第六章《计数原理》章末复习提升与检测（原卷版）

第六章《计数原理》章末复习提升与检测知识体系能力整合一、两个计数原理1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性．2．掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养．【例1】（1）设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为()A．(34，34) B．(43，34)C．(34，43) D．(Aeq\o\al(3,4)，Aeq\o\al(3,4))(2)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位“回文数”有9个：11,22,33，…，99；3位“回文数”有90个：101,111,121，…，191,202，…，999；则①4位“回文数”有________个；②2n＋1(n∈N*)位“回文数”有________个．【通性通法】应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么．(2)思考如何完成这件事．(3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类．(4)选择计数原理进行计算．【跟踪训练】1.用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法()A．120种 B．720种C．840种 D．960种2.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有种．二、排列与组合的综合应用1．排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要遵守先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则．2．明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养．【例2】（1）（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．（2）（2023•甲卷（理））有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为A．120 B．60 C．40 D．30【通性通法】解决排列、组合综合问题要注意以下几点(1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题．(2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，再考虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时要步步相接．(3)对于含有“至多”“至少”的问题，常采用间接法，此时要考虑全面，排除干净．【跟踪训练】1.（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有A．种 B．种 C．种 D．种2.（2023•乙卷（理））甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有A．30种 B．60种 C．120种 D．240种三、二项式定理及其应用1．二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解．2．二项式定理所体现的是一种数学运算素养．角度1二项展开式的“赋值问题”【例3】（2022•北京）若，则A．40 B．41 C． D．【通性通法】在二项展开式中应用“赋值法”的一般步骤(1)观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征．(2)赋值：结合待求和上述特征，对变量x赋值，常见的赋值有x＝－1，x＝0，x＝1等等，具体视情况而定．(3)解方程：赋值后结合待求建立方程(组)，求解便可．【跟踪训练】（2022•浙江）已知多项式，则．角度2二项展开式的特定项问题【例4】（1）（2022•新高考Ⅰ）的展开式中的系数为（用数字作答）．（2）（2023•天津）在的展开式中，项的系数为．【通性通法】二项式特定项的求解策略(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素．(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项，即可确定常数项．(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项，再由条件确定项数，然后代入通项求出此项的系数．(4)确定二项展开式中的系数最大或最小项：求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是【跟踪训练】1.（2023•北京）的展开式中，的系数是A． B．40 C． D．802.（2022•天津）的展开式中的常数项为．章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2024·晋城第一中学校高二月考）（

）A．74 B．98 C．124 D．1482．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，要求这2名学生来自不同年级，则不同的选择方法共有（

）A．4种 B．6种 C．8种 D．12种3．设直线的方程是，从1，2，3，4这四个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同的直线的条数是（

）A．6 B．8 C．10 D．124．的展开式中，的系数为（

）A． B．10 C． D．405．近期浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名，每位同学只能选一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报南京大学，则不同的报名方法共有（

）A．16种 B．20种 C．24种 D．28种6．2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（

）A．18种 B．24种 C．30种 D．36种7．中国传统木构建筑的窗棂是框架结构设计，它是传统建筑中最重要的构成要素之一，也是建筑的审美中心.如图中矩形是某窗棂的一部分，图中与矩形边平行的横线与竖线构成矩形（

）个

A．24 B．27 C．36 D．608．若的展开式中不含项，则实数m的值为（

）A． B． C．0 D．1二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（

）A．从中任选1个球，有15种不同的选法B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法10．已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（

）A．B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32C．展开式中的常数项为540D．展开式中二项式系数最大的项是第四项11．某班准备举行一场小型班会，班会有3个歌唱节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是（

）A．若3个歌唱节目排在一起，则有6种不同的排法B．若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有12种不同的排法C．若2个语言类节目不排在一起，则有72种不同的排法D．若前2个节目中必须要有语言类节目，则有84种不同的排法三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)12．若，则.13．早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．已知的展开式中的系数为，则实数；展开式中各项系数之和为．（用数字作答）14．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，得出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情况共有种．四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本小题满分13分）8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人．(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？(2)若记录员坐于正、副组长之间（三者相邻），有多少种坐法？16．（本小题满分15分）某医院有内科医生5名，外科医生4名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，（1）一共有多少种选法？（2）其中某内科医生甲必须参加，某外科医生乙因故不能参加，有几种选法？（3）内科医生和外科医生都要有人参加，有几种选法？17．（本小题满分15分）已知集合.(1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？(2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？18．（本小题满分17分）在二项式的展开式中，.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数和等于46；②所有奇数项的二项式系数和为256；③若展开式中第7项为常数项.试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完