高三数学考前辅导（教师）

江苏省启东中学2012届高三考前辅导材料（数学科）

第一篇高考数学考前辅导及解题策略

数学应试

一、考前注意什么？

1.考前做“熟题”找感觉

挑选部分有代表性的习题演练一遍，体会如何运用基础知识解决问题，提炼具有普遍性

的解题方法，以不变应万变最重要。掌握数学思想方法可从两方面入手：一是归纳重要的数

学思想方法；二是归纳重要题型的解题方法。还要注意典型方法的适用范围和使用条件，防

止形式套用时导致错误。顺应时间安排：数学考试安排在下午，故而考生平时复习数学的时

间也尽量安排在下午时段。每天必须坚持做适量的练习，特别是重点和热点题型，保持思维

的灵活和流畅。

2.先易后难多拿分

改变解题习惯：不要从头到尾按顺序做题。无论是大题还是小题，都要先抢会做的题，

接着抢有门的题，然后才拼有困难的题，最后再抠不会的题。先抢占有利地势，可以保证在

有限的时间内多拿分。

3.新题难题解不出来先跳过

调整好考试心态，有的同学碰到不会做或比较新颖的题就很紧张，严重影响了考试情绪。

高考会出现新题，遇到难题或新题时，要学会静下来想一想，如果暂时还想不出来，跳过去

做另一道题，没准下道题目做出来后你已经比较冷静了，那就再回过头来解答。在近期复习

中，抓容易题和中档题，不宜去攻难题。因为这段时间做难题，容易导致学生心理急躁，自

信心丧失。通过每一次练习、测试的机会，培养自己的应试技巧，提高得分能力。

二、考时注意什么？

1.五分钟内做什么

①清查试卷完整状况，清晰地填好个人信息。

②用眼用手不用笔，看填空题要填的形式，如是易错做好记号，为后面防错作准备。对

大题作粗略分出A、B两类，为后面解题先易后难作准备。

③稳定情绪，一是遇到浅卷的心理准备，比审题，比步骤，比细心；二是遇到深卷的心

理准备，比审题，比情绪，比意志；碰到深卷坚信：江北考生难江南考生更难，启中

考生不会则他人更不会，更难下手。

2.120分钟内怎样做

①做到颗粒归仓，把会做的题都做对是你的胜利，把不会做的题抢几分是你的功劳

审题宁愿慢一点，确认条件无漏再做下去。

解题方法好一点，确认路子对了再做下去。

计算步骤规范一点，错误常常出在“算错了”计算的时候我们的草稿也要写好步骤，确

认了再往下走.

考虑问题全面一点，提防陷阱，注意疏漏，多从概念、公式、法则、图形中去考察，尤

其是考察是否有特例，考虑结论是否符合题意，分类要明，讨论要全。

②盯住目标，适度考虑时间分配，保证总分。

(1)高考试题设置的时候是14道填空题、6道大题。应该坚持由易到难的做题顺序。盯

住填空题前10题确保正确。盯住大题前3题，确保基础题不失分。关注填空题后4

题严防会而放弃，适度关注大题后三题，能抢多少是多少。

(2)填空题(用时35分钟左右)：解答题(用时在85分钟左右)：15—16题防止犯运算

和表述错误，平均用时10分钟左右。17-18题防止犯审题和建模错误，平均用时在

15分钟左右。19—20题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误，平均用时在17分

钟左右。加试题前二题不会难，是概念和简单运算，要细心又要快，用时在12分钟左

右；第三题也不太难，是计算与证明，但要讲方法，用时10分钟左右；第四题有难度,

用时在10分钟左右。

(3)要养成一个一次就作对一步到位的习惯。我做一次就是正确的结论，不要给自己回

过头来检查的习惯。高考的时候设置一个15分钟的倒数哨声，这就是提醒部分考生把

会做的题要写好。

同学们，高考迫近，紧张是免不了的，关键是自我调整，学会考试，以平和的心态参加考试,

以审慎的态度对待试题，以细心的态度对待运算，以灵动的方法对待新颖试题，只有好问、

好想、好做、善探究、善反思、善交流才能在最后阶段有提高、有突破，才能临场考出理想

的成绩。

考试是为了分数，会做的题不失分就是成功的考试。

祝同学们高考数学取得高分！

江苏省启东中学2012届高三数学备课组

一、填空题：

1.已知函数f(x)=ln(x+S?百),若实数a,b满足f(a)+f(b-l)=0,

则a+b等于.1

2.已知集合A={x|变口<0}，且2GA,3史A,

x-a

[1-L)U(231

则实数a的取值范围是03'2

—+ax(x<1)

3.己知函数/(x)=〈，若存在和々€尺，玉力/，使/(芯)=/(X2)成立,

ax-\(x>1)

则实数。的取值范围是.。42.

|lgx|,x>0.

4.设定义域为R的函数/。)=<:cz则关于x的函数y=2/2(x)-3/(x)+l

-x~—2x,x<0

y

的零点的个数为.

解：由y=2/2(x)-3/(x)+l=0=f(x)号或f(x)=l,如图画JUl=l/2

出f(x)的图像，由f(x)=Wnx有4个值；由f(x)=lnx有3

故共有7个零点.

5.在平面直角坐标系中，点集A={(x,)，)|/+y2Wl}8={(x,y)|-lWxWl,-lWyWl}，

则点集Q={(x,y)|x=X+%,y=y+%，(X，X)”,(9,%)@B}所表示的区域的面积

为.

解：xi=x-x2,yi=y-y2»代入才+4公,得(工-马产+(、-%)*1，

表示以点以z,%)为圆心，1为半径的圆以及内部,而点(xzyJeB,即点

(我,丫2)在正方形MNKL的周界及内部，如图为点集Q所表示的区域，它

包含12个单位正方形和4个四分之一圆弧，故面积为12+兀.

2111

6.如图：已知树顶/离地面一米，树上另一点8离地面一米，某人在离地面

22

3

3米的，处看此树，则该人离此树米时，看46的视角最大.6

2

2

7.在AA8C中，角A、B、C的对边分别为“，b，c且cos2c=1—咚，

a"

111

则rll-----+------=___________.-

tanAtanC2

解：cos2C=l-2sin2C=l---=>sin2(9=—

a~a~

•：sinC>0,/.sinC=—=、,出'=sinAsinC=2sinAcosC+2cosAsinC

asinA

..一八2cosC2cosAi111

•/smAsinC0/.---------4-----------=1-------H---------=—

sinCsinAtanAtanC2

8.在周长为16的三角形ABC中，AB=6,A,8所对的边分别为a,b,

则他cosC的取值范围是.[7,16)

解：以他所在直线为x轴，以A8的中垂线为丫轴建立平面直角坐标系，

由题意得：C4+CB=10>Afi=6,所以由椭圆定义的点C的轨迹是以AB为焦点的椭圆(除

长轴两端点)，设点C(x,y),则点C的轨迹方程为：—+Z=1,+[16,25),

2516

而a6cosc=CB\CA=(-3-x,-y)[J3-x,-y)=x2+y2-9e[7,16),

即所求的取值范围为[7,16)。

9.己知4、8是椭圆E+£=l的长轴端点，。为坐标原点，。为椭圆上不同于4、8的任

2516

意一点，若P为线段0C上的动点，则(而+而)•前的最小值是.

【审题指导】要求向量的数量积的最值问题，一般都是引入一个变量，设加=/无，将

所求的数量积转化为这个变量的函数，再利用函数知识求解。而双是一个没有确定的向

量，因此要应用椭圆的几何性质，这样才能使得问题得到解决.

分析：如图，设加=f无，则(而+而).元=%

2PO-PC=-2tOC(OC-tOC)=2(产-t)OC=2[(z-l)2-1]OC2,)

所以当r=,，反'=16时，(可+而).定有最小值-8.

2

V2

10.手表的表面在一平面上.整点1,2,…，12这12个数字等间隔地分布在半径为J的

2

圆周上.从整点i到整点(i+1)的向量记作£也+1，则他+，2,3”3,4+…”2

=.6拒-9

11.已知平面内两点MN,点例(2+5cos6,5sin。)，MN=1,过N作圆C：

(x-2)2+y2=4的两条切线NE”NF,切点分别为Ej,则丽.标的最小值

为.答：6

12.称四个面均为直角三角形的三棱锥为“四直角三棱锥”，若在四直角三棱锥SABC中，

NSAB=/SAC=NSBC=90°,则第四个面中的直角为.ZABC

13.在棱长为1的正方体A5CO—AgCQ中，若点尸是棱上一点，则满足1PA+|PC；|=2

的点P的个数为.6

14.下列命题中，正确命题的序号为④⑤

①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行；

②己知平面a,直线a和直线b,且aca=a,0_La,则b_La；

③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；

④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；

⑤三棱锥的四个面可以都是直角三角形.

15.直线x=±〃z（O<加<2）和y=把圆尤2+y1=4分成四个部分，

则（k2+l）nz2的最小值为.4

【解析】：数形结合得：两直线的交点在圆外，攵与“满足的关系为：（公+1）加224

所以（％2+1）旭2的最小值为4。

【考查】：点与圆的位置关系、直线与直线的交点、直线与圆的交点等，利用数形结合的数学

思想。（原创）

16.已知点P是直线/:办+y=l上任意一点，直线/垂直于直线y=—x+加，即是圆M：

f+（y-2）2=l的直径，^PE.PF的最小值为____________.【答案】：1

-2

【解析】：设点P（x,y）,则而•府=（而+砺）•（两'+而）=

（JPM+ME）-（PM-ME）=PM2-ME2=x2+（y-2）2-\,因/：奴+y=1垂直于直线

y^-x+m,则。=1,所以/:x+y=1由点P在直线上，所以x+y=l,即x=l-y,

由此可得独.丽=f+（x+l）2—1=2X2+2X=2（X+』）2—当x=-,时，取得最小

222

值为—.

2

x-y+2>0

17.过平面区域7+220内一点P作圆。：/+,2=1的两条切线，切点分别为AB,

x+y+240

9

记NAP6=a,则当a最小时cosa=.【答案】：—

【解析】：当P离圆。最远时a最小，此时点尸坐标为：（T,—2）记NAPO=Q,由切线性

质得：在三角形0PA中：si〃/?=X5又因为cosa=l-2sin24，计算得cosa=2

1010

22

18.已知椭圆c:5+y2=i的两焦点为F},F2，点2%,%）满足0<£+$<1,则

I|+|「入1的取值范围为，直线当+y0y=i与椭圆c的公共点个数o

[2,272）,0

2222

19.设A、B分别为椭圆0+方=1（">8>0）和双曲线[一方=1（。>°力>°）的公共顶

点，P、M分别是双曲线和椭圆上不同于A、B的两动点，且满足/+丽=%(戒+丽)，

其中Xe尺网>1,设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别为仁、h、/、右，则尢+与=5,

贝ljk3+女4=•—5

22

20.设0为坐标原点，耳，F2是双曲线勺-1r=1(a>0,b>0)的焦点，若在双曲线上存

在点P,满足/耳PF?=60°,|OP|=J7a,则该双曲线的渐近线方程为。

近x±y=o

y22

21.设椭圆。=+斗v=1(〃>6>0)的上顶点为4,椭圆C上两点RQ在x轴上的射影分别为左

焦点片和右焦点尸2,直线尸Q的斜率为I"，过点A且与A八垂直的直线与工轴交于点3,

AARB的外接圆为圆M.若直线3x+4y+!〃2=0与圆M相交于瓦尸两点，且

4

MEMF=-\a2,则椭圆方程为.—+^-=1

2------------1612

22。不等式log2。-1)-陛2(21-2)<2的解集是o

提示：设log2(2*—1)=y,则y(y+l)<2,解得一2<y<l,所以xG(log?j,log??)。

23.设实数x、y满足x2+2xy—1=0,则x+y的取值范围是»

24.设正项数列瓜｝的前n项和是S.，若｛aj和｛低｝都是等差数列,且公差相等,

则Si-__________。答案：一

4

3*a-3,a>3

25.已知数列｛an｝满足：4=七一(，〃eN),%M=”"，则数列｛aj的前4m+4

2-12a„,a„<3

项的和§4,“+4=。答案：12(2：7)

26.已知等比数列｛〃〃｝的前10项的积为32,则以下命题中真命题的编号是.

①数列｛4｝的各项均为正数；②数列｛4｝中必有小于血的项；

③数列｛。“｝的公比必是正数；④数列｛《,｝中的首项和公比中必有一个大于1.

答案：③

27.已知4)是AABC的中线，BC=3,N84D=45°,NCAD=30",则AABC的面积的最大值

28.已知数列｛叫满足q=lq=]j"若q=2012,%11

2.

22M

、33

305

3

/M7

23

则£=20或1026339

5

7

29.对于大于或等于2的自然数m的n次基进行如图的方式“分裂”，仿此,11

Z725

4、34

2q27

若添的“分裂”中最小的数是211,则次的值为.29

分析：22=1+3,2'=3+5,2"=7+9,3=1+3+5,33=7+9+11,34=25+27+29

不难得出规律：2"可以表示为两个连续奇数之和；3"可以表示为三个连续奇数之和；5"可以

表示为五个连续奇数之和；nf可以表示为m个连续奇数之和，即

211+213+…+[211+2(m-1)]=加3'm3-m1-210m=0'vm>OAm=15

30.先后投掷一颗质地均匀的骰子两次，得到其向上的点数分别为〃?，〃，设向量)=(团,〃)，

则满足<5的概率为。—

I।36

31.设点33在平面区域。=｛(a,b)||a|Wl,W1｝中按均匀分布出现，则椭圆

=+%-=1(a>b>0)的离心率e<■的概率为。—

提示：属几何概型的概率问题，D的测度为4；e<@，则,<2<1,

22a

则d的测度为g.•.尸=喘畿

32.已知定义在R上的函数/。)=/(公-3),若函数g(x)=/(x)+r(x),x"0,2],在x=O处

取得最大值，则正数。的范围.(0,|]

二、解答题：

1.在平面直角坐标系xOy中，点A在X轴正半轴上，点B在第二象限内，直线AB的倾斜角

为包,0B=2,设乙4。8=/，€佰,巧。

4U4J

⑴用0表示0A⑵求OA[VB的最小值。

OA2

解：⑴在MBS,NA08=a」B=苫-0,由正弦定理得：=

44

=OA=2(cos0+sin0)=2叵sin(6+—)

4

(2)OATOB=272sin(。4-—)x2xcos0-4(cos2。+sin6+cos0)=2(1+cos2。)+2sin20

4

=2瓜皿2。+为+2

4

6吗，争26+(e耳苧.•.(弧函面=2-272

2.已知AABC的外接圆半径是1,角A,B,C的对边分别是a,0,c,

向量m=3,4cosB\n=(cosA,b)满足正//日，

⑴求/=sinA+sing的取值范围；⑵若实数不满足成x=a+b,试确定》的取值范围。

解：(1)机〃〃=>=4cosBcosA

AABC的外接圆的半径为1,—^―=—^―=2:.a=2s\nA,b=2sinB4sinAsinB=4cosAcosB

sinAsinB

cos(A+8)=0nA+8=匹「」=sinA+sin8=sinA+cosA=0sin(A+—)

八.兀九A冗37r

0<A<——<A+—<—/.I<t<42o

2444

2sinA+2sinBsinA+sinB_t

abx=a+bnx=

⑵由4sinAsinB2sinAsinBt1-1

其中一；随飞（1,四］单调递增，可得X的取值范围是［亚，田）。

-^―)

3.已知OM=(cosa,sina)，ON=(cosx,,sinx)，PQ=(cosx,-sinx+

5cosa

当costz=［—时，求函数了=丽•而的最小正周期及值域；

(1)

若血•丽=u,OMIIPQ（。一幻和（。+幻都是锐角，求COS2a的值。

13

4

解：(1)由cosa=—；——，得sinxwO得x手k兀，kez。故

5sinx

y=ON•PQ=cos?x=1+c；s2a,“*ki,&Ez)。T=兀，值域［Oj)(2)由

——►—►125——►—►4

OM•ON=cos((x-x)=—,得sin(a—x)=w，由OM||PQ得sin(a+幻=丁得

/、3Mcr、/、11235416

cos@+x)=-,故cos2a=coq(a-x)+(a+x)=—x---------x—=—©

5"J13513565

4.在如图的多面体中，EEL平面AE8,AELEB,AD//EF,EF11BC,

8C=2AO=4,EF=3,AE=BE=2,G是8C的中点.

(I)求证：AB〃平面DEG；

(II)求证：BDLEG；

(III)求多面体ADBEG的体积.

解：(1)证明：：4。//所,£///8。，；.4。//3。.

又••.BC=2AD,G是6C的中点，:.ADjG,

四边形AOG8是平行四边形，...AB//DG.

••,ABe平面DEG,DGu平面。EG,AB//平面DEG.

(H)证明：平面AEB，AEu平面AE8,•*.EFVAE,

又AELEB,EBCEF=E,EB,EFu平面BCFE,；.AE上平面BCFE.

过。作。H//AE交EF于H,则平面BCFE.

EGu平面BCFE,；.DH1EG.

•.♦AO//E£D”//AE,.♦.四边形平行四边形，•••E〃=AO=2,

；.EH=BG=2,又EH//BG,EHLBE,二四边形为正方形，

BHVEG,

又BHCDH=H,BHu平面BHD，O”u平面5〃。，二EG1■平面

■:BDu平面BHD,，BDLEG.

(Ill)平面AEB,AD〃EF,，平面AEB，

由(2)知四边形6G”E为正方形，8E_L8C.

._11448

VADBEG=^D-AEB+VD-BEC=§>^MB£'+T,AE=—+—=—o

5.如图，已知四棱锥P—ABC。的底面是菱形，N8CD=60°，点E是边的中点,

AC与DE交于点O,PO_L平面A6CD.

(1)求证：PD上BC；

(2)在线段AP上是否存在一点尸，使得5尸〃平面PDE?若存在，求四棱锥E-45ED与

四棱锥P-43CD的体积之比；若不存在，试说明理由.

解：(1)在菱形A8CO中，连接。氏

因为NBCr>=60°，

故是等边三角形.

因为E是BC边的中点，所以OELBC

由于PO_L平面ABCZ),BCu平面ABCZ),

所以POJ_6C,而。£：口20=0,所以BCL平面PDEA

又由于PDu平面PDE,所以PDLBC.

(2)在线段AP上存在一点F,使得M〃平面PDE,

取AD中点M,AP中点F,连接,

F.

因为M£>〃BE,MO=LBC=BE,

2

所以BM//DE又<Z平面PDE,

DEu平面PDE,所以〃平面PDE,

同理可得MF〃平面PDE

又因为=所以平面RWB〃平面包火

因为斯u平面砚/，所以3尸〃平面PDE

因为尸为AP中点，

所以于是四棱锥尸-ABED的高是四棱锥P-ABC。的高的一半,

3

又因为四棱锥尸-钻田的底面积是四棱锥尸-钻8的底面积1’

所以四棱锥4曲与四棱锥P-ABCD的体积之比是-.

8

法二:事实上，过点8作3G〃OE交AC于G,过G作G尸〃OP,交AP于R,连所,

因为3G〃OE,BGu平面PDE,DEu平面PDE,所以3G〃平面RDE,

因为G尸Z平面QPu平面PQE,所以GF〃平面NDE,

又因为BGCG尸=G,所以平面皮牙〃平面PQE

因为Mu平面BGF,所以肝〃平面PDE；..............12分

由（I）知。为等边&BCD的中心，于是G为等边△/$£）

的中心，所以AG=GO=OC,即G为A0中点，所以尸为

AP中点，于是四棱锥F-ABED的高是四棱锥P-ABCD

的高的一半，又因为四棱锥产一a的底面积是四

棱锥P-MCD的底面积三，所以四棱锥厂一

4

3

与四棱锥尸-43CD的体积之比是

8

6.据统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.EI0.1（I）

求该企业在一个月内被消费者投•诉不超过1次的概率；（II）假设一月份与二月份被消费

者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

解答一（I）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”事件B表示“一个月内被投诉的次

数为1”.•.P(A+B)=P(A)+P(3)=0.4+0.5=0.9

n设事件4表示“第i个月被投诉的次数为0”事件及表示“第i个月被投诉的次数为1”

事件G表示“第i个月被投诉的次数为2”事件D表示“两个月内被投诉2次“

二产（4）=04尸（瓦）=05尸（G）=o.i

（i=L2）Q两个月中,一个月被投诉2次,另一个月被投诉o次的概率为尸（4G+4G）一、

二月份均被投诉1次的概率为

尸（4玛）P»）=尸（4G+4G）+尸（及昂）=尸（月。2）+尸（4G）+尸（玛玛）

由事件的独立性的p（0）=O.4xO.l+O」xO.4+O.5xO.5=O.33

解答二（I）设事件A表示“一个月内被投诉2次”设事件B表示“一个月内被投诉的次

数不超过1次”

Q“（A）=0.1,P（B）=1-P（A）=1—0.1=0.9

（II）同解答一。

7.已知关于x的一元二次函数/（月=办2-4法+1.

（I）设集合P={1,2,3}和0={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作

为〃和。，求函数y=/（x）在区间口,+QO）上是增函数的概率；

x+y-840

（II）设点（a,b）是区域,x>0内的随机点，求函数y=f（x）在区间［1,+功上

7>°

是增函数的概率。

解：（I）•••函数/。）=奴2-4bx+l的图象的对称轴为x=丝，

a

要使/W=ax2-4bx+l在区间［1,+00）上为增函数，

当且仅当a>0且竺<1,即2〃<a

a

若则1,

若〃=2则6=-1,1

若。二3则〃二一1,1；

・,・事件包含基本事件的个数是1+2+2=5

所求事件的概率为』=1

153

（H）由（I）知当且仅当2Z?〈。且a>0时，

函数f(x)=以2-4法+1在区是间工物)上为增函数，

a+b-S<0

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为<(。力)<。>0

[b>0

构成所求事件的区域为三角形部分。

a+b-S-0

由a得交点坐标为二,各，

b=—33

I2

.••所求事件的概率为1O

-x8x-

p=232

13

x8x8

2

8.某公园里有一造型别致的小屋，其墙面与水平面所成的角为6,小屋有一扇面向正南的窗

户，现要在窗户的上方搭建一个与水平面平行的遮阳篷，如图1所示.如图2是遮阳篷的截

面示意图，48表示窗户上、下边框的距离，AB=m,"表示遮阳篷.已知该公园夏季正午太阳

最高这一天，太阳光线与水平面所成角为a,冬季正午太阳最低这一天，太阳光线与水平面

所成角为尸(«>/?).若要使得夏季正午太阳最高这一天太阳光线不从窗户直射进室内，而

冬季正午太阳最低这一天太阳光线又恰能最大限度地直射进室内，那么遮阳篷的伸出长度CD

和遮阳篷与窗户上边框的距离比1各为多少？

图2

解：如图所不，设=CD=y，

依题意4BDC=。.在△比®中，ABCD=7i-6,

/CBD=ji:-/BDC-4BCD=e-0,

xy

由正弦定理得①

siny0-sin(<9-/?)?

在△力⑦中，ZCAD=7r-ZACD-ZCDA=0-a,

AB=m,AC=m+x,

由正弦定理得竺上二=一—,②

sinasin(^-a)

xsin(，一1)_(zn+x)sin(8-a)

由①②得所以

sinpsina

msin(^-a)sin/?

sinasin(8-/7)-sin[3sin(6-a)

_sin(6—夕)—msin(。一a)sin(。一万)

y-x=

sinPsinasin(^-/3)-sin/3sin(^-a)

答:遮阳篷的伸出长度CD为-------msin(°-a)sin/7------,遮阳篷与窗户上边框的距离

sinasin(6一尸)一sinpsin(6-a)

/%sin(6-a)sin(。-0)

BC为

sinasin(8-/7)-sin0sin(6-a)

9.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距加米，余下工程只需要建两端桥墩之间的

桥面和桥墩，经预测，建一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的

桥面工程费用为(2+4)》万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他

因素，记余下工程的费用为y万元。

(1)试写出y关于％的函数关系式；

(2)当〃z=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

解：(1)设需要新建〃个桥墩，("+1)X=〃7即〃=一一1

X

所以y=/(x)=256〃+(〃+1)(2+y[x)x

=256(--1)+—(2+V^)x

XX

=256"+根6+2m-256

x

256m1—gm|

(2)由(1)知，f\x)=——+-7HX2=--(x2-512)

x222x2

令/'(x)=0,得j=512,所以x=64

当0<x<640时/'(x)<0,/(x)在区间(0,M)上为减函数

当64<x<640时，/'(幻>0,/(x)在区间(64,640)上为增函数

所以/（x）在X=64处取得最小值，此时，〃=丝ni—1=r翳）4（l-1=9

x64

答：需新建9个桥墩才能使y最小.

10.建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60。（如图），考虑到防洪堤坚固

性及石块用料等因素，设计其断面面积为6括平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料

最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）要最小.

（1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？

（2）如防洪堤的高限制在［3,2g］的范围内，外周长

最小为多少米？

解(1)6j3=-(AD+BC)h,AD=BC+2Xhcot60°=BC+^^/7,6百=工(23C+逋/?)〃，

2323

BC=巫一&h.设外周长为/,则/=2AB+BC=-^—+迪—立力，

h3sin60°h3

=①+述26后

h

当百力=述，即〃=6时等号成立.外周长的最小值为6亚米，此时堤高人为几米.

h

⑵内力+孚=仃（/7+3）,设344<〃2<2百，则，”+>％一，

他一九）（1-各）>。，/是人的增函数，

饼2

/min=6X3+竽=5^（米）.（当〃=3时取得最小值）

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆G：（x+l）2+丁=1,圆&：（x-3）2+（y-4）2=1.

（1）若过点G（-i，o）的直线被圆c2截得的弦长为

5,求直线的方程；

（2）设动圆c同时平分圆G的周长、圆G的周长.

①证明：动圆圆心c在一条定直线上运动；

（第16题）

②动圆c是否经过定点？若经过，求出定点的坐标：若不经过，请说明理由.

【解析】：(1)设直线的方程为丫=©》+1),即丘-y+无=0.因为直线被圆C?截得的弦长

6|4^-4|

为，而圆C的半径为1,所以圆心C,(3,4)到：丘-y+《=0的距离为^^=三4.

化简，得12%2-254+12=0,解得“=年或上=1.

所以直线的方程为4x-3y+4=0或3x-4y+3=0.

(2)①证明：设圆心C(x,y),由题意，得Cq=CCz,即J(x+l)2+y2='*-3)2+()，-4)2.

化简得x+y-3=0,即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动.

②圆C过定点，设C(m,3-m),则动圆C的半径为J1+CC：=/+(,〃+1了+(3-而.

于是动圆C的方程为(工一机)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2.

,_[x—y+1=0,

整理，Wx+y-6y-2-2m(x-y4-1)=0.由122,

[厂+y-6y-2=0,

X=1+yV2,X=1--yV2,

得，2或W2

[y=2+|V2；[j=2-1V2.

所以定点的坐标为(l+jV2,2+1V2).

【考查】：求圆方程、圆的性质、直线与圆的位置关系、两圆位置关系等，利用数形结合、转

化归纳、函数方程等数学思想。(改编)

12.已知。G：》2+/_%-。=0与。。2：d+y2_2x_2=0交于P、Q两点，W(2,。是

直线PQ上的一个动点。(1)求。G的标准方程；(2)求以0M为直径且被直线

3x—4)，—5=0截得的弦长为2的圆。3的方程；(3)过点。2作0M的垂线与以0M为直

径的圆交于点N,请判断线段0N的长是否为定值？若是定值求出这个定值；若不是请说

明理由。

【解析】：

(1)因为。G与。。2的公共弦PQ方程是x=a—2,而M(2,f)是X=a—2上的点所以

。=4,圆G标准方程为：(x°)2+2=U。