第02讲平面向量的线性运算（4大考点）（原卷版）

第02讲平面向量的线性运算（4大考点）考点考向考点考向1.平面向量的相关概念向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．2.平面向量的加减法则几个向量相加的多边形法则；向量减法的三角形法则；向量加法的平行四边形法则．3.实数与向量相乘的运算设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作．如果，且，那么的长度；的方向：当k>0时与同方向；当k<0时与反方向．如果k=0或，那么．4.实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则；；．平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使．5.单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作．由实数与向量的乘积可知：，．6.向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如、、、等，都是向量的线性运算．一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数．7.向量的合成与分解如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解考点考点精讲一．*平面向量（共7小题）1．（2022•徐汇区二模）关于非零向量、、，下列选项中错误的是（）A．如果＝，那么||＝|| B．如果、都是单位向量，那么||＝|| C．如果＝2，那么∥ D．如果＝+，那么||＝||+||2．（2022•青浦区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC至点E，使CE＝2BC，联结DE，设＝，＝，那么可表示为（）A．+2 B．﹣2 C．﹣+2 D．﹣﹣23．（2022春•浦东新区校级期末）已知点C是线段AB的中点，则＝．4．（2022•长宁区二模）如图，已知A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外的一点，BC＝2AB，＝，＝，那么等于（）A．﹣2+3 B．﹣+2 C．2﹣ D．4﹣35．（2022春•长宁区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的中点，CE交对角线BD于点F．如果＝，＝，那么用、的线性组合表示向量为（）A．﹣﹣ B．+ C．﹣﹣ D．6．（2022春•浦东新区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，联结CE、DE，设＝，＝，那么下列向量中，可表示为+的是（）A． B． C． D．7．（2022春•浦东新区校级期中）已知，非零向量，且|+|＝||+||，则一定有（）A．＝ B．∥，且，方向相同 C．＝﹣ D．∥，且，方向相反二．实数与向量相乘（共2小题）8．（2019春•徐汇区校级月考）计算2（﹣）+3＝．9．（2019秋•黄浦区期末）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝．三．平面向量定理（共2小题）10．（2019秋•闵行区校级月考）下列命题中是真命题的是（）A．若，则 B． C．若，则 D．单位向量有且只有一个11．（2019•徐汇区校级一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，点E在AB上，若AD：BC＝1：3，＝，则用表示是：＝．四．向量的线性运算（共3小题）12．（2022•黄浦区二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，＝，＝，请用向量，表示向量＝．13．（2022春•嘉定区校级期中）在△ABC中，E、F分别是边AB和AC的中点，，，那么向量用向量和表示为．14．（2022春•徐汇区校级期中）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC与BD交于点P，令，那么＝．（用向量、表示）巩固巩固提升一．选择题（共4小题）1．（2022•松江区校级模拟）如图，已知△ABC，AD为三角形ABC的中线，，，则＝（）A． B． C． D．2．（2022春•杨浦区校级月考）下列判断不正确的是（）A．＝0 B．如果，那么||＝|| C． D．如果非零向量＝k•（k≠0），那么∥3．（2022•宝山区模拟）已知单位向量与非零向量，，下列四个选项中，正确的是（）A．||＝ B．||＝ C．＝ D．＝4．（2021春•徐汇区月考）D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，＝，＝，则等于（）A． B． C． D．﹣二．填空题（共12小题）5．（2022春•浦东新区校级期中）如果||＝5，||＝3，则||的取值范围是．6．（2022•松江区二模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，设＝，＝，那么可以用，表示为．7．（2022•普陀区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．8．（2022•闵行区二模）计算：＝．9．（2022•崇明区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD中点，联结AE交对角线BD于F，设＝，＝，那么可用、表示为．10．（2022•奉贤区二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E是腰BC的中点，联结AE．如果设＝，＝，那么＝（含、的式子表示）．11．（2022•嘉定区二模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝2DC，设向量＝，＝，那么向量＝（结果用、表示）．12．（2022•宝山区二模）如图，已知AC、BD是梯形ABCD的对角线，AD∥BC，BC＝2AD，如果设＝，＝，那么向量用向量、表示为．13．（2022•虹口区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．14．（2022春•金山区月考）如图，已知AC、BD是平行四边形ABCD的对角线．设向量＝，向量＝，那么向量可以表示为（用向量、表示）．15．（2022•宝山区模拟）如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，如果＝，那么＝（用表示）．16．（2022•宝山区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，如果，，用含、的式子表示向量＝．三．解答题（共8小题）17．（2021秋•闵行区校级月考）如图，已知两个不平行的非零向量和．先化简，再在方格中求作：（3﹣）﹣（2+5）．（写出结论，不要求写作法）18．（2021秋•奉贤区校级期中）如图，已知平面内两个不平行的向量、，求作：2（﹣）+3．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）19．（2021•上海模拟）如图，已知两个不平行的向量先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）20．（2021秋•松江区校级期中）如图，是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且，CE交BD点E，BF＝15．（1）求DF的长；（2）如果＝，＝，用、表示向量．21．（2021春•普陀区期末）如图，在四边形ABCD中．（1）用图中的向量表示：++＝；（2）用图中的向量表示：﹣＝；（3）在作图区内求作并写结论：+．22．（2022春•浦东新区校级期中）如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD上．（1）填空：＝；＝；（2）求作：．（不写作法，保留