专题01实数教材讲练-2021-2022学年七年级数学下册高频考点专题突破（人教版）（原卷版）

专题01实数教材同步讲练知识点11算术平方根1）算术平方根概念：一个正数的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫作a的算术平方根。其中，a叫作被开方数，规定0的算术平方根为0。记作a注：=1\*GB3①“”表示的是算术平方根（与后面的平方根注意区分）=2\*GB3②a0，x0。负数没有算术平方根（因为x20）2）常见算术平方根表：被开方数149162536496481100算术平方根12345678910被开方数121144169196225256289324361400算术平方根11121314151617181920例1．（2021·河南濮阳市·七年级期中）的算术平方根为（）A． B． C． D．变式1．（2021·朔州市第二中学校初中部七年级期中）1.96的算术平方根是（）A．0.14 B．1.4 C． D．±1.4例2．（2020·岑溪市第六中学初二月考）下列说法正确的是（）A．﹣6是36的算术平方根 B．±6是36的算术平方根C．是36的算术平方根 D．6是36的算术平方根变式2．（2021·西宁市海湖中学七年级期中）下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③(π－4)2的算术平方根是π－4；④算术平方根不可能是负数，其中不正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式3．（2020·内蒙古科尔沁右翼前旗初二期中）下列语句、式子中①4是16的算术平方根，即②4是16的算术平方根，即③7是49的算术平方根，即④7是的算术平方根，即其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．①④例3．（2021·平泉市教育局教研室七年级期末）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A．2 B．1.5 C． D．变式4．（2021·西宁市海湖中学七年级期中）如果一个正方形的面积为3，则这个正方形的边长是_______．知识点12平方根1）平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根或者二次方根。求一个数a的平方根的运算，叫作开平方。注：=1\*GB3①“”表示算数平方根的意思，平方根表示为“”=2\*GB3②正数的平方根有两个，它们互为相反数。且正数根即为算术平方根；=3\*GB3③0的平方根和算术平方根都为0；=4\*GB3④负数没有平方根和算术平方根。2）特点：算术平方根是平方根正值部分；平方根是算术平方根及其相反数。3）产生的原因：若a>0；（a）1=a1；（a）2=a2；（a）3=a3；（a）4=a4奇数次方时，符号不变，结果仍为负数；偶数次方时，值变为正数（与正数的对应次方的值相同）因此，奇数次方，一个数对应一个结果；偶数次方，两个数对应一个结果，且这两个数互为相反数。4）开方是次方的逆运算。5）预测：=1\*GB3①奇数次开方，没有算术平方根与平方根区别，结果仅为一个值；=2\*GB3②偶数次开方，会存在两值的情况。例1．（2021·河南七年级期中）“49的平方根是”的表达式正确的是（）A． B． C． D．变式1．（2020·广东白云初二期末）下列说法正确的是（）A．的平方根是 B．的平方根 C．的平方根 D．的平方根变式2．（2021·成都市初二课时练习）下列说法正确的是()A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根例2．（2021·黑龙江甘南初二期末）的平方根是____．变式3．（2021·辽宁八年级期末）（﹣）2的平方根是（）A．﹣ B． C．± D．±变式4．（2021·湖北七年级期中）的平方根是（）A． B． C．± D．±例3．（2021·山西浑源初二期中）下列各式正确的是（）A．B．C．D．变式5．（2021·湖北七年级期末）下列各式中，正确的是（）A． B． C． D．变式6．（2021·北京海淀·七年级期中）下列各数中一定有平方根的是（）A． B． C． D．例4．（2021·广东）若一个正数m的两个平方根分别是a1和42a，则m的值为________．变式7．（2021·湖南七年级期末）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数．小达的解法如下：依题意可知：解得：则：，所以这个正数为．王老师看后说，小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法．变式8．（2021·山东七年级期中）中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个正数是___．例5．（2021·舒兰市教师进修学校七年级期末）利用平方根的意义求方程中的值．变式9．（2021·浙江七年级期中）若，则x的值是_________．知识点13算术平方根的性质及应用1）算术平方根a有意义，存在“双重非负性”：=1\*GB3①a≥0；=2\*GB3②a≥0例1．（2021·四川北大附中成都为明学校八年级期中）已知，求的平方根．变式1．（2021·张家港市梁丰初级中学八年级月考）若为实数，且满足，则的值是___________．变式2．（2021·四川省绵阳外国语学校八年级期中）已知a2+＝4a﹣4，则的平方根是________．例2．（2021·全国八年级专题练习）已知和互为相反数，且，求的值．变式3．（2021·四平市第三中学校初二月考）已知与与是互为相反数．求：4a+b的平方根．例3．（2021·湖北）已知为正数，且，如果以的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为__________．变式4．（2021·黑龙江八年级期末）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长是_____．知识点14立方根1）立方根的概念：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根，a叫作被开立方数，求数x的过程的运算叫作开立方。记作：2）立方根的特点：=1\*GB3①3a，a可以为任意数（a>0，a=0，a<0）=2\*GB3②&正数的立方根为正数&负数的立方根为负数&=3\*GB3③3-a=3）比较平方根立方根表示 范围 a0 a为任意数值 两个值 唯一值例1.（2021•白云区期末）下列说法正确的是（）A．64的立方根是±364=±4 B．-12C．3-27=-327 D变式1．（2021·山东单县初二期末）下列语句正确的是__________（只填序号）．①的算术平方根是2；②36的平方根是6；③的立方根是；④的立方根是例2.（2021春•仓山区期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（）A．a是﹣b的立方根 B．a是b的立方根 C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根变式2．（2020·河北省初二期中）一个自然数的立方根为a，则下一个自然数的立方根是（）A．a+1 B． C． D．a3+1变式3．（2021·福建漳州市·八年级期中）按照下列程序进行计算，最后输出的答案是（）A． B． C． D．例3．（2021·民勤县第六中学七年级期中）的平方根是______．＝______．变式4．（2020·四川凉山初二期末）的算术平方根是______，立方根是它本身的数是________．例4．（2021·山东七年级期中）一般的，如果，则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个，它们互为相反数，记为，若，则m=______．变式5．（2021·山东七年级期中）本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：平方根立方根定义一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．运算求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算．求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算．性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．表示方法正数a的平方根可以表示为“±”．一个数a的立方根可以表示为“”．今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索：（1）探索定义：填写下表：x411681x类比平方根和立方根，给四次方根下定义：（2）探究性质①1的四次方根是；②16的四次方根是；③的四次方根是；④12的四次方根是；⑤0的四次方根是；⑥﹣625（填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：．（3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：．变式6．（2021·上海七年级期中）的四次方根是__________．例5．（2021·山西浑源初二期中）求下列各式中的x值:（1）16（x+1）2＝25;（2）8（1﹣x）3＝125变式7．（2021·朔州市第二中学校初中部七年级期中）求出下列各式中的x的值．（1）（2）知识点15有理数与无理数1）无理数：无限不循环小数。例：等注：=1\*GB3①分数都是有限小数或无限循环小数=2\*GB3②两个无理数之间运算，结果可能是有理数。例：×（两个有理数之间运算，结果仍然是有理数）2）有理数：整数和分数的集合例1．（2021·湖北七年级期末）有下列各数：﹣，，0.02002000200002…（相邻两个2之间0的个数依次多1），﹣8，3，，．其中，无理数的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5变式2．（2021·诸暨市开放双语实验学校七年级期中）下列各数中有理数有（）个，1，，3.14，，，，3.131131113……(两个3之间依次多1个1)A．3个 B．4个 C．5个 D．6个例2．（2021·黄梅县教育科学研究所七年级期末）下列判断：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数分为正实数和负实数；③2的算术平方根是；④无理数是带根号的数．正确的是（）A．① B．② C．③ D．④变式2．（2020·黑龙江甘南初二期末）下列说法中正确的是（

）A．无限小数是无理数 B．用根号形式表示的数是无理数C．无理数是无限小数 D．无理数是开方开不尽的数例3．（2020·河北省初三一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③变式3．（2021·河北八年级期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（）A．﹣ B． C．﹣2 D．2例4．（2021·重庆七年级期中）（发现）①；②；③；④；；根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：________．（归纳）等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则；（应用）根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：若与的值互为相反数，求的值．知识点16实数的分类1）实数：有理数和无理数统称为实数2）分类：实数&有理数&整数&分数每个实数都可以用数轴上的一个点来表示:反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的.因此，数轴正好可以被实数填满.例1．（2021·南丹县教学研究室七年级期末）把下列各数填在相应的大括号里：，，0，，，，，3.24，．整数：；负分数：；无理数：．变式1．（2021.河北省初二期中）把下列各数填入相应的集合圈里（填序号）⑴﹣30⑵⑶3.14⑷⑸0⑹+20⑺﹣2.6⑻⑼⑽⑾﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）⑿⒀例2．（2021·全国初二单元测试）下列说法中，正确的是（）A．实数可分为正实数和负实数 B．、、都是无理数C．绝对值最小的实数是 D．无理数包括正无理数，零和负无理数例3．（2021·湖南雨花·初二期末）有下列六种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．其中说法错误的有（）A．⑤ B．②⑤ C．②④⑥ D．①②③④变式3．（2021·福建七年级期中）与数轴上的点是一一对应的是（）A．有理数 B．整数 C．自然数 D．实数变式4．（2021·全国八年级专题练习）下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17的平方根是﹣，其中正确的是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个例4．（2021·湖南永州市·八年级期中）如图，在数轴上作以边长为1的正方形，点在原点上，若，数轴上点对应的数是（）A．B．C．D．1.4变式5．（2021·广西壮族自治区初二期中）我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：(1)线段OA的长度是多少?(要求写出求解过程)(2)这个图形的目的是为了说明什么?(3)这种研究和解决问题的方式体现了的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)A．数形结合B．代入C．换元D．归纳知识点17实数的有关概念及运算1）在实数范围内，相反数、倒数绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全相同、2）实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。例1．（2021·厦门市湖滨中学初二期中）计算下列各题：（1）4的平方根是______；（2）25的算术平方根是____；（3）8的立方根是______；（4）的相反数是_____；（5）的绝对值是_____；（6）___3；（填＞，＜或＝)变式1．（2021·福建漳州市·八年级期中）下面与互为相反数的是（）A． B． C．5 D．变式2．（2021·全国初二课时练习）的算术平方根的倒数是（）A．4 B． C．2 D．变式3．（2021·辽宁）的倒数是____，3﹣的绝对值是______．例2．（2021·河北八年级期中）＝______．变式4．（2021·吉林八年级期中）的绝对值是______．例3．（2021·山东八年级期中）计算下列各题：（1）；（2）变式5．（2021·安徽七年级期中）计算﹣﹣的结果为（）A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10变式6．（2021·南丹县教学研究室七年级期末）计算：_______知识点18实数的大小比较与估算1）数轴法在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，2）利用法则正实数都大于0，负实数都小于0;正实数大于一切负实数:两个负实数相比较，绝对值大的反而小.3）要估算3a的近似值，第一步先确定估算数的整数范围，如23＜10＜33第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1），并求其立方确定估算数的十分位；后续小数重复如上步骤。平方根的估算同理可得。例1．（2021·四川省崇庆中学初中校区初二月考）比较实数的大小:(1)___；（2）___变式1．（2021·云南临沧市·七年级期中）比较：______（填“”“”或“”）变式2．（2021·广州市番禺区市桥东风中学七年级期中）比较大小