2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第23章图形的相似23.1.2平行线分线段成比例

第23章图形的相似23.1成比例线段2平行线分线段成比例教学目标1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活运用.2.掌握平行于三角形一边的直线的性质.教学重难点重点：掌握“平行线分线段成比例”的基本事实.难点：平行线分线段成比例定理的推导证明.教学过程复习巩固成比例线段的概念：对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段.导入新课【问题1】活动1（学生交流，教师点评）如图所示，任意画两条直线l1、l2，再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4、l5.分别度量l3、l4、l5在l1上截得的两条线段AB、BC和在l2上截得的两条线段DE、EF的长度.（1）与相等吗？（2）任意平移l5，再度量AB、BC、DE、EF的长度，与相等吗？（3）图中与，

与，与，是否也相等呢？【答案】（1）相等；（2）相等；（3）相等.可以发现，当l3∥l4∥l5时，有＝，＝，＝，等.教师总结：引出课题：23.1成比例线段2平行线分线段成比例探究新知探究点一平行线分线段成比例的基本事实活动2（学生交流，教师点评）阅读教材第51页～第52页的内容，完成问题，得到结论：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（简称“平行线分线段成比例”）符号语言表示：∵l3∥l4∥l5，∴＝，＝，＝，＝.【注意】对应线段写在对应的位置.活动3合作探究，解决问题（师生互学）典例讲解例1如图，直线a、b被三条互相平行的直线l1、l2、l3所截，AB＝3，BC＝2，求DE∶DF的值.【探索思路】（引发学生思考）已知l1∥l2∥l3及AB、BC的长，利用平行线分线段成比例求解.∵l1∥l2∥l3，∴AB∶BC＝DE∶EF＝3∶2，∴DE∶DF＝3∶5.【题后总结】（学生总结，老师点评）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.探究点二平行于三角形一边的直线的性质【问题2】活动4（学生交流，教师点评）阅读教材第52页～第53页的“思考”内容，完成问题，归纳总结，得出结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.符号语言表示：如图，在△ABC中，DE∥BC，则，.活动5典例讲解（师生互动）例2如图，在△ABC中，EF∥BC.那么AF的长是多少？（1）（2）【探索思路】要求线段的长，由EF∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例列比例式求解.（1）∵EF∥BC，∴＝.∵AE＝BE＝7，FC＝4，∴＝，∴AF＝4.（2）∵EF∥BC，∴＝.∵AB＝10，AE＝6，AF＝5，∴＝，∴AC＝，∴FC＝AC-AF＝-5＝.【即学即练】（学生独学）1.如图，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，如果EG＝4，求AC的长.【探索思路】求AC的长，需要转化为求AE、GC的长.∵DE∥FG∥BC，∴AE∶EG∶GC＝AD∶DF∶FB＝2∶3∶4.∵EG＝4，∴AE＝eq\f(8,3)，GC＝eq\f(16,3)，∴AC＝AE+EG+GC＝12.活动6拓展延伸（师生互动）典例讲解例3如图，点D是等边△ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC、AB于点E、F，连结BE、CF，分别交DF、DE于点N、M，连结MN.试判断△DMN的形状，并说明理由.【探索思路】观察法：观察图形，猜测△DMN为等边三角形→已知线段平行→得＝→由平行线分线段成比例推论得MN∥BC→得结论.∴∠EDC＝∠ABC＝60°，∠BDF＝∠ACB＝60°，∴eq\f(CM,MF)＝eq\f(CD,BD)，eq\f(BN,NE)＝eq\f(BD,CD)，∴eq\f(CM,MF)＝eq\f(NE,BN)，∴MN∥BC，∴∠MND＝∠BDN＝60°，∠NMD＝∠MDC＝60°，∴△DMN为等边三角形.【题后总结】（学生总结，老师点评）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例；有两个角为60°的三角形是等边三角形.活动7典例讲解（师生互动）例4如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.求证：AD是AB和AF的比例中项.【探索思路】分别在△ABC及△ADC中利用平行线分线段成比例定理的推论.【证明】在△ABC中，∵.在△ADC中，∵∴，∴，∴AD2＝AB·AF，即AD是AB和AF的比例中项.【即学即练】（学生独学）2.如图，E为ABCD的边CD延长线上一点，连结BE，交AC与点O，交AD与点F，求证：.【证明】∵AF∥BC，∴∵AB∥CE，∴＝，课堂练习1.如图所示，在△ABC中，EF∥BC，AE＝2cm，BE＝6cm，BC＝4cm，EF长为（）A.1cmB.43cmC.3cmD.2.如图所示，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连结AC、BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于点N，量得MN＝38m，则AB的长为.3.如图所示，在△ABC中，点M是BC上任一点，MD∥AC，ME∥AB，若，求的值.4.如图所示，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC、BE的长.5.如图所示，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝4，EC＝2，BC＝8.求BF和CF的长.参考答案1.A2.152m3.∵MD∥AC，∴＝＝，∴＝.又∵ME∥AB，∴＝.4.∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，即＝＝，∴BC＝6，BF＝eq\f(1,2)BE，∴eq\f(1,2)BE+BE＝7.5，解得BE＝5.5.∵DE//BC，∴∵DF//AC，∴.∵BC＝8，∴∴BF＝BC-CF＝8-.课堂小结（学生总结，老师点评）1.平行线分线段成比例基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.【基本图形】2.平行线分线段成比例的基本事实的推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.【基本图形】布置作业教材第55页练习题第1，2题.板书设计课题