确定的值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定的值吗？【探索】观察下图易知Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3则＝，＝＝.同样可以发现，对于锐角∠A的每一个确定的值，其邻边与斜边的比值、对边与邻边的比值都是一个定值.【总结】2.∠A的余弦的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边为a，∠A的邻边为b，斜边为c.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即.3.∠A的正切的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边为a，∠A的邻边为b，斜边为c.∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝＝.探究点二锐角三角函数的概念【归纳】在Rt△ABC中，∠C＝90°，对于锐角∠A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是锐角∠A的函数.同样地，cosA，tanA也是锐角∠A的函数.sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，以上分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的锐角三角函数.锐角三角函数的取值范围：0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0.活动4合作探究解决问题（小组交流，教师点评）典例讲解(师生互动)例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，AB＝13，求∠A的三个三角函数值.【解】sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝.例2如图，∠C＝90°，CD⊥AB.(1)sinB可以是哪两条线段之比?(2)若AC＝5，CD＝3，求sinB的值.【解】（1）.（2）∵∠B＝∠ACD，∴sinB＝sin∠ACD.在Rt△ACD中，AD＝＝＝4，sin∠ACD＝，∴sinB.【题后总结】(学生总结，老师点评)求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值.【即学即练】（小组交流，教师点评）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，求cosA、sinB、tanB的值.【解】∵sinA＝＝，∴设AB＝13x，BC＝12x.由勾股定理，得AC＝＝＝5x.∴cosA＝＝，sinB＝＝，tanB＝＝.【题后总结】(学生总结，老师点评)根据sinA＝能得到BC与AB的关系，进而通过设未知数，根据勾股定理求出AC.课堂练习1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么sinB的值是()A. B.C. D.3△°3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求sinA、cosB的值.4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值.参考答案1.A2.【解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴.由勾股定理，得，∴.3.【解】∵，AC＝8，.，.4.【解】∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AMN∽△ABC，∴＝＝.设AC＝3x，AB＝4x，由勾股定理，得BC＝＝x.在Rt△ABC中，cosB＝＝＝.课堂小结(学生总结，老师点评)锐角∠A的正弦，余弦，正切sinA＝＝；cosA＝＝；tanA＝＝.锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的锐角三角函数.【注意】sinA、cosA、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.布置作业教材第107页练习题第1，2，3题.板书设计课题24.3锐角三角函数1锐角