专题28新定义压轴题-2023年北京中考真题模拟题分类汇编（原卷版）

专题28新定义压轴题一．解答题（共38小题）1．（2022•北京）在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．（1）如图，点，点在线段的延长线上．若点，点为点的“对应点”．①在图中画出点；②连接，交线段于点，求证：；（2）的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接．当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．2．（2021•北京）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦，分别是，的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．（1）如图，点，，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，的以点为中心的“关联线段”是；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；（3）在中，，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．3．（2020•北京）在平面直角坐标系中，的半径为1，，为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦，分别为点，的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．（1）如图，平移线段得到的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是；在点，，，中，连接点与点的线段的长度等于线段到的“平移距离”；（2）若点，都在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；（3）若点的坐标为，记线段到的“平移距离”为，直接写出的取值范围．4．（2019•北京）在中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧．例如，图1中是的一条中内弧．（1）如图2，在中，，，分别是，的中点，画出的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点，，，，在中，，分别是，的中点．①若，求的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围；②若在中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心在的内部或边上，直接写出的取值范围．5．（2018•北京）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离“，记作．已知点，，．（1）求（点，；（2）记函数的图像为图形．若，直接写出的取值范围；（3）的圆心为，半径为1．若，直接写出的取值范围．6．（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系中，对于点，，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．已知点．（1）在，，中，点的等和点有；（2）点在直线上，若点的等和点也是点的等和点，求点的坐标；（3）已知点和线段，对于所有满足的点，线段上总存在线段上每个点的等和点．若的最小值为5，直接写出的取值范围．7．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．（1）如图1，的半径为1，当，时，直接写出直线关于的“圆截距”；（2）点的坐标为，①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求的取值范围；②如图3，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值2，直接写出的值．8．（2022•顺义区一模）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线和线段，给出如下定义：若将线段沿直线翻折可以得到的弦，分别是，的对应点），则称线段是以直线为轴的的“关联线段”．例如：在图1中，线段是以直线为轴的的“关联线段”．（1）如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，以直线为轴的的“关联线段”是；（2）是边长为的等边三角形，点，若是以直线为轴的的“关联线段”，求的值；（3）如果经过点的直线上存在以直线为轴的的“关联线段”，直接写出这条直线与轴交点的纵坐标的取值范围．9．（2022•通州区一模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点为图形上任意一点，将点到原点的最大距离与最小距离之差定义为图形的“全距”，特别地，点到原点的最大距离与最小距离相等时，规定图形的“全距”为0．（1）如图，点，，，．①原点到线段上一点的最大距离为，最小距离为；②当点的坐标为时，且的“全距”为1，求的取值范围；（2）已知，等边的三个顶点均在半径为1的上．请直接写出的“全距”的取值范围．10．（2022•丰台区一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为轴上一点，为平面上一点．给出如下定义：若在上存在一点，使得是等腰直角三角形，且，则称点为的“等直点”，为的“等直三角形”．（1）如图，点，，，的横、纵坐标都是整数．①当时，在点，，，中，的“等直点”是；②当时，若是“等直三角形”，且点，都在第一象限，求的值．（2）若直线上存在的“等直点”，直接写出的取值范围．11．（2022•房山区一模）如图1，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于，两点在，之间）我们把点称为关于直线的“远点”，把的值称为关于直线的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为，半径为1的与两坐标轴交于点，，，．①过点作垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点（填“”，“”，“”或“”，关于直线的“特征数”为；②若直线的函数表达式为，求关于直线的“特征数”；（2）在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作．若与直线相离，点是关于直线的“远点”，且关于直线的“特征数”是，直接写出直线的函数解析式．12．（2022•平谷区一模）在平面直角坐标系中，的半径为，对于平面上任一点，我们定义：若在上存在一点，使得点关于点的对称点点在内，我们就称点为的友好点．（1）如图1，若为1．①已知点，，中，是的友好点的是；②若点为的友好点，求的取值范围；（2）已知，，线段上所有的点都是的友好点，求取值范围．13．（2022•北京一模）对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点称为线段的“等幂点”．（1）已知．①在点，，，中，线段的“等幂点”是；②若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点的坐标；（2）已知点的坐标为，点在直线上，记图形为以点为圆心，2为半径的位于轴上方的部分．若图形上存在点，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点的横坐标的取值范围．14．（2022•门头沟区一模）我们规定：在平面直角坐标系中，如果点到原点的距离为，点到点的距离是的整数倍，那么点就是点的倍关联点．（1）当点的坐标为时，①如果点的2倍关联点在轴上，那么点的坐标是；②如果点是点的倍关联点，且满足，，那么的最大值为；（2）如果点的坐标为，且在函数的图象上存在的2倍关联点，求的取值范围．15．（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系中，对于线段，直线和图形给出如下定义：线段关于直线的对称线段为，分别是，的对应点）．若与“均在图形内部（包括边界），则称图形为线段关于直线的“对称封闭图形”．（1）如图，点．①已知图形：半径为1的，：以线段为边的等边三角形，：以为中心且边长为2的正方形，在，，中，线段关于轴的“对称封闭图形”是；②以为中心的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形是线段关于直线的“对称封闭图形”，求的取值范围；（2）线段在由第四象限、原点、轴正半轴以及轴负半轴组成的区域内，且的长度为2．若存在点，，使得对于任意过点的直线，有线段，满足半径为的是该线段关于的“对称封闭图形”，直接写出的取值范围．16．（2022•西城区二模）在平面直角坐标系中，对于线段与直线，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段为，分别为点，的对应点），则称线段为线段的“，关联线段”．已知点，．（1）线段为线段的“，关联线段”，点的坐标为，则的长为，的值为；（2）线段为线段的“，关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求的度数；（3）点，，线段为线段的“，关联线段”，且当取某个值时，一定存在使得线段与线段有公共点，直接写出的取值范围．17．（2022•昌平区二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于和直线给出如下定义：若的一条边关于直线的对称线段是的弦，则称是的关于直线的“关联三角形”，直线是“关联轴”．（1）如图1，若是的关于直线的“关联三角形”，请画出与的“关联轴”（至少画两条）；（2）若中，点坐标为，点坐标为，点在直线图象上，存在“关联轴”使是的关联三角形，求点横坐标的取值范围；（3）已知，，将点向上平移2个单位得到点，以为圆心为半径画圆，，为上的两点，且（点在点右侧），若与的关联轴至少有两条，直接写出的最小值和最大值，以及最大时的长．18．（2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，，且，两点中至少有一点在外．给出如下定义：平移线段，得到线段，分别为点，的对应点），若线段上所有的点都在的内部或上，则线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．（1）如图1，点，的坐标分别为，，线段到的“平移距离”为，点，的坐标分别为，，，，线段到的“平移距离”为；（2）若点，都在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；（3）如图2，若点坐标为，线段到的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点形成的图形（不需证明）．19．（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为任意一点，为上任意一点．给出如下定义：记，两点间的距离的最小值为（规定：点在上时，，最大值为，那么把的值称为点与的“关联距离”，记作．（1）如图，点，，的横、纵坐标都是整数．①；②若点在线段上，求的取值范围；（2）若点在直线上，直接写出的取值范围；（3）正方形的边长为，若点在该正方形的边上运动时，满足的最小值为1，最大值为，直接写出的最小值和最大值．20．（2022•东城区一模）对于平面直角坐标系中的点及图形，有如下定义：若图形上存在，两点，使得为等腰直角三角形，且，则称点为图形的“友好点”．（1）已知点，，在点，，中，线段的“友好点”是；（2）直线分别交轴、轴于，两点，若点为线段的“友好点”，求的取值范围；（3）已知直线分别交轴、轴于，两点，若线段上的所有点都是半径为2的“友好点”，直接写出的取值范围．21．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线，有如下定义：过图形上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形关于直线的最佳射影距离，记作，此时点称为图形关于直线的最佳射影点．（1）如图1，已知，，写出线段关于轴的最佳射影距离，轴）；（2）已知点，的半径为，求关于轴的最佳射影距离，轴），并写出此时关于轴的最佳射影点的坐标；（3）直接写出点关于直线的最佳射影距离（点，的最大值．22．（2022•顺义区二模）在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义：为线段上任意一点，如果，两点间的距离的最小值恰好等于线段的长，则称点为线段的“等距点”．（1）已知点．①在点，，，中，线段的“等距点”是；②若点在直线上，并且点是线段的“等距点”，求点的坐标；（2）已知点，点，图形是以点为圆心，1为半径的位于轴及轴上方的部分．若图形上存在线段的“等距点”，直接写出的取值范围．23．（2022•门头沟区二模）我们规定：如图，点在直线上，点和点均在直线的上方，如果，，点就是点关于直线的“反射点”，其中点为“点”，射线与射线组成的图形为“形”．在平面直角坐标系中，（1）如果点，，那么点关于轴的反射点的坐标为；（2）已知点，过点作平行于轴的直线．①如果点关于直线的反射点和“点”都在直线上，求点的坐标和的值；②是以为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线的反射点和“点”都在直线上，且形成的“形”恰好与有且只有两个交点，求的取值范围．24．（2022•石景山区二模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”．（1）如图，点，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，，中，的“倍弦线”是；（2）的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围；（3）若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围．25．（2022•平谷区二模）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“非常距离”，记作．已知点，，连接．（1）（点，；（2）半径为，若，直接写出的取值范围；（3）半径为，若将点绕点逆时针旋转，得到点．①当时，求出此时的值；②对于取定的值，若存在两个使，直接写出的范围．26．（2022•房山区二模）对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”．例如，图1中线段为线段关于点的“垂直图形”．（1）线段关于点的“垂直图形”为线段．①若点的坐标为，则点的坐标为；②若点的坐标为，则点的坐标为；（2），，．线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为．①求点的坐标（用含的式子表示）；②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的取值范围．27．（2022•北京二模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点在图形上，点在图形上，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，的“近距离”，记为．特别地，当图形与图形有公共点时，．已知，，，．（1）（点，点，（点，线段；（2）半径为，①当时，求与正方形的“近距离”；②若，则．（3）为轴上一点，的半径为1，与正方形的“近距离”，请直接写出圆心的横坐标的取值范围．28．（2022•石景山区一模）在平面直角坐标系中，点不在坐标轴上，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，称△为点的“关联三角形”．（1）已知点，求点的“关联三角形”的面积；（2）如图，已知点，的圆心为，半径为2．若点的“关联三角形”与有公共点，直接写出的取值范围；（3）已知的半径为，，若点的“关联三角形”与有四个公共点，直接写出的取值范围．29．（2022•密云区二模）对于平面直角坐标系中的点与图形给出如下定义：在点与图形上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形关于点的“宽距”．（1）如图，的半径为2且与轴分别交于，两点．①线段关于点的“宽距”为，关于点的“宽距”为．②点为轴正半轴上的一点，当线段关于点的“宽距”为2时，求的取值范围．（2）已知一次函数的图象分别与轴、轴交于、两点，的圆心在轴上且的半径为1．若线段上的任意一点，都能使得关于点的“宽距”为2，直接写出圆心的横坐标的取值范围．30．（2022•大兴区一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，已知点，过点作直线．对于点和直线，给出如下定义：若将直线绕点顺时针旋转，直线与有两个交点时，则称是的“双关联直线”，与有一个交点时，则称是的“单关联直线”，是的“单关联线段”．（1）如图1，，当与轴重合时，设与交于，两点．则是的“关联直线”（填“双”或“单”；的值为；（2）如图2，点为直线上一动点，是的“单关联线段”．①求的最小值；②直接写出面积的最小值．31．（2022•大兴区二模）在平面直角坐标系中，对于点和直线，给出如下定义：若点在直线上，且以点为顶点的角是，则称点为直线的“关联点”．（1）若在直线上存在直线的“关联点”，则点的坐标为；（2）过点作两条射线，一条射线垂直于轴，垂足为；另一条射线交轴于点，若点为直线的“关联点”．求点的坐标；（3）以点为圆心，1为半径作圆，若在上存在点，使得的顶点为直线的“关联点”．则点的横坐标的取值范围是．32．（2022•房山区模拟）对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：在图形上存在两点，（点，可以重合），在图形上存在两点，（点，可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系．（1）如图1，点，，，，点在线段上运动（点可以与点，重合），连接，．①线段的最小值为，最大值为；线段的取值范围是；②在点，点中，点与线段满足限距关系；（2）在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与轴、轴正半轴分别交于点，，且，若线段与满足限距关系，求点横坐标的取值范围；（3）的半径为，点，是上的两个点，分别以，为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点，，和都满足限距关系，直接写出的取值范围．33．（2022•西城区校级一模）对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”．例如，图1中点为点关于点的“垂直图形”．（1）点关于原点的“垂直图形”为点．①若点的坐标为，则点的坐标为；②若点的坐标为，则点的坐标为；（2），，．线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为．①求点的坐标（用含的式子表示）；②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．34．（2022•海淀区校级一模）在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．（1）如图1，已知点，；①设点与线段上一点的距离为，则的最小值是，最大值是；②在，，，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是；（2）如图2，已知的半径为1，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是的一对平衡点，求的取值范围；（3）如图3，已知点，以点为圆心，长为半径画弧交的正半轴于点．点（其中是坐标平面内一个动点，且，是以点为圆心，半径为2的圆，若上的任意两个点都是的一对平衡点，直接写出的取值范围．35．（2022•东城区校级模拟）对于平面内的点和图形，给出如下定义：以点为圆心，以为半径作，使得图形上的所有点都在的内部（或边上），当最小时，称为图形的点控制圆，此时，的半径称为图形的点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，其中点．（1）已知点，正方形的点控制半径为，正方形的点控制半径为，请比较大小：；（2）连接，点是线段上的点，直线；若存在正方