2024-2025学年初中数学九年级上册（华师版）教案 第22章一元二次方程22.3实践与探索（第1课时）

第22章一元二次方程22.3实践与探索第1课时几何图形问题教学目标1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题..教学重难点重点：掌握用一元二次方程解应用题的一般步骤.难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.教学过程导入新课【问题1】活动1（学生交流，教师点评）例1用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？设矩形的一边为xcm，根据题意，可列方程为.【答案】x(20-x)＝75教师总结并引出课题：22.3实践与探索第1课时几何图形问题探究新知探究点一列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审：审题，明确已知量、未知量及题中的等量关系；（2）设：设未知数，有直接设和间接设两种设法，因题而异；（3）列：用含所设未知数的代数式表示等量关系中其他未知量，列出方程；（4）解：求出所列方程的解；（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；（6）答：写出答案.探究点二利用一元二次方程解决图形面积问题【问题2】活动2（学生交流，教师点评）例2如图，某小区在一个长为40m，宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144m2，求甬路的宽度.【探索思路】方法1：根据矩形的面积减去甬路的面积等于六块草地的面积；方法2：将原图中三条甬路分别向上和向右平移至如图所示的位置，若设甬路的宽为xm，则草坪总面积为(40-2x)(26-x)m2，所列方程为(40-2x)(26-x)＝144×6.【解】方法1：设甬路的宽为xm，根据题意，得40×26-（40x+2×26x-2x2）＝144×6，整理，得x2-46x+88＝0，解得x1＝44，x2＝2.因为甬路的宽必须小于m，即小于20m，所以x＝44不符合题意，舍去，所以x＝2.答：甬路的宽为2m.方法2：设甬路的宽为xm，将原图中三条甬路分别向上和向右平移至如图所示的位置.根据题意，得(40-2x)(26-x)＝144×6，整理，得x2-46x+88＝0，解得x1＝44，x2＝2.因为甬路的宽必须小于m，即小于20m，所以x＝44不符合题意，舍去，所以x＝2.答：甬路的宽为2m.【题后总结】我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横三条路移动一下，使列方程容易些.【问题3】 活动3（学生交流，教师点评）例3如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300m2时，求AB的长.【解】设AB的长为xm，则BC的长为(50-2x)m.根据题意，得x(50-2x)＝300.解得x1＝10，x2＝15.当x＝10时，AD＝BC＝50-2x＝30>25，不合题意，所以x＝10应该舍去；当x＝15时，AD＝BC＝50-2x＝20<25，所以x＝15满足条件.答：AB的长为15m.即学即练如图所示，在长32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向、一条横向，横向与纵向互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田总面积为570m2，问道路应多宽？【解】设道路宽为xm.由题意，得(32-2x)(20-x)＝570.整理，得x2-36x+35＝0，解得x1＝1，x2＝35.经检验，x＝35＞20，不合题意，故舍去.即道路宽为1m.课堂练习1.某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为()A.x(x-10)＝900B.x(x+10)＝900C.10(x+10)＝900D.2[x+(x+10)]＝9002.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为xm，则可列方程为()A.(x+1)(x+2)＝18B.x2-3x+16＝0C.(x-1)(x-2)＝18D.x2+3x+16＝03.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，则它的两条直角边长分别为.4.在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图.如果要使整个矩形挂图的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为.5.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？6.如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.参考答案1.B2.C3.2cm，7cm4.x2+40x-75＝05.【解】设矩形温室的宽为xm，则长为2xm.根据题意，得(x-2)(2x-4)＝288.解得x1＝-10(不合题意，舍去)，x2＝14.所以2x＝2×14＝28.答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2.6.【解】设道路的宽为x米，将道路分别向上，向右平移，如下图，则草坪部分宽为(20-x)米，长为（32-x）米.列方程，得（20-x)(32-x)＝540，整理，得x2-52x+100＝0，解得x1＝50（舍去），x2＝2.答：道路宽为2米.

课堂小结(学生总结，老师点评)列一元二次方程解应用题的一般步骤：1.审：审题，明确已知量、未知量及题中的等量关系；2.设：设未知数，有直接设和间接设两种设法，因题而异；3.列：用含所设未知数的代数式表示等量关系中其他未知量，列出方程；4.解：求出所列方程的解；5.验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；6.答：写出答案.布置作业教材第42页习题22.3第1，3，4题.板书设计课题