专题15整式的加减（1个知识点4种题型1种中考考法）

专题15整式的加减（1个知识点4种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.整式的加减运算（难点）【方法二】实例探索法题型1.代数式的化简求值题型2.整式加减的应用题型3.整式代入法求值题型4.整式加减中的看错符号问题【方法三】仿真实战法考法.整式的加减【方法四】成果评定法【学习目标】会进行整式的加、减运算。能说明整式加、减中每一步运算的算理，逐步发展有条理思考和表达的能力。会进行代数式的化简求值。能利用整式的加减加减简单实际问题。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.整式的加减运算（难点）一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．要点：（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．【例1】设A=，B=，(1)求A+B；(2)当＝1时，A+B=10，求代数式的值【答案】（1）；（2）8【分析】（1）根据合并同类项的性质计算，即可得到答案；（2）根据含乘方的有理数混合运算、代数式的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）∵A=，B=∴；（2）∵＝1时，A+B=10∴∴∴．【点睛】本题考查了合并同类项、含乘方的有理数混合运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握合并同类项、含乘方的有理数混合运算、代数式的性质，从而完成求解．【变式1】求多项式3x2+5x与多项式6x2+2x+3的和与差.解：3x2+5x+（6x2+2x+3）=3x2+5x6x2+2x+3=3x2+7x+3．

3x2+5x（6x2+2x+3）=3x2+5x+6x22x3=9x2+3x3．．【答案与解析】解：在解答此题时应先根据题意列出代数式，注意把加式、和式看作一个整体，用括号括起来，然后再进行计算，在计算过程中找同类项，可以用不同的记号标出各同类项，减少运算的错误．答：所求多项式为．【总结升华】整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．【变式3】化简：(1)15+3(1x)(1x+x2)+(1x+x2x3).(2)3x2y[2x2z(2xyzx2z+4x2y)].(3)3[(a2+1)(2a2+a)+(a5)].(4)ab{4a2b[3a2b(2aba2b)+3ab]}.【答案】解：(1)15+3(1x)(1x+x2)+(1x+x2x3)＝15+3(1x)(1x+x2)+(1x+x2)x3＝183xx3..……整体合并，巧去括号(2)3x2y[2x2z(2xyzx2z+4x2y)]＝3x2y2x2z+(2xyx2z+4x2y)……由外向里，巧去括号＝3x2y2x2z+2xyzx2z+4x2y＝7x2y3x2z+2xyz.(3).(4)ab{4a2b[3a2b(2aba2b)+3ab]}＝ab4a2b+3a2b2ab+a2b+3ab……一举多得，括号全脱＝2ab.【方法二】实例探索法题型1.代数式的化简求值【例2】化简求值：eq\f(1,2)a－2(a－eq\f(1,3)b2)－(eq\f(3,2)a＋eq\f(1,3)b2)＋1，其中a＝2，b＝－eq\f(3,2).解析：原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．解：原式＝eq\f(1,2)a－2a＋eq\f(2,3)b2－eq\f(3,2)a－eq\f(1,3)b2＋1＝－3a＋eq\f(1,3)b2＋1，当a＝2，b＝－eq\f(3,2)时，原式＝－3×2＋eq\f(1,3)×(－eq\f(3,2))2＋1＝－6＋eq\f(3,4)＋1＝－4eq\f(1,4).方法总结：化简求值时，一般先将整式进行化简，当代入求值时，要适当添上括号，否则容易发生计算错误，同时还要注意代数式中同一字母必须用同一数值代替，代数式中原有的数字和运算符号都不改变．【变式1】求的值,其中.解：原式=3x+y²，当x=2，y=时，原式=6.【变式2】先化简，再求各式的值：．【答案与解析】解：原式将代入，得：.【总结升华】化简求值题一般采用“一化二代三计算”，此类题最后结果的书写格式一般为：当……时，原式=？【变式3】已知多项式与的差的值与字母无关，求代数式：的值．【答案与解析】解：.由于多项式与的差的值与字母无关，可知：，，即有.又,将代入可得：.【总结升华】本例解题的关键是多项式的值与字母x无关．“无关”意味着合并同类项后，其结果不含“x”的项，所以合并同类项后，让含x的项的系数为0即可．题型2.整式加减的应用【例3】如图，小红家装饰新家，小红为自己的房间选择了一款窗帘(阴影部分表示窗帘)，请你帮她计算：(1)窗户的面积是多大？(2)窗帘的面积是多大？(3)挂上这种窗帘后，窗户上还有多少面积可以射进阳光．解析：(1)窗户的宽为b＋eq\f(b,2)＋eq\f(b,2)＝2b，长为a＋eq\f(b,2)，根据长方形的面积计算方法求得答案即可；(2)窗帘的面积是2个半径为eq\f(b,2)的eq\f(1,4)圆的面积和一个直径为b的半圆的面积的和，相当于一个半径为eq\f(b,2)的圆的面积；(3)利用窗户的面积减去窗帘的面积即可．解：(1)窗户的面积是(b＋eq\f(b,2)＋eq\f(b,2))(a＋eq\f(b,2))＝2b(a＋eq\f(b,2))＝2ab＋b2；(2)窗帘的面积是π(eq\f(b,2))2＝eq\f(1,4)πb2；(3)射进阳光的面积是2ab＋b2－eq\f(1,4)πb2＝2ab＋(1－eq\f(1,4)π)b2.方法总结：解决问题的关键是看清图意，正确利用面积计算公式列式即可．【变式1】一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元.小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3支.买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？解：根据题意列得：（3x+2y）+（4x+3y）=7x+5y，则小红与小明一共花费（7x+5y）元．【变式2】做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）:长宽高小纸盒abc大纸盒1.5a2b2c（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？解：（1）做这两个纸盒共用料（单位：cm2）（2ab+2bc+2ac）+（6ab+8bc+6ca）=8ab+10bc+8ac.

（2）做大纸盒比做小纸盒多用料（单位：cm2）（6ab+8bc+6ca）（2ab+2bc+2ca）=4ab+6bc+4ac.【变式3】某公司计划砌一个形状如下图（1）的喷水池，后有人建议改为如下图（2）的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需用的材料多（即比较两个图形的周长）？若将三个小圆改为n个小圆，又会得到什么结论？思路点拨：设大圆半径为R，小圆半径依次为r1，r2，r3，分别表示两个图形的周长，再结合r1+r2+r3=R，化简式子比较大小.设大圆半径为R，小圆半径依次为r1，r2，r3，则图（1）的周长为4πR，图（2）的周长为2πR+2πr1+2πr2+2πrr3=2πR+2π（r1+r2+r3），因为2r1+2r2+2r3=2R，所以r1+r2+r3=R，因此图（2）的周长为2πR+2πR=4πR．两种方案，用材料一样多.将三个小圆改为n个小圆，用料还是一样多．

题型3.整式代入法求值【例4】已知3a24b2＝5，2a2+3b2＝10．求：(1)15a2+3b2的值；(2)2a214b2的值．【答案与解析】显然，由条件不能求出a、b的值．此时，应采用技巧求值，先进行拆项变形．解：(1)15a2+3b2＝3(5a2b2)＝3[(3a2+2a2)+(4b2+3b2)]＝3[(3a24b2)+(2a2+3b2)]＝3×(5+10)＝45；(2)2a214b2＝2(a27b2)＝2[(3a22a2)+(4b23b2)]＝2×[(3a24b2)(2a2+3b2)]＝2×(510)＝10．【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．【变式】当时，多项式的值是0，则多项式．【答案】∵，∴，即．∴．题型4.整式加减中的看错符号问题【例5】有这样一道题“当a＝2，b＝－2时，求多项式3a3b3－eq\f(1,2)a2b＋b－(4a3b3－eq\f(1,4)a2b－b2)＋(a3b3＋eq\f(1,4)a2b)－2b2＋3的值”，马小虎做题时把a＝2错抄成a＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．解析：先通过去括号、合并同类项对多项式进行化简，然后代入a，b的值进行计算．解：3a3b3－eq\f(1,2)a2b＋b－(4a3b3－eq\f(1,4)a2b－b2)＋(a3b3＋eq\f(1,4)a2b)－2b2＋3＝(3－4＋1)a3b3＋(－eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,4))a2b＋(1－2)b2＋b＋3＝b－b2＋3.因为它不含有字母a，所以代数式的值与a的取值无关．方法总结：解答此类题的思路就是把原式化简，得到一个不含指定字母的结果，便可说明该式与指定字母的取值无关．【方法三】仿真实战法考法.整式的加减1．（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为．【分析】现根据题意列出算式，再去掉括号合并同类项即可．【解答】解：由题意得，这个多项式为：（2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8）＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8＝y2﹣xy+3．故答案为：y2﹣xy+3．【点评】本题考查整式的加减法，能根据题意列出算式是解答本题的关键．2．（2023•泰州）若2a﹣b+3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为．【分析】直接利用整式的加减运算法则化简，进而把已知代入得出答案．【解答】解：2（2a+b）﹣4b＝4a+2b﹣4b＝4a﹣2b＝2（2a﹣b），∵2a﹣b+3＝0，∴2a﹣b＝﹣3，∴原式＝2×（﹣3）＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题主要考查了整式的加减—化简求值，正确合并同类项是解题关键．3．（2023•沈阳）当a+b＝3时，代数式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值为．【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得﹣a﹣b+5，再把前两项提取﹣1，然后把a+b的值代入可得结果．【解答】解：2（a+2b）﹣（3a+5b）+5＝2a+4b﹣3a﹣5b+5＝﹣a﹣b+5＝﹣（a+b）+5当a+b＝3时，原式＝﹣3+5＝2．故答案为：2．【点评】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键．4．（2022•吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．例：先去括号，再合并同类项：m（A）﹣6（m+1）．解：m（A）﹣6（m+1）＝m2+6m﹣6m﹣6＝．【分析】根据题意合并同类项即可．【解答】解：由题知，m（A）﹣6（m+1）＝m2+6m﹣6m﹣6＝m2﹣6，∵m2+6m＝m（m+6），∴A为：m+6，故答案为：m2﹣6．【点评】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的运算是解题的关键．5．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）要使多项式化简后不含x的二次项，则m等于（

）．A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】先求出二次项的系数，然后令系数为0，求出m的值．【详解】解：，因为多项式化简后不含x的二次项，则有，解得：．故选：B．【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是得到二次项的系数．2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）一个两位数，个位数字是a，十位数字比个位数字小2，这个两位数可表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得：十位数字为，从而得到这个两位数可表示为，即可求解．【详解】解：∵个位数字为a，十位数比个位数字小2，∴十位数字为，∴这个两位数可表示为．故选：D．【点睛】本题主要考查了列代数式，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．3．（2023秋·江苏扬州·七年级统考期末）两个正方形如图摆放，大正方形的边长是4，小正方形边长是2，两阴影部分的面积分别为，，则两阴影部分的面积差为（

）A．14 B．12 C．10 D．无法计算【答案】B【分析】设空白部分的面积为x，根据题意列出关系式，相减即可求出的值．【详解】设空白部分的面积为x．根据题意，得，，则，，所以．故选：B．【点睛】本题考查了整式的加减，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．4．（2023秋·江苏·七年级专题练习）已知，，则的结果为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据整式的加减计算法则求解即可．【详解】解：∵，，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．5．（2023秋·江苏·七年级专题练习）墨迹覆盖了等式“”中的多项式，则覆盖的多项式为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据整式的加减运算法则即可求解．【详解】解：设被覆盖的多项式为，则，，覆盖的多项式为，故选：D．【点睛】本题主要考查了多项式减多项式，掌握相关的法则是解题的关键．6．（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图1，将一个边长为的正方形纸片剪去两个矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图形表示出新矩形的长与宽，即可确定出周长．【详解】解：根据题意可得：新矩形的长为，宽为，则新矩形的周长为：，故选：C．【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图，阴影部分的周长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】将图中阴影部分每一条线段相加即可．【详解】解：根据题意，阴影部分的周长为：．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了列代数式，需要掌握矩形的性质和多边形的周长公式．8．（2023·江苏·七年级假期作业）已知，，则式子的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意用第一个等式减去第二个等式的2倍，得到，然后代入求解即可．【详解】第一个等式减去第二个等式的2倍，得，∴．故选：B．【点睛】此题考查了整式的加减混合运算以及代入求值，解题的关键是熟练掌握以上知识点．9．（2023秋·江苏·七年级专题练习）一根铁丝正好围成一个长方形，一边长为，另一边比它长，则长方形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据长方形的周长等于（长+宽），从而可得答案．【详解】解：∵一个长方形，一边长为，另一边比它长，∴另一边为：，∴长方形的周长为：．故选A．【点睛】本题考查的是整式的加减运算的应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．10．（2023秋·江苏·七年级专题练习）若代数式的值与x、y的取值无关，那么k的值为（

）A． B．1 C． D．0【答案】A【分析】合并同类项后，的系数为0，进行求解即可．【详解】解：，∵代数式的值与x、y的取值无关，∴，∴；故选A．【点睛】本题考查整式加减中的无关型问题．熟练掌握合并同类项后，无关项的系数为0，是解题的关键．二、填空题11．（2023·江苏·七年级假期作业）若，则m与n的差是（用含a，b的式子表示）．【答案】/【分析】根据整式减法运算法则计算即可．【详解】解：由题意可知：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，灵活运用整式的减法运算法则和去括号法则是解答本题的关键．12．（2023·江苏·七年级假期作业）已知，．若的值与x的取值无关，则．【答案】2【分析】先化简，再令x的系数为0即可求出k的值．【详解】∵，，∴，，，∵的值与的值无关，∴，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查多项式的运算，解题的关键是理解题意，根据的值与的值无关得到．13．（2023秋·江苏·七年级专题练习）长方形的一边长为，另一边比该边大，则长方形的周长为【答案】/【分析】根据题意列出代数式，去括号合并即可得到结果．【详解】解：根据题意知矩形的另一边为，所以这个长方形的周长为，故答案为∶．【点睛】本题主要考查代数式及整式的加减，熟练掌握去括号法则是解题的关键．14．（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：），用式子表示这所住宅的建筑面积为．【答案】/【分析】根据这所住宅的建筑面积等于大长方形的面积减去左上角的小长方形的面积，即可求解．【详解】解：如图，这所住宅的建筑面积为m2故答案为：【点睛】本题主要考查了用代数式表示图形面积以及整式的加减计算，解题的关键在于能够根据题意表示出四个小长方形的面积．15．（2023秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）数a，b在数轴上所表示的点的位置如图所示，则化简的结果是．【答案】a【分析】先根据数轴的定义得出有理数a，b的符号和绝对值大小，从而可得，的正负，再进行绝对值运算即可．【详解】解：由数轴的定义得：，∴，∴，故答案为：a．【点睛】本题考查了数轴的定义、绝对值的化简、整式的加减，掌握理解数轴的定义是解题关键．16．（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图，阴影部分的面积是．

【答案】【分析】将阴影部分的面积转化为两个长方形的面积之和，进行求解即可．【详解】解：如图：

阴影部分的面积．故答案为：．【点睛】本题考查整式的运算与图形的面积问题．解题的关键是将阴影部分的面积转化为2个长方形的面积之和．17．（2023秋·江苏扬州·七年级校考期末）同一数轴上有点，分别表示数，，且，满足等式，点表示的数是多项式的一次项系数，点，，在数轴上同时开始运动，点向左运动，速度为每秒个单位长度，点，均向右运动，速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度，设运动时间为秒．若存在使得的值不随时间t的变化而改变，则的值为．【答案】【分析】根据，则，；根据点表示的数多项式的一次项系数，得点为；根据题意，得表示的数为：；表示的数为：，表示的数为：；则，；根据的值不随时间t的变化而改变，求出，即可求出的值．【详解】∵，∴，，∴，，∵点表示的数多项式的一次项系数，∴点为，∵点向左运动，速度为每秒个单位长度，点，均向右运动，速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度，设运动时间为秒，∴表示的数为：；表示的数为：，表示的数为：，∴，，∴，，，∵当使得的值不随时间t的变化而改变，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查数轴上的动点问题，整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减运算，动点的运动轨迹，数轴的性质．18．（2023秋·江苏·七年级专题练习）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则．1674【答案】39【分析】设第一列中间的数为，则三个数之和为，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案．【详解】解：如图，设第一列中间的数为，则三个数之和为，可得：1674∴，故答案为：39【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关键．三、解答题19．（2023秋·江苏·七年级专题练习）化简：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）去括号、合并同类项，将结果按的降(升)幂排列即可；（2）去括号、合并同类项，将结果按的降(升)幂排列即可．【详解】（1）解：原式，，，；（2）解：原式，，．【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，掌握运算的步骤是解题的关键．20．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）试说明：无论取何值，代数式的值不变．【答案】证明见解析【分析】根据整式的加减运算计算即可得出答案．【详解】解：原式，∴无论取何值，原式的值不变．【点睛】本题考查整式的加减混合运算，正确计算是解题的关键．21．（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）求的值，其中．【答案】，【分析】去括号，合并同类项，代入求值即可．【详解】解：当，∴．【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握整式的运算法则，代入求值的方法是解题的关键．22．（2023秋·江苏·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值．【详解】解：原式，当，时，原式．【点睛】本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”