专题2.2基本不等式-原卷版

专题2.2基本不等式【基本知识梳理】知识点1：两个不等式（1）重要不等式：一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．（2）基本不等式：一般地，如果a>0，b>0，则eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．【特别注意】①其中，eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．②两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．③“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).知识点2：基本不等式的证明方法一(作差法)eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)＝eq\f(a＋b－2\r(ab),2)＝eq\f(\r(a)2－2\r(ab)＋\r(b)2,2)＝eq\f(\r(a)－\r(b)2,2)≥0，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立．方法二(性质法)要证eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，只需证2eq\r(ab)≤a＋b，只需证2eq\r(ab)－a－b≤0，只需证－(eq\r(a)－eq\r(b))2≤0，显然(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立．方法三(利用几何意义证明)如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝eq\r(ab)，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，由此也可以得出圆的半径不小于半弦．知识点3：基本不等式与最值（1）已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.【特别注意】从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．（2）利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【题型1对基本不等式的理解】【例1】（20232024∙全国∙高一A．对∀a，b∈R，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立B．若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2eq\r(ab)C．对∀a，b∈R，a2＋b2≥2abD．若x>2，则x＋eq\f(1,x)≥2中可以取等号【变式11】（20222023∙安徽∙高三上∙A. B.C. D.【变式12】（20222023∙西藏林芝∙高一上∙A．若a>0,b>0，且a+b=16，则ab≤64B．若a≠0，则a+C．若a,b∈R，则D．对任意a,b∈R，a【变式13】（20232024∙浙江∙高二上∙期中）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，取弧的中点，连接，则该图形可以完成的所有无字证明为（）A. B.C. D.【题型2由基本不等式比较大小】【例2】（20232024∙云南昆明∙高一上∙期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有m1L1=m2L2，其中A．等于10g B．小于10g C．大于10【变式21】（20232024∙湖北恩施州∙高一上∙月考A． B．C． D．【变式22】（20232024∙安徽亳州∙高三上∙期中）（多选）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【变式23】（20232024∙上海交通大学附属中学∙高一上∙月考A.先提价，再提价 B.先提价，再提价C.分两次，都提价 D.分两次，都提价【题型3利用基本不等式求和的最值】【例3】（20232024∙上海嘉定区∙高一上∙期中）已知【变式31】（20232024∙山东济宁∙高一上∙期中）若A.8 B.4 C.2 D.0【变式32】（20232024∙天津河西区∙高一上∙期中）已知【变式33】（20232024∙浙江强基联盟∙高一下∙期中）若实数A．23 B．23−1 C．2【题型4利用基本不等式求积的最值】【例4】（20232024∙北京市昌平区∙高二下∙期末A. B. C. D.1【变式41】（20232024∙广东韶关∙高一上∙月考）已知A．−3 B．−2 C．−1 D．0【变式42】（20232024∙湖北鄂西北六校∙高一上∙期中）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（

A．8 B．10 C．12 D．14【变式43】（20232024∙湖南∙高一下∙联考）已知A.4 B.6 C.8 D.2【题型5条件等式求最值】【例5】（20232024∙山东济宁邹城∙高一上∙期中）已知，，且，则的最小值是【变式51】（20232024∙安徽∙高一上∙期中）若a，b均为正实数，【变式52】（20232024∙山东滨州∙高二下∙期末）若正实数a,b，满足A．9 B．6 C．3 D．2【变式53】（20232024∙山东济宁兖州∙高一上∙期中）（多选）对任意x，A. B. C. D.【题型6基本不等式“1”的妙用求最值】【例6】（20232024∙山东∙高一上∙期中）若，且，则【变式61】已知正实数满足，则的最小值为__________.【变式62】（20232024∙福建∙高一下∙期中）已知，，，则的最小值为（A.2 B.1 C. D.【变式63】（20232024∙山东临沂莒南（1）已知，求函数的最大值；（2）已知，且，求的最小值．【题型7基本不等式的恒成立问题】【例7】（20232024∙云南昆明∙高一上∙期中）已知，若恒成立，写出符合条件的正整数【变式71】（20232024∙天津∙高一上∙期中）已知，若不等式恒成立，则实数m【变式72】（20232024∙云南玉溪∙高一上∙期中）已知且恒成立，实数的最大值是【变式73】（20232024∙河南信阳∙高一上∙期中）已知，（1）求的最小值及此时x，y的取值；（2）不等式恒成立，求实数m的取值范围．【题型8基本不等式的实际应用】【例8】（20232024∙新疆乌鲁木齐∙高一上∙期末）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为（1）将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围；（2）当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值.【变式81】（20232024∙湖北荆州∙高一上∙月考）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200（1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；（2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.【变式82】（20232024∙山东∙高一上∙期中(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.【变式83】（20232024∙山东青岛∙高一上∙月考）（1）一家商店使用一架两臂不等长的天平（左臂长acm大