数字图像处理 频域图像增强

4.1背景4.2基本概念4.3取样和取样函数的傅立叶变化4.4单变量的离散傅立叶变换4.5两个变量的扩展4.6二维离散傅立叶变换的一些性质4.7频率域滤波基础4.8频率域滤波器平滑图像4.9频率域滤波器锐化图像4.10选择性滤波第4章第1页数字图像处理频域图像增强

4.4单变量的离散傅里叶变换(DFT)

第4章第2页

4.4单变量的离散傅里叶变换(DFT)第4章第3页

4.4单变量的离散傅里叶变换(DFT)

第4章第4页

4.4单变量的离散傅里叶变换(DFT)离散傅里叶变换(DFT)适用于任何均匀取样的有限离散样本集。第4章第5页

4.1背景4.2基本概念4.3取样和取样函数的傅立叶变化4.4单变量的离散傅立叶变换4.5两个变量的扩展4.6二维离散傅立叶变换的一些性质4.7频率域滤波基础4.8频率域滤波器平滑图像4.9频率域滤波器锐化图像4.10选择性滤波第4章第6页4.ImageEnhancementintheFrequencyDomain

频域图像增强

第4章第7页4.5两个变量的离散傅里叶变换(DFT)二维冲激在积分下也有一维情况下的取样特性。

第4章第8页4.5两个变量的离散傅里叶变换(DFT)二维离散冲激也有一维情况下的取样特性。

第4章第9页4.5两个变量的离散傅里叶变换(DFT)图像(二维离散函数)的傅立叶变换(DFT)对

二维连续函数的傅立叶变换对二维图像的傅立叶变换(DFT)对离散化N是图像的高度M是图像的宽度

例4.5一个简单函数的二维傅里叶变换第4章第10页4.5两个变量的离散傅里叶变换(DFT)

4.5.3二维取样和二维取样定理第4章第11页4.5两个变量的离散傅里叶变换(DFT)

二维情况下，可用二维冲激串函数来完成取样过程

二维取样定理

取样率

第4章第12页4.5两个变量的离散傅里叶变换(DFT)理想二维盒状滤波器欠采样情况下将产生混淆

第4章第13页4.5两个变量的离散傅里叶变换(DFT)

第4章第14页4.5两个变量的离散傅里叶变换(DFT)

4.5.5图像内插和重取样第4章第15页4.5两个变量的离散傅里叶变换(DFT)重取样后的图像上的混淆的说明：(a)带有视觉上可以忽略的混淆的数字图像；(b)采用行列删除法将原图像尺寸缩小到其原始尺寸50%后的结果，混淆清晰可见；(c)在调整图像大小之前，用一个3*3均值滤波器模糊(a)中图像的结果。该图像比(b)图更模糊，但混淆不再那样显眼。当处理具有很强边缘内容的图像时，混淆的影响看起来像是块状图像分量，这称为锯齿。例4.8图像所中锯齿现象的说明第4章第16页4.5两个变量的离散傅里叶变换(DFT)锯齿的说明：(a)一幅计算机生成场景的1024*1024数字图像，视觉上可以忽略混淆；(b)减小(a)的原始尺寸到25%，256*256，再用双线性内插恢复原始尺寸的结果；(c)减小图像尺寸的75%之前，用5*5的均值滤波模糊图像，然后再用双线性内插的结果。例4.9图像放大中锯齿现象的说明第4章第17页4.5两个变量的离散傅里叶变换(DFT)前面两个例子中，均使用像素复制法来放大缩小的取样后的图像。本例显示了一幅放大为1024*1024像素的图像，这幅图像通过对上例中图像中心截出256*256的一部分通过像素复制的方法产生。(b)放大后的图像，但所用的方法是经双线性内插法。莫尔（波纹）模式—人为缺陷光学中，莫尔模式指的是在两个近似等间隔的光栅之间产生的差拍模式。简单说是注视一组线或点与另一组线或点的叠层时的一种视觉效果，这两组点或线在相对大小、角落或间距上不同如防昆虫纱窗重叠在一起；扫描印刷品再显示出来莫尔模式更常见第4章第18页4.5两个变量的离散傅里叶变换(DFT)莫尔效应的例子。将一个模式叠加在另一个模式上，数学上等价于两个模式相乘。第4章第19页莫尔（波纹）模式—人为缺陷4.5两个变量的离散傅里叶变换(DFT)4.1背景4.2基本概念4.3取样和取样函数的傅立叶变化4.4单变量的离散傅立叶变换4.5两个变量的扩展4.6二维离散傅立叶变换的一些性质4.7频率域滤波基础4.8频率域滤波器平滑图像4.9频率域滤波器锐化图像4.10选择性滤波第4章第20页4.ImageEnhancementintheFrequencyDomain

频域图像增强

第4章第21页4.6二维离散傅立叶变换的性质频率域样本间的间隔与空间样本间的间距和样本数成反比。第4章第22页4.6二维离散傅立叶变换的性质

(0,0)(N-1,M-1)xy先行：y方向

(0,0)(N-1,M-1)xy

(0,0)(N-1,M-1)xy后列：x方向

(0,0)(N-1,M-1)xy第4章第23页4.6二维离散傅立叶变换的性质平移性质时域位移，等于频域与一个指数项相乘时域位移的傅里叶变换等效于频谱函数的相位谱改变，而幅度谱不变频域位移，等于时域与一个指数项相乘函数的频率位移相当于傅里叶变换的坐标原点平移，而幅度谱和相位谱不变

4.6二维离散傅立叶变换的性质第4章第24页

第4章第25页4.6二维离散傅立叶变换的性质

4.6二维离散傅立叶变换的性质第4章第26页一维傅里叶变换产生的是两个紧邻的半周期。希望观察一个完整周期的傅里叶频谱f(x)变换前乘以(-1)x

4.6二维离散傅立叶变换的性质第4章第27页为观察一个完整周期的傅里叶频谱f(x,y)变换前乘以(-1)x+y虚线：DFT的周期实线：M*N数据阵列4.6.5傅里叶谱和相角第4章第28页4.6二维离散傅立叶变换的性质极坐标下，二维DFT可表示为

其幅度，也称为傅里叶谱或频谱

相角

功率谱谱对图像平移不敏感（指数项的绝对值是1），随旋转图像以相同的角度旋转。4.6二维离散傅立叶变换的性质第4章第29页

原点在左上角，所以变换的原点区域包含了最高值，

第4章第30页谱对图像平移不敏感（指数项的绝对值是1），随旋转图像以相同的角度旋转。

左：图像中：谱图右：相角图频谱图像相同，相角图大不同，对应图像间的唯一差别是简单的平移。相角图虽然很不直观，但很重要。相角是各个正弦分量关于原点的位移的度量。ＤＦＴ的谱的分量决定正弦波的幅度，这些正弦波结合起来可形成结果图像。在一幅图像的ＤＦＴ中，在任何给定的频率处，较大的幅度意味着图像中该频率的正弦波比较突出。反之，较小的幅度则意味着图像中出现的正弦波比较少。当二维ＤＦＴ的幅度是一个阵列时，其分量决定了图像中的灰度，相应的相角则是一个角度的阵列，携带较多的关于图像中可辨别的物体定位的信息。第4章第31页4.6二维离散傅立叶变换的性质第4章第32页妇女图像；b.相角图；c.仅使用相角重建的妇女图像d.仅使用谱重建的妇女图像；e.使用对应于妇女图像的相角和对应于前图矩形图像的谱重建的妇女图像；f

.使用矩形的相角图和妇女图像的谱重建的图像

灰度信息丢失相位角=04.6.6二维卷积定理第4章第33页4.6二维离散傅立叶变换的性质二维图像的傅立叶变换(DFT)对

二维卷积定理

二维空间卷积频域中相应变换的乘积总结第4章第34页名称表达式3)极坐标表示4）谱5）相角6）功率谱7）均值9）卷积10）相关11）可分性

4.1背景4.2基本概念4.3取样和取样函数的傅立叶变化4.4单变量的离散傅立叶变换4.5两个变量的扩展4.6二维离散傅立叶变换的一些性质4.7频率域滤波基础4.8频率域滤波器平滑图像4.9频率域滤波器锐化图像4.10选择性滤波第4章第35页4.ImageEnhancementintheFrequencyDomain

频域图像增强

第4章第36页4.7傅立叶变换及图像的频域特征图像的频域(频谱)特征

F(u,v)的幅度|F(u,v)|称为频谱频谱的原点的值F(0,0)与图像的均值成正比,F(0,0)称为图像直流分量频域中的频率反映了空间域中图像灰度的变化程度F(0,0)表示图像的直流(不变化)分量;(u,v)越远离频域中心(0,0),F(u,v)对应的空域的灰度变化就越强烈;低频对应着图像的平坦区域,高频对应着图像的剧烈变化区域(边缘或噪声等细节).图像的边缘方向能在频域中得到反映一般地,图像的能量集中在低频段

第4章第37页4.7傅立叶变换及图像的频域特征低频对应图像平坦区域,高频对应图像边缘或噪声例如:方波的傅立叶表示第4章第38页4.7傅立叶变换及图像的频域特征图像边缘的方向能在频域中得到体现第4章第39页4.7傅立叶变换及图像的频域特征图像能量集中在低频段

=图像区域能量图像所有能量

=92%

=95%

=96%

=99.7%第4章第40页4.7傅立叶变换及图像的频域特征频率平面与图像空域特性的关系图像变化平缓的部分靠近频率平面的圆心，这个区域为低频区域图像中的边、噪音、变化陡峭的部分，以放射方向离开频率平面的圆心，这个区域为高频区域4.7傅立叶变换及图像的频域特征第4章第41页在频域空间，图像的信息表现为不同频率分量的组合。在傅里叶变换域中，变换系数反映了图像在空域中难以定义的某些特征频谱的直流低频分量对应于图像的平滑区域高频分量对应于图像的边缘或变换剧烈区域外界叠加噪声对应于频率较高的部分恒定的干扰条纹对应于频谱中的某些特征点频域增强可通过构造一频域滤波器，刻意提升、压低或去除某些频率分量，从而改变图像中不同频率分量，达到图像增强的目的4.7傅立叶变换及图像的频域特征第4章第42页频域滤波器：不同的滤波器滤除的频率和保留的频率不同，因而可获得不同的增强效果。在频域空间，图像的信息表现为不同频率分量的组合。频域增强是通过改变图像中不同频率分量来实现的。频域增强方法的三个步骤：将图像从图像空间转换到频域空间；在频域空间对图像进行增强；将增强后的图像再从频域空间转换到图像空间；计算图像的傅里叶变换将其与频率滤波器相乘进行傅里叶反变换图像进行傅立叶变换，需将其看作周期函数的一个周期；周期函数进行卷积，为避免周期折叠误差，需对函数进行补零扩展。444.7傅立叶变换及图像的频域特征

4.1背景4.2基本概念4.3取样和取样函数的傅立叶变化4.4单变量的离散傅立叶变换4.5两个变量的扩展4.6二维离散傅立叶变换的一些性质4.7频率域滤波基础4.8频率域滤波器平滑图像4.9频率域滤波器锐化图像4.10选择性滤波第4章第45页4.ImageEnhancementintheFrequencyDomain

频域图像增强

第4章第46页基本手段:在频域中低通滤波(频域相乘)输入图像增强图像增强图像4.8频域平滑滤波器

(SmoothingFrequency-Domainfilters)基本思想因为图像的边缘和其它灰度变化剧烈的部分对应着频域的高频成分(high-frequencycomponents),所以可以通过减弱高频成分就可以实现图像的平滑(模糊)关键是H(u,v)的设计第4章第47页频域低通滤波器的设计方法4.8频域平滑滤波器

(SmoothingFrequency-Domainfiltes)理想低通滤波器(Idea)巴特沃斯滤波器(Butterworth)高斯滤波器(Gaussian)低通滤波器第4章第48页理想低通滤波器传递函数4.8.1理想低通滤波器

(IdealLowpassFilters)方法:从高频处截断,只保留低频部分截断频率(cut-offfrequency)D(u,v)是(u,v)到原点(0,0)的距离H(u,v)的幅频谱图H(u,v)的三维显示第4章第49页如何选择截止频率D0?4.8.1理想低通滤波器

(IdealLowpassFilters)截断频率(cut-offfrequency)用能量比

选择截止频率D0(丢弃高频能量)

=图像区域能量图像所有能量例如选取

=95%低频能量所占比重:高频能量:第4章第50页举例:选取截止频率D0丢弃高频能量98%低频能量:高频能量:D092.0%D094.6%D096.4%D099.5%D04.8.1理想低通滤波器

(IdealLowpassFilters)第4章第51页举例:选取截止频率D0保持低频能量1-93.1%=6.9%1-100%=0%丢弃高频能量平滑程度振铃效应程度1-99.2%=0.8%1-95.7%=4.3%1-87%=13%平滑程度和振铃(环)效应的矛盾Thefilteredimagecanhavenegativevalues,soscalingnormallyisrequired4.8.1理想低通滤波器

(IdealLowpassFilters)

第4章第52页4.8.1理想低通滤波器

(IdealLowpassFilters)第4章第53页为什么有振铃效应?观察H(u,v)的空域形式(PSF)可找到直观解释H(u,v)FrequencyDomainSpatialDomain平滑作用Ringing振铃h(x)h(x,y)xyxx4.8.1理想低通滤波器

(IdealLowpassFilters)第4章第54页为什么有振铃效应?观察H(u,v)的空域形式可找到直观解释原始图像(黑色背景上有5个脉冲)滤波图像卷积滤波4.8.1理想低通滤波器

(IdealLowpassFilters)55h(x,y)的显示是一系列的同心圆环。圆环的半径反比于D0D0较小:h(x,y)为数量较少但较宽的同心圆环。使g(x,y)模糊的比较厉害，振铃现象明显；D0较大:h(x,y)为数量较多但较窄的同心圆环。使g(x,y)模糊的比较少。第4章第56页怎样才能平滑的同时又没有振铃效应呢?y巴特沃斯低通滤波器(Butterworth)高斯低通滤波器(Gaussian)基本思想:使理想低通滤波器的频域下降沿变得光滑,从而使得空域滤波器(点扩展函数)的旁瓣变小,使得振铃效应减弱或消失4.8.2低通滤波器

(IdealLowpassFilters)第4章第57页频域传递函数4.8.2巴特沃斯低通滤波器

(ButterworthLowpassFilters)y低通:距离中心越远,H值越小;光滑下降沿三维形式(n=1)图像形式(n=1)剖线不存在一个不连续点作为一个通过和被滤波掉的截止频率的明显划分N愈大，下降边沿愈陡峭第4章第58页空域点扩展函数(图例)4.8.2巴特沃斯低通滤波器

(ButterworthLowpassFilters)yn=1n=5n=20越来越像理想低通滤波器平滑效果不明显平滑作用大,但ringing副作用也大n=2平滑效果好,ringing副作用不明显第4章第59页4.8.2巴特沃斯低通滤波器

(ButterworthLowpassFilters)4.8.2巴特沃斯低通滤波器

(ButterworthLowpassFilters)4.8.2巴特沃斯低通滤波器

(ButterworthLowpassFilters)第4章第62页4.8.2巴特沃斯低通滤波器

(ButterworthLowpassFilters)y原图像巴特沃斯低通滤波结果理想低通滤波结果92.0%96.4%98%99.5%94.6%平滑和振铃之间难以取得平衡平滑和振铃之间难以取得平衡Noringingisvisible第4章第63页

巴特沃斯滤波器理论上仍存在些许振铃效应4.8.3高斯低通滤波器

(GaussianLowpassFilters)是否存在没有(一点也没有)振铃效应的低通滤波器?高斯(Gaussian)低通滤波器比傅立叶小9岁CarlFriedrichGauss第4章第64页4.8.3高斯低通滤波器

(GaussianLowpassFilters)高斯(Gaussian)低通滤波器神奇的高斯函数:高斯函数的导数还是高斯函数自然界中很多事件均服从高斯分布.(身高,成绩,噪声)高斯函数的傅立叶变换还是高斯函数高斯函数的反傅立叶变换还是高斯函数第4章第65页Transferfunction4.8.3高斯低通滤波器

(GaussianLowpassFilters)三维形式(n=1)图像形式(n=1)剖线TheinverseFouriertransformisGaussianalso.SoGaussianfilterscanavoidringing第4章第66页Example1:Gaussianlowpassfiltering原图像NoringingatallThefilteredimagecanhavenonegativevalues4.8.3高斯低通滤波器

(GaussianLowpassFilters)第4章第67页Example2:Gaussianlowpassfiltering4.8.3高斯低通滤波器

第4章第68页Example3:Gaussianlowpassfiltering4.8.3高斯低通滤波器第4章第69页Gaussianlowpass

vs.Butterworthlowpass4.8.3高斯低通滤波器GaussiancancompletelyeliminateringingwhileButterworthcannot.Atthecutofffrequency,GaussianisnotassharpasButterworthSopreferButterwothtoGaussianwhentightcontrolofthetransitionbetweenlowandhighfrequenciesaboutthecutofffrequencyisneededPreferGaussiantoButterworthwhennoringingisallowed(e.g.inMedicaldiagnosis)4.1背景4.2基本概念4.3取样和取样函数的傅立叶变化4.4单变量的离散傅立叶变换4.5两个变量的扩展4.6二维离散傅立叶变换的一些性质4.7频率域滤波基础4.8频率域滤波器平滑图像4.9频率域滤波器锐化图像4.10选择性滤波第4章第70页4.ImageEnhancementintheFrequencyDomain

频域图像增强

第4章第71页基本思想4.9频域锐化滤波器

SharpeningFrequencyDomainFilters

衰减图像的傅里叶变换的高频部分可以平滑图像图像中的边缘及急剧变化部分与高频分量有关，当衰减图像中的低频分量时会相对地强调其高频分量，从而加强图像中边缘及急剧变化部分，达到图像锐化目的。基本方法(Fromlowpassfiltertohighpassfilter)高通滤波器=1-低通滤波器第4章第72页常用的高通滤波器：1.理想高通滤波器；2.巴特沃斯高通滤波器；3.高斯高通滤波器；巴特沃斯滤波器是理想滤波器的尖锐化和高斯滤波器的完全平滑之间的过渡三维透视图图像表示横截面理想高通滤波器巴特沃斯高通滤波器高斯高通滤波器理想高通滤波器巴特沃斯高通滤波器高斯高通滤波器三种高通滤波器的空域表示形式第4章第74页二维理想高通滤波器4.9.1理想高通滤波器IHPFD0

是截止频率，理想高通滤波器的转移函数Hhp(u,v)可给出如下形式：低通lowpass高通highpass

第4章第75页理想高通滤波器的不同表征形式4.9.1理想高通滤波器IHPF三维剖线图像形式Frequencydomain理想低通有振铃效应Illustratingoflowpassfilter:FrequencydomainSpatialdomainSpatialdomain理想高通有振铃效应吗?锐化作用振铃第4章第76页Exampleofidealhighpassfilters锐化作用振铃Inputimagecutoff截止频率D0=30截止频率D0=60截止频率D0=160理想目标是:平坦区域全部变为黑色，变化部分变为白色4.9.1理想高通滤波器IHPF

第4章第77页TransferfunctionofButterworthhighpassy截止频率为

D0

的

n

阶巴特沃斯高通滤波器(BHPF)，其传递函数H(u,v)为：TransferfunctionofButterworthlowpassfilters:4.9.2巴特沃斯高通滤波器BHPF第4章第78页Illustrationofbutterworthhighpassfilters高通highpass三维形式(n=1)图像形式(n=1)剖线低通lowpass4.9.2巴特沃斯高通滤波器BHPF第4章第79页ExampleofButterworhhighpassfiltering原图像几乎没有ringing4.9.2巴特沃斯高通滤波器BHPF

第4章第80页转换函数截止频率在距频率矩形中心距离为D0的高斯高通滤波器的传递函数H(u,v)：高斯低通滤波器的传递函数4.9.3高斯高通滤波器GHPF第4章第81页ExampleofGaussianhighpassfilteringInputimage没有ringing，且比巴特沃斯光滑4.9.3高斯高通滤波器GHPF

第4章第82页Idealvs.Butterworthvs.Gaussianhighpass没有ringing,且光滑理想高通巴特沃斯高通高斯高通4.9.3高斯高通滤波器GHPF第4章第83页拉普拉斯算子频域滤波器4.9.4频率域的拉普拉斯算子使用拉普拉斯算子在频域中滤波，可使用如下形式的H(u,v)：

当使用频率矩形中心时，上式可写成如下形式：

第4章第84页4.9.4频率域的拉普拉斯算子

第4章第85页4.9.4频率域的拉普拉斯算子

中心在(p/2,q/2)处值为0，其他为负值原图频率域滤波的结果滤波结果标定后的图像，负值标定为0，最大正值标定为255第4章第87页

4.9.5钝化模版、高频提升过滤和高频强调滤波

第4章第88页4.9.5钝化模版、高频提升过滤和高频强调滤波

第4章第89页4.9.5钝化模版、高频提升过滤和高频强调滤波

其中，红色部分称为高频强调滤波器，高通滤波器通过将直流项置为0，导致滤波后图像的平混灰度减小为0。而高频强调滤波器可避免这一问题。“1”：高通滤波器加1，使得零频率不被滤波器滤除“K”：决定了影响最终结果的高频的比例

更一般的公式为：第4章第90页基本思想4.9.6同态滤波Homomorphicfilter

图像照射分量和反射分量的表征

第4章第91页Keyproblem:如何分离照射分量和反射分量？y目标:给定一个图像

f(x,y)，设计一个滤波器可以抑制其照明分量，同时增强其反射分量

。即:对于照射分量,衰减低频成分,增强高频成分;对于反射分量,衰减低频成分,增强高频成分.Keysolution:对图像f(x,y)求对数4.9.6同态滤波Homomorphicfilter

第4章第92页LOG变换可实现分离照射分量和反射分量的目的。变换前变换后同态滤波的流程flowchartlnDFTH(u,v)(DFT)-1expg(x,y)f(x,y)Input原图像Output增强图像频域卷积4.9.6同态滤波Homomorphicfilter第4章第93页y同态滤波的传递函数（滤波器）H(x,y)给定截断频率

D0

和参数

rH、rL分别控制其照射分量(低频分量）和反射分量（高频分量），

H(x,y)

形式如下：

高斯高通4.9.6同态滤波Homomorphicfilter滤波器的径向剖面图衰减低频，增强高频第4章第94页Example

4.9.6同态滤波Homomorphicfilter第4章第95页4.11空域增强同频域增强的关系

(Correspondencebetweenfilteringinthespatialandfrequencydomains)平滑滤波器频域增强空域增强锐化滤波器理想低通巴特沃斯低通高斯低通理想高通巴特沃斯高通高斯高通平滑滤波器锐化滤波器