2024-2025学年讲义数学（选择性人教A版2019）第03讲1.2空间向量基本定理

第03讲1.2空间向量基本定理课程标准学习目标①理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义。②理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量。③会用相关的定理解决简单的空间几何问题。1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点01：空间向量基本定理1、空间向量基本定理如果向量三个向量a,b,c,不共面，那么对空间任意向量2、基底与基向量如果向量三个向量a,b,c,不共面，那么所有空间向量组成集合就是pp=xa对基底正确理解，有以下三个方面：（1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；（2）因为0可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；（3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念．【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且NENM=13，用向量表示OE

A．OE=16C．OE=16【答案】D【详解】因为NENM=1所以OM−ON=3(又OM=所以OE=故选：D

知识点02：空间向量的正交分解1、单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,2、正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yi，zk使得我们把x,y,z称作向量在单位正交基底{i,j,k}下的坐标．记作a=x,y,z此时向量a的坐标恰是点a在空间直角坐标系Oxyz3、特殊向量的坐标表示（1）当向量a平行于x轴时，纵坐标、竖坐标都为0，即a（2）当向量a平行于y轴时，纵坐标、横坐标都为0，即a（3）当向量a平行于z轴时，横坐标坐标、纵坐标都为0，即a（4）当向量a平行于xOy平面时，竖坐标为0，即a（5）当向量a平行于yOx平面时，横坐标为0，即a（6）当向量a平行于xOz平面时，纵坐标为0，即a题型01空间向量基底的概念及辨析【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知a,A．a,a−C．2a+2b【答案】B【详解】因为a−2b=3因为不是共面向量，所以可以构成基底，B正确；因为2a+2b与a因为a+c+故选：B.【典例2】（多选）（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）设且a,bA．a,b,C．b,c,【答案】BCD【详解】如图所示，令a=AB,b=由A、B1、C、D1四点不共面知：向量x,同理b,c,故选：BCD【变式1】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）a,A．a，a+b，a−b B．bC．c，a+b，a−b D．a【答案】C【详解】对选项A：a=对选项B：b=对选项C：假设c=λa+对选项D：a+2故选：C【变式2】（多选）（2023秋·山西晋中·高二统考期末）a,b,c是空间的一个基底，与A． B． C．b D．c【答案】ACD【详解】由于b−c=a+b−因为a,b,c是空间的一个基底，由于不存在实数对x、若成立则x+y=0x=1y=1，显然方程组无解，故a+b、故选：ACD题型02用空间基底表示向量【典例1】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC，BD相交于O，M为OCA．14a+C．−14a【答案】C【详解】

如图所示，CM=故选：C【典例2】（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若AE=xAB+yA．32 B．1 C．52【答案】A【详解】因为AE=所以2AE=AB+AD所以x+y+z=1故选：A.【典例3】（2023·陕西·统考一模）空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足AM=23AB，DN=34DC，若点G在线段MN上，且满足【答案】11【详解】因为AG=2所以x+y+z=1故答案：1112【变式1】（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）在四面体O−ABC中，PA=2OP，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若OA=a，A．16a+C．13a+【答案】A【详解】因为2OP=PA

因为Q是BC的中点，所以OQ=因为M为PQ的中点，所以OM=故选：A.【变式2】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P是CA1的中点，点Q

A．QP=310C．QP=310【答案】C【详解】因为P是CA所以AP=又因为点Q在CA1上，且所以AQ=1所以QP=故选：C.【变式3】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知四面体O−ABC，G1是ΔABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GA．14,1C．13,1【答案】A【详解】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，AE=12由题设，OG=3OG所以x=y=z=1故选：A【变式4】（2023·全国·高三对口高考）已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，侧面C【答案】12/0.512【详解】由于AP=所以m=12，故答案为：12；1

题型03应用空间向量基本定理证明线线位置关系【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．【答案】证明见解析【详解】在空间四边形OABC中，令，则|a|=|令∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ则OG=12于是得OG=1因此，OG⊥所以OG⊥BC.【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证:这个四面体相对的棱两两垂直.已知：如图，四面体ABCD，E，F，G，H，K，M分别为棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点，且EG=FH=【答案】证明见解析【详解】证明：设AB则EGFH=KM=∵EG∴−∴a∴又b∴AC⊥DB∴这个四面体相对的棱两两垂直.【典例3】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=a，CB=b，C(1)用a，b，c表示向量A1(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥【答案】(1)−(2)当C1M=【详解】（1）解：因为N是AB中点，所以AN=所以A；（2）解：假设存在点M，使AM⊥A1N，设显然λC1B因为AM⊥A1即(c∴∵CA=CB=CC1=1，∴即12解得λ=23，所以当C1【变式1】（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D【答案】证明见解析【详解】设AB=a，，，则{a,b,c}为空间的一个基底且因为AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以a2=b在平面BDD1B1上，取BD、BB1为基向量，则对于面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得所以，A1所以A1C是平面BDD1B所以A1C⊥平面BDD1B1.【变式2】（2022秋·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD−A1B1C1D1(1)用向量AA1，(2)求证：D，M，B(3)当AA1AB【答案】(1)MN(2)证明见解析(3)1【详解】（1）MN=（2）证明：∵DM=AM∴DM=N（3）当AA1AB证明：设AA∵底面ABCD为菱形，则当AA1AB∵AC1∠A∴A∴A题型04应用空间向量基本定理求距离、夹角【典例1】（2023·江苏·高三专题练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1【答案】6【详解】设AB=a，AD=由已知可得a⋅因为=−AB+AC=所以，BDAC2BD所以BD1=所以，cosB故直线BD1与AC的夹角的余弦值为【典例2】（2023秋·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.(1)求BC⋅(2)已知F是线段CD中点，点E满足EB=2AE，求线段【答案】(1)92(2)112【详解】（1）在四面体ABCD中，设AB=a，AC=b，AD=⟨a,b⟩=∠BAC=60°，BC=|b（2）由（1）知，因为EB=2AE，则AE=13AB=于是得EF=因此|=329所以线段EF的长为112【典例3】（2023秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期末）如图，平行六面体ABCD−A1B1C(1)求对角线CA(2)求异面直线CA1与【答案】(1)3；(2)56【详解】（1）因为CB=BD=1，CB⊥所以三角形BCD为等腰直角三角形，所以CD=2又因为CC1=CB=1所以三角形CC以向量CB,则有CA两边平方得C==1+1+2+2×1×=9，所以|C即|CA所以对角线CA（2）因为CA1=CB+CD+所以C=(==1+=5所以cos<即异面直线CA1与DA所成角的余弦值为【典例4】（2023·高一单元测试）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别是A1B,B(1)试用a，b，c表示向量MN；(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CA【答案】(1)(2)5【详解】（1）解：MN==−=1∴；（2）解：，∵∠BAC=90°,，∴|MN，即MN的长为53【变式1】（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，(1)求DB(2)求向量与AB夹角的余弦值.【答案】(1)15；(2)155【详解】（1）在平行六面体ABCD−A1B因为AB=2，，AD=1且∠DAB=∠则AB⋅DB所以|=2（2）由（1）知，DB1=又DB1=15，所以向量与AB【变式2】（2023·全国·校联考一模）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设AB=a，AC=(1)求证EG⊥AB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．【答案】(1)证明过程见解析；(2)【详解】（1）证明：连接DE，因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，所以AC=BC,BD=AD，故CE⊥又因为CE∩DE=E，CE,DE⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE，因为平面CDE，所以AB⊥（2）由题意得：△ABC,所以AG=EC=AG=12所以AG==1设异面直线AG和CE所成角为θ，则cos【变式3】（2023秋·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且∠MAB=∠MAD=60°，N是CM的中点，设，b=AD，c=AM，用a、b、c表示向量BN，并求【答案】BN=−1【详解】解：因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形，所以BN=AD又由题意，可得a=AB=2，b=AD∠DAB=90°因此BN=1所以BN=172，即BN第03讲1.2空间向量基本定理A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·高二课时练习）已知BA,BC,BB1为三条不共面的线段，若AC1=xA．1 B．76 C．56 【答案】B【详解】根据向量加法法则可得：AC即AC因为AC所以x=1，2y=1，3z=−1，所以x=1，y=12，z=−1故选：B.2．（2023·高二校考课时练习）对于空间任意一点 O 和不共线的三点，有如下关系：OP=16OAA．O,A,B,C四点必共面 B．P,A,B,C四点必共面C．O,P,B,C四点必共面 D．O,P,A,B,C五点必共面【答案】B【详解】对于空间任一点 O 和不共线三点，若点 P 满足OP=xOA+yOB+zOC而OP=16OA+故选：B.3．（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知a,b,c是空间的一个基底，则可以与向量m=A．2a+2b−c B．a+4【答案】C【详解】因为2aa+4a−2所以向量2a+2b−c，a+4b故选：C4．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知四面体O−ABC，G是△ABC的重心，P是线段OG上的点，且OP=2PG，若，则x,y,z为（

）A．16,16,16 B．【答案】B【详解】由题意知，∵OP=2∴OP=故选：B．5．（2023·高二校考课时练习）已知直线AB，BC，不共面，若四边形BB1C1C的对角线互相平分，且ACA．1 B．56 C． D．11【答案】D【详解】由题意，知AB，BC，BB1不共面，四边形BB∴ABCC1，又A∴x=2y=3z=1，∴x=1，y=12，∴x+y+z=故选：D.6．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1A．1 B．2 C． D．2【答案】C【详解】以AB,AD,则B=1+2+2−2×=5−4×1∴BD故选：C.7．（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考期中）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，侧面A1ADD1是正方形，且∠A1AB=120°A．9 B．7 C．3 D．7【答案】D【详解】解：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，四边形所以P是C1所以，AP=又AB⋅AD=2，AB所以AP=14AB故选：D．8．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P−ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若PD=mPA，PE=nPB，PF=tA．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】连接AG并延长，交BC于点H，以PA,由于G是△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，所以PM==1连接DM，因为D,E,F,M四点共面，所以存在实数x,y，使得DM=x即PM−PM=1−x−y由①②以及空间向量的基本定理可知：1−x−ym=41−x−y所以1m故选：C二、多选题9．（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）给出下列命题，其中正确的有（

）A．已知向量a∥b，则B．是空间四点，若BA,BM,BNC．若OP+OA+D．已知a,b,c是空间向量的一组基底，若【答案】ABD【详解】对A：若a∥b，则a,对B：若BA,BM,BN不能构成空间的一组基底，则对C：若OP+OA+∵−1+−1故点P,A,B,C四点不共面，C错误；对D：∵a,b,若，则a,b,m故选：ABD.10．（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A．BM=12C．AC1的长为5 【答案】BD【详解】根据题意，依次分析选项：对于A选项，BM=对于B选项，AC对于C选项，AC1=则AC1对于AB⋅AC故选：BD.三、填空题11．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，则B1O=【答案】−【详解】在平行六面体ABCD−A1B1C1D即BO=所以B1故答案为：−12．（2023秋·河北唐山·高二统考期末）正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，AP=λAM，AB+【答案】【详解】因为AB+BP=即λAM=1下面证明：已知OB=xOA+yOC，若因为三点共线，所以存在非零实数t，使得AB=tAC即OB−OA=t故x=1−t，y=t，所以x+y=1，因为M,C,D三点共线，故16λ+1故答案为：四、解答题13．（2023春·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线.【答案】证明见解析.【详解】证明：取CD的中点E，连接AE，BE，因为M，N分别为四面体ABCD的面DCD与面ACD的重心，所以M在BE上，N在AE上，设AB=a，AC=因为M为△BCD的重心，所以AM===因为GM=GA=1:3，所以AG=所以BG=同理得BN=∴BN∥又BN∩BG=B，∴B，G，N三点共线14．（2023春·四川绵阳·高二校考期中）如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且AG=2GE．(1)试用表示向量OG；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)28【详解】（1）∵，∴，∴又∴（2）由（1）可得知=．B能力提升1．（2023·江苏·高二专题练习）在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足AM=xAB+yAC+1−x−yAD(x,y∈R)，点N满足，当AMA． B．−13 C． D．−【答案】A【详解】因AM=xAB+yAC+而x,y∈R，则DM,DB,DC共面，点又，即CN=λCA，于是得点N在直线AC棱长为1的正四面体ABCD中，当AM长最短时，点M是点A在平面BCD上的射影，即正△BCD因此，AM=13AB+13AC+13AD，当AN=12AC，而所以AM⋅故选：A2．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AB=AP=6，AD=2，∠BAD=∠BAP=∠DAP=60°，E，F分别为PB，PC上的点，且PE=2EB，PF=FC，A．1 B．2 C．2 D．6【答案】B【详解】在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，连接AC，如图，PE=2EB，则EF=1又AB=AP=6，AD=2，∠BAD=则AB⋅AD=因此，|=1故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E【答案】【详解】设AM=λACGM=GE=AE−因为E、F、G、M四点共线，则向量GM、GE、共面，由共面向量定理可知，存在m、n∈R使得GM即λ=1所以，12m=λ1故答案为：.C综合素养1．（2023春·浙江温州·高二校联考期中）点A在线段BC上（不含端点），O为直线BC外一点，且满足OA−aOB−2bOC=A．97 B．95 C．87【答案】D【详解】因为OA−aOB−2b又点A在线段BC上（不含端点），所以a+2b=1，且a>0,b>0，则2+a+2+2b=5，所以2==1当且仅当