2022年秋《等差数列课时4》教学设计

高中数学精编资源1/16《等差数列》教学设计课时4等差数列前n项和公式的应用必备知识学科能力学科素养高考考向等差数列的概念学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学运算【考查内容】1.等差数列中基本量的计算(知三求二),通常涉及用性质解决等差数列的片段求和等问题2.求等差数列前n项和的最值3.依据求与等差数列相关的递推数列的求和问题(如裂项相消求和、分组求和及倒序相加求和)【考查题型】选择题、填空题、解答题等差数列的性质及应用逻辑推理数学运算等差数列的前n项和公式逻辑推理数学运算等差数列前n项和公式的应用数学建模数学运算一、本节内容分析本节内容是对等差数列及其前n项和公式的初步探究,主要介绍等差数列的概念、性质及应用;等差数列前n项和公式的性质及应用,这些内容是等差数列的核心知识.通过本节的学习,学生能够通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题,体会等差数列与一元一次函数的关系.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.等差数列的概念2.等差数列的性质及应用3.等差数列的前n项和公式4.等差数列前n项和公式的应用数学运算数学建模逻辑推理核心素养二、学情整体分析在学习本节内容之前,学生已经学习了数列的概念以及表示方法,所以学习本节等差数列是有知识基础的,但是本节知识作为高考数学深入探究考查的一个重点,大部分学生还是会对等差数列的性质应用以及前n项和公式的推导及应用等方面有难度,不仅包括理解上的难度,也有计算上的难度.对前n项和公式的推导上也存在逻辑推理的困难.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.等差数列的概念2.等差数列的性质及应用3.等差数列的前n项和公式4.等差数列前n项和公式的应用【教学目标设计】1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义,达到数学运算核心素养水平.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并利用等差数列的性质解决相应的问题,达到数学建模核心素养水平.3.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系,达到逻辑推理核心素养水平.4.能在具体的问题情境中利用数列的前n项和公式的性质解决相应的数学问题,达到数学建模核心素养水平.【教学策略设计】因为等差数列问题在日常生活中有大量的应用,如存款利息,每日温差等与人们生活关系密切的现实问题,人们解决许多实际问题也需要有关数列的知识.实际教学中可以利用教材中的实际案例作为教学引入,引导学生注意观察数字或图形的变化特征,锻炼逻辑推理核心素养,充分发挥学生自主探究学习的能动性,实现情境教学、先学后教的教学策略,提高学生自主探究的能力,对等差数列及其前n项和有深入的理解和灵活的掌握.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________【教学重点难点】重点:1.理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,学会用公式解决一些实际问题,体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系.难点:1.概括通项公式推导过程中体现出的数学思维方法.2.等差数列前n项和公式推导思路的获得.【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:同学们,上课之前,我们先回顾下上节课的重点内容,都学了哪些重要知识和性质应用呢?请几位同学为我们推导一下等差数列的前项和公式.【学生复习教材,积极练习,积极发言,教师指定同学回答并予以鼓励和肯定,总结归纳】师:推导等差数列前项和有奇偶项法和倒序相加法,常用倒序相加法.其中,从奇偶项法中,我们可以得到奇偶项数的性质.从推导得到的等差数列的前项和公式中,我们又可以得到和这两个新的等差数列.其间的知识联系,同学们要细心体会.这节课我们首先通过一个题复习下前项和公式的简单应用.【设情境巧引入】本节课内容和上节课联系紧密,通过复习上节课知识要点从而引出本节课学习重点,起到承上启下的作用,既复习了知识,又引出了课题.教学精讲【典型例题】利用等差数列的前项和求其他基本量例1某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报告厅共有20排座位,从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.师:这道实际应用问题是一道关于什么的问题?生:等差数列问题.师:从哪里看出来的?生:从第2排起后一排都比前一排多2个座位,可知公差是2.师:很好,并且我们还知道,前20项和是800,先找到里边的几个基本量,再通过基本量之间的关系,就可以解决问题了.【引导学生积极思考,独立完成,教师指定学生回答并予以肯定,解得第1排应安排21个座位】师:这道题还只是一道简单的实际应用问题,我们重点是要将实际生活的语言还原成数学概念语言,从而找到解题方法.那这道问题我们是借助了哪个公式?请同学来帮大家复习一下.生:等差数列的前项和公式,或.师:好的,那这道题属于等差数列前项和公式的一个简单应用,我们再来看一个它的另一种应用,就是求最值.【意义学习】教师由实际问题出发,将实际问题和数学知识相联系,采用分步提问的方式引导学生的思路,培养学生的解题意识.【典型例题】求等差数列前项和的最值例2已知等差数列的前项和为,若,公差,则是否存在最大值?若存在,求的最大值及取得最大值时的值;若不存在,请说明理由.【学生阅读教材,积极思考,合作交流】师:同学们,这道例题怎样去求前项和的最大值?由公式可知,,里边的和是未知的,借助等差数列的单调性可以吗?【教师引导学生思考,学生独立做题,教师巡视检查,并做总结讲解】生:因为公差是小于0的,所以这个等差数列是递减数列.师:很好.所以从某一项开始,可能就会减小到0,减小到小于0.又由,可知:当时,;当时,;当时,.所以我们就可以得到前项和的大小变化:从中可以得到当或6时,取最大,且最大值是30.【自主学习】教师启发学生解题思路,即采用数列的单调性解题,学生先自主独立思考,然后教师总结整理答案,更能使学生对知识理解深刻.【方法策略】求等差数列前项和的最值的解法一总结方法:(1)当时,由不等式组可求得取最大值时的值.(2)当时,由不等式组可求得取最小值时的值.师:关于这道题还有一种解法,前项和公式有很多种书写形式,如果我们把再改写一下,使它和二次函数有一样的格式,是否又能得到一些求最值的思路呢?【情境学习】学生在求前n项和最值的问题情境中,总结方法,通过具体问题理解方法,更能加深印象.【要点知识】求等差数列前项和公式补充等差数列的前项和可以改写成.当时,是关于的二次函数(为正整数).师:由此我们可以知道等差数列前项和具有和二次函数类似的性质,所以要想求前项和的最大值,我们应该怎么做?生:先写出公式再代入数值,因为要求最值,所以可以先配方..师:很好.又因为公差为负数,所以这个数列的前项和如果先把它看成是二次函数解析式的话,是不是开口向下?开口向下有最大.所以由解析式我们知道当时,取最大,但是因为数列是特殊的函数,自变量必须是正整数,所以我们只能选取离最近的正整数,那么等于多少呢?最大值又是多少呢?生:当或6时,取最大,最大值是30.师:正确.和第一种解法得到的答案一致.所以通过这个题我们要明确一点:计算等差数列前项和的最值,可以借助二次函数的相关性质和方法,但是要注意的是,在等差数列前项和公式中,自变量只能取正整数,这也是数列与函数的主要区别.师:同学们,比较一下这两个求等差数列前项和最值的方法,哪个更简便一些?当然每个方法都有不同知识的侧重点,我们重点掌握其中的推理过程以及思路方法.所以我们再做一道类似的思考题.如果把这道例题中的公差改换成,那么有最大值吗?采用转化为二次函数顶点式的解法作答.【教师引导学生思考,学生分组交流,认真演算,教师指定学生回答问题】生:通过将等差数列前项和公式化为二次函数顶点式的方法,得到当时,取最大值.师:正确!因为求最值,我们可以利用二次函数顶点式求解,所以有没有解决更一般的等差数列前项和最大值的通用解法?【简单问题解决能力】由已知的二次函数配方法代入到解决数列前n项和最大值的问题中,建立数学模型,培养学生的简单问题解决能力.【分析计算能力】通过对比由不等式组和二次函数性质求解数列前n项和的最值.培养学生的分析计算能力.【方法策略】求等差数列的前项和最值的解法2公差不为0的等差数列的前项和可以表示成的形式,我们可将其变形为.(1)若,则当最小时,有最小值;(2)若,则当最小时,有最大值.注:其中,.师:其实这个公式还有一个应用,就是已知数列的前项和公式是,可以判定数列是等差数列.综合前面讲到的通项公式,总结一下判定数列为等差数列的几种方法.【意义学习】教师讲解了解题思路,通过类似的思考题,引导学生思考,学生分组合作学习,参与到解决问题的过程中来,加深对解题思路的理解.【方法策略】判定数列为等差数列的方法1.定义法:证明对任意正整数都有等于同一个常数.2.等差中项法:证明对任意正整数都有后,可递推得出,根据定义得出数列为等差数列.3.通项公式法:得出为常数)后,得对任意正整数恒成立,根据定义判定数列为等差数列.4.前项和公式法:得出(为常数)后,根据的关系,得出,再使用定义法证明数列为等差数列.【概括理解能力】通过对通项公式的综合学习,概括总结出判定数列为等差数列的方法,巩固所学知识,提高学生的概括理解能力.师:接下来,我们练习几道习题.【巩固练习】等差数列前n项和公式的应用1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式:第一种,获奖者可以选择2000元的奖金;第二种,从12月20日到第二年的1月1日,每天到该商场领取奖品,第1天领取的奖品价值为100元,第2天为110元,以后逐天增加10元.你认为哪种领奖方式获奖者受益更多?2.已知数列的前项和,求这个数列的通项公式.3.已知等差数列的前项和为是否存在最大(小)值?如果存在,求出取得最值时的值.4.求集合,且中元素的个数,并求这些元素的和.5.已知数列的通项公式为,前项和为.求取得最小值时的值.师:好的,同学们,本节课我们主要学了等差数列前项和公式的应用.主要学习了:(1)利用等差数列的单调性求前项和最值;(2)利用二次函数的顶点式求前项和最值.因为等差数列内容比较多,我们分了4个课时完成.下面我们组织一个小组比赛活动,同学们分小组,每个小组内一名同学说一条重要知识或公式,最先说完的小组为获胜组.【学生分小组活动,合作交流,积极发言】师:现在已经产生获胜组,请组内一名代表具体帮我们概述一下,等差数列全部的重点概念.【课堂小结】等差数列前n顶和公式的应用1.等差数列的概念.2.等差数列的性质及应用3.等差数列的前n项和公式.4.等差数列前n项和公式的性质及应用.【设计意图】通过实际例子导入、自主、情境、活动学习等方式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系,掌握在具体情境中,发现数列的等差关系,并解决相应问题,培养分析计算、简单问题解决能力、提升数学运算、数学建模核心素养.教学评价等差数列的通项公式和前项和公式本身具有很多性质,有关通项公式和前项和公式的应用问题解法角度会有多个,解决问题需应对解题策略方法有所选择.应用所学知识,完成下面各题:1.若数列为等差数列,求.思路:本题通过等差数列的概念和性质来求解通项公式.解析:方法一:令数列的首项为,公差为,则即解得方法二:∵,∴.方法三:∵为等差数列,,∴解得.方法四:∵为等差数列,∴为等差数列,∴,又.【设计意图】教师引导学生整理知识,使学生体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,提高学生的学科能力,提升核心素养.2.等差数列的前项和为,若.(1)求公差的取值范围;(2)为何值时,最大,并说明理由.思路:本题通过利用等差数列的前项和性质求基本量的取值范围和最值.解析:(1)由又由,得,代入不等式组,∴解得.(2)方法一:由(1)知:且数列是递减数列,由得即中最后一个正数项是开始为负数项,∴当时,最大.方法二:由(1)知:且数列是递减数列,若要最大,需确定数列中最后一个非负数项是第几项.由