专题05坐标系中与几何图形有关的两种必考题型-2022-2023学年八年级数学上册压轴题（北师大版成都专用）

专题05坐标系中与几何图形有关的两种题型类型一、面积问题例1.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．将向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到．(1)直接写出点的坐标；(2)在平面直角坐标系中画出；(3)若轴上有一点，且的面积与的面积相等，求点的坐标．【答案】(1)（1，2）；(2)见解析；(3)或【解析】(1)将点B（6，2）向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点的坐标为（1，2）．(2)分别将三个顶点分别向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到对应点、、，然后首尾顺次连接，则为所求作的三角形，如图所示：(3)设点P的坐标为（m，0），∵，∴，即或，解得：或，即点m的坐标为：或．例2．在平面直角坐标系中，有，，且m、n满足．直线m⊥x轴，垂足为点．(1)则m＝______，n＝______；(2)如图1，过点D作直线，交y轴于点C，过点B和点D分别作∠ABC和∠ADC的角平分线交于点E，求∠BED的度数；(3)如图2，点P为直线m上一动点，使得．请直接写出P点坐标．【答案】(1)2；2；(2)45°；(3)（2，3）；（2，11）【解析】(1)解：根据题意得：，解得：，∴．故答案为：2；2．(2)过点O作，如图所示：∵，∴，∴∠ABO＝∠BOF，∠DOF＝∠ODC，∴∠ABO+∠ODC＝∠BOF+∠DOF＝∠BOD＝90°，同理∠ABE+∠CDE＝∠BED，∵BE平分∠ABO，DE平分∠ODC，∴∠ABE＝∠ABO，∠CDE＝∠ODC，∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝∠ABO+∠ODC＝＝∠BOD＝45°(3)设P点的坐标是（2，a），①当a＜0时，过B作BM⊥直线m于M，过A作NE⊥x轴，过P作PE⊥直线m，MN交NE于N，NE交PE于E，如图所示：则四边形NEPM是矩形，∵A（−2，0），B（0，2），P（2，a），∴AN＝QM＝OB＝2，AE＝QP＝−a，BM＝OQ＝2，OA＝BN＝2，∴EN＝MP＝2−a，PE＝AQ＝2−（−2）＝4，∵S△PAB＝S矩形MNEP−S△PMB−S△BNA−S△AEP＝7，∴4×（2−a）−×2×（2−a）−×2×2−×4×（−a）＝7，解得：a＝−3，即P点的坐标是（2，−3）；

②当0＜a＜2时，过B作BM⊥直线m于M，过A作AN⊥x轴，BM交AN于N，如图所示：∵A（−2，0），B（0，2），P（2，a），∴AN＝OB＝MQ＝2，BM＝2，BN＝OA＝2，∵S△PAB＝S矩形ANMQ−S△BNA−S△BMP−S△AQP＝7，∴4×2−×2×2−×2×（2−a）−×4×a＝7，解得：a＝−3，此时不符合题意，舍去；③当a＞2时，如图所示：∵A（−2，0），B（0，2），P（2，a），∴AQ＝2−（−2）＝4，PQ＝a，OB＝2，OQ＝2，∵S△PAB＝S△PAQ−S△ABO−S梯形OBPQ＝7，∴×4×a−×2×2−×（2＋a）×2＝7，解得：a=11，∴P点的坐标是（2，11）；综合上述：在点P的坐标是（2，−3）或（2，11）时，．【变式训练1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为等腰三角形，，点B，C在X轴上，，的周长为27，D为x轴上一个动点，点D从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BC向点C运动，到点C停止，设点D的运动时间为t秒(1)求点C的坐标及AC的长．(2)当t为何值时，的面积等于面积的？并求出此时D的坐标．(3)连接AD，当t为何值时，线段AD把的周长分成15和12两部分？并求出此时D的坐标．【答案】(1)，7；(2)3.75，D的坐标；(3)t=2.5或1，D的坐标或【解析】(1)解：，则，∴；(2)解：∵△ADC的面积等于△ABC面积的，∴，，由（1）知，点，∴，D的坐标；(3)解：分两种情况：①当的周长为15，的周长为12时，，，∵从B点到D点共运动5秒，，∴，解得，，∴，∴D的坐标；②当的周长为12，的周长为15时，，，同理可得，，∴D的坐标．【变式训练2】如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．(1)求，的值及；(2)若点在轴上，且，试求点的坐标．【答案】(1)，，9；(2)点的坐标为或【解析】(1)∵，∴，．∴，，∴点，点，又∵点，∴，，∴；(2)设点的坐标为，则又∵，∴，∴．∴，即，解得：或，故点的坐标为或【变式训练3】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接AB．(1)若，求线段AB的长度；(2)若且．①当点A在直线OB上时，求a的值；②当点A不在直线OB上时，连接OA，OB，记的面积为S，若，求a的值．【答案】(1)4；(2)①1；②或【解析】(1)解：∵，∴点A的坐标为，点B的坐标为，∴；(2)解：①如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∵A在直线OB上，∴，∵点A的坐标为，点B的坐标为，∴OC=2，OD=6，AC=a，BD=b，∴，∴，∴，又∵，∴，∴；②如图1所示，当点A在OB上方时，，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴．如图2，当点A在OB下方时，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴．类型二、规律性探索问题例1．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OM0M1的直角边OM0在x轴上，点M1在第一象限，且OM0＝1，以点M1为直角顶点，OM1为一直角边作等腰直角三角形OM1M2，再以点M2为直角顶点，OM2为直角边作等腰直角三角形OM2M3，……，依此规律，则点M2021的坐标是（

）A．(，0) B．(，0) C．(，) D．(，)【答案】C【详解】解：由已知，点M每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点M到原点的距离变为转动前的倍，∵2021=252×8+5，∴点M2021的在第三象限的角平分线上，OM2020=（）2020=21010，故选：C．例2．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根据这个规律探索可得第2019个点的坐标是（

）A．（64，2） B．（64，3） C．（1010，505） D．（2021，2020）【答案】A【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2,0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点，…第n列有n个点，前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），第2016个点的坐标为（63，0）第2017个点的坐标为（64，0），第2018个点的坐标为（64，1）第2019个点的坐标为（64，2）故选：A．例3．如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：观察图形可得，A1(2,0)，A3(5,1)，A5(8,2)，…，A2n−1(3n−1,n−1)，A2(3,2)，A4(6,3)，A6(9,4)，…，A2n(3n,n+1)，∵2022是偶数，且2022=2n，∴n=1011，∴A2022(3033,1011)，故选：C．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1个单位长度，一只蚂蚁从爬到，再依次爬到……．其中，，，，则按图中所示规律，的坐标为______．【答案】【详解】解：由题意可得：四个点可作为一组循环，而所以与的横坐标相同，横坐标为，而所以的坐标为：故答案为：.【变式训练2】如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与于点成中心对称，如此作下去，则的顶点的坐标是________．【答案】【详解】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，∵2×21=3，2×0=，∴点A2的坐标是（3，），∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，∵2×43=5，2×0（）=，∴点A3的坐标是（5，），∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，∵2×65=7，2×0=，∴点A4的坐标是（7，），…，∵1=2×11，3=2×21，5=2×31，7=2×41，……，∴An的横坐标是2n1，A2n的横坐标是2×2n1=4n1，∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是，∴顶点A2n的纵坐标是，∴顶点A2n的坐标是（，）．∴点的坐标是；故答案为：．【变式训练3】如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段......，如此下去，得到线段（n为正整数），则点的坐标为________．【答案】（0，22022）【详解】解：由题意，可得，OP1=2×2=22，OP2=2×22=23，OP3=2×23=24，OP4=2×24=25，……，OPn=2n+1，∴OP2021=22022，∵每一次都旋转45°，360°÷45°=8，∴每旋转8次为一个循环组，，∴点P2021是第253组的第5次变换对应的点，在y轴的负半轴上，∴点P2021的坐标为（0，22022）,故答案为：（0，22022）．【变式训练4】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第123次运动后，动点P的坐标是______．经过第2022次运动后，动点P的坐标是______．【答案】

（123，2）

（2022，0）【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，∴横坐标为运动次数，经过第123次运动后，动点P的横坐标是123，经过