第04讲两个三角形相似的判定（2类题型）

第04讲两个三角形相似的判定（2类题型）课程标准学习目标1.相似三角形的判定定理1,2,3；1.掌握相似三角形的判定定理1,2,3,；2.掌握直角三角形的特殊判定；知识点01、相似三角形的判定预备定理平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定1有两个角对应相等的两个三角形相似．判定2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．判定3三边对应成比例的两个三角形相似直角三角形的特殊判定若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．【即学即练1】1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列两个三角形不一定相似的是（）A．两个等边三角形 B．两个顶角是的等腰三角形C．两个全等三角形 D．两个直角三角形【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理依次判断．【详解】解：A、两个等边三角形，所有的角都是，相等，可以判定两三角形相似，故本选项错误；B、两个顶角是的等腰三角形，两个底角一定都是，可以判定两三角形相似，故本选项错误；C、全等是相似的特殊情况，两个全等三角形一定相似，故本选项错误；D、两个直角三角形，只有一个直角对应相等，无法判定相似，故本选项正确．故选：D．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．【即学即练2】2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．【详解】解：，，A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意；D、添加，不能判定，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．【即学即练3】3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列说法中错误的是（）A．同角或等角的补角相等 B．圆周角等于圆心角的一半C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两边成比例及其夹角相等的两个三角形相似【答案】B【分析】根据补角的定义，圆周角定理，平行四边形的判定，相似三角形的判定定理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.同角或等角的补角相等，故该选项正确，不符合题意；

B.在同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故该选项不正确，符合题意；C.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项正确，不符合题意；

D.两边成比例及其夹角相等的两个三角形相似，故该选项正确，不符合题意；

故选：B．【点睛】本题考查了补角的定义，圆周角定理，平行四边形的判定，相似三角形的判定定理，掌握以上知识是解题的关键．【即学即练4】4．（2023秋·浙江杭州·九年级翠苑中学校联考阶段练习）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，要使△ABC∽△ADE，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C． D．【答案】D【分析】利用相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：A、由∠A＝∠A，∠B＝∠ADE，可以推出，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；B、由∠A＝∠A，∠C＝∠AED，可以推出，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；C、由∠A＝∠A，可以推出，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；D、由，推不出，△ABC∽△ADE，故本选不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．题型01证明两个三角形相似1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列条件中的两个等腰三角形不一定相似的是（

）A．都含有角 B．都含有的角C．都含有的角 D．都含有的角【答案】B【分析】根据相似三角形的判定及等腰三角形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；B、当一个等腰三角形的底角为，而另一个等腰三角形的顶角是时，这两个等腰三角形不相似，符合题意；C、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；D、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是对相似三角形的判定定理的掌握．2．（2023·上海静安·校考一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.）；（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.）；（4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。【详解】A选项符合判定方法（4），符合题意．B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意．C选项相等的角不是对应角，不符合题意．D选项相等的角不是对应角，不符合题意．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定方法，解题的关键是牢记判定方法．3．（2023秋·九年级课前预习）若△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别2，，，则与（）A．一定相似 B．一定不相似C．不一定相似 D．无法判定是否相似【答案】A【分析】求出三组对应边的比，观察是否相等即可作出判断．【详解】．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定条件，熟练掌握对应边长度成比例的三角形相似是本题的解题关键．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，D是的边上一点，若，要使，只需添加条件________（只添一个即可）．【答案】【分析】因为，则，所以只要再找到另一组对应角相等即可．【详解】解：只需添加条件使，证明如下：因为，则，当，则（两组对应角相等的三角形相似），故答案为：．【点睛】本题主要考查的是三角形相似的判定内容，正确掌握证明三角形相似的方法是解题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知如图，D，E分别是的边上的点，．求证：．【答案】见解析【分析】根据“两条边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似”即可求证．【详解】证明：∵，又∵，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟记相关判定定理是解题的关键．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由．【答案】相似，理由见解析【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．【详解】相似，理由如下：∵在中，，，，在中，，，，∵，，，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知其判定定理是解题的关键．7．（2023秋·九年级单元测试）如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，且，求证：．【答案】证明过程见详解【分析】根据平行四边形的性质可知，，且，根据三角形的外角性质可知，由此即可求证．【详解】证明：在平行四边形中，∴，∴，，∵，∴，∵，即，∴，∴．【点睛】本题主要考查相似三角形的判断，平行四边形的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质，三角形的外角的性质是解题的关键．题型02选择或补充条件使两个三角形相似1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是(

)

A．平分 B． C． D．【答案】B【分析】根据相似三角形的判定方法逐项进行判断即可．【详解】解：A．∵平分，∴，∵，∴，故选项不符合题意；B．∵，∴，不一定能判定和相似，故选项符合题意；C．∵，，∴，故选项不符合题意；D．∵，，∴，故选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）如图，在和中，，要使与相似，还需要添加一个条件，这个条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题中已知，则对应的夹角相等即可使与相似，结合各选项即可得问题答案．【详解】解：∵，∴添加．则故选B．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在中，为上的一点，补充条件，能使，这个条件可以是．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】和有公共角，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答即可．【详解】解：，当时，，故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．充分利用和的公共角是关键．4．（2023春·八年级课时练习）如图，在中，点D在上，连接．请添加一个条件，使得，然后再加以证明．【答案】（答案不唯一），证明见解析【分析】利用相似三角形的判定可求解．【详解】解：添加，又∵，∴，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．5．（2023春·陕西榆林·九年级校考期中）如图，在中，点D是线段上一点．请利用尺规作图法在边上求作点E，使得．

【答案】见解析【分析】根据作一个角等于已知角的作图方法，在的内部，作，交于点E，则E即为所求．【详解】解：如图所示，点E即为所求．

【点睛】本题考查作图—相似变换，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．6．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③．请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号）【答案】见详解【分析】分别将条件进行组合，判断是否为真命题，再根据三角形相似的判定方法证明即可．【详解】（1）条件：①②，结论③；（2）条件：①③，结论②；（3）条件：②③，结论①；以上三个命题均是真命题．选择（1）进行证明，证明：，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握相似的判定方法是解题的关键．A夯实基础1．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断．【详解】解：，当时，，故A不合题意；当时，，故C不合题意；当时，，故D不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．2．（2022秋·九年级单元测试）已知的三边长分别是，，，的三边长如以下四个选项所列，若要使，则的三边长分别是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【分析】根据三边对应成比例的三角形相似逐项进行判断即可．【详解】解：A．∵，∴的三边长不可能是，，，故A错误；B．∵，∴的三边长可能是，，，故B正确；C．∵，∴的三边长不可能是，，，故C错误；D．∵∴的三边长不可能是，，，故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握三边对应成比例的三角形相似．3．（2023秋·九年级课时练习）如图，D是的边上一点，若，要使，只需添加条件________（只添一个即可）．【答案】【分析】因为，则，所以只要再找到另一组对应角相等即可．【详解】解：只需添加条件使，证明如下：因为，则，当，则（两组对应角相等的三角形相似），故答案为：．【点睛】本题主要考查的是三角形相似的判定内容，正确掌握证明三角形相似的方法是解题的关键．4．（2023·福建福州·校考一模）如图，在中，，点D在边上，点E在边上且．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是（写出一个即可）．【答案】【分析】由相似三角形的判定定理可求解．【详解】解：添加，又∵，∴，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．5．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，、分别是的边、上的点，，，，，求证：．【答案】见解析【分析】首先求出，的长，再求出出，又因为，根据相似三角形的判定可证得．【详解】证明：，，，，，，，，，又，．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．6．（2022秋·福建泉州·九年级校联考期中）如图，在中，点，，分别在，，边上，，．求证：【答案】详见解析【分析】由平行线性质可得到，，则．【详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．B能力提升1．（2022秋·四川雅安·九年级统考期末）如图所示，点是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理有两角分别相等的两个三角形相似，有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似逐个进行判断即可．【详解】解：∵，，∴，故A不符合要求；和，不能判断∽，故B符合要求；∵，，∴，故C不符合要求；；∵，，∴，故D不符合要求；故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用．能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．2．（2022春·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）如图，点P在的边上，如果添加一个条件后可以得到，那么以下添加的条件中，不正确的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【详解】解：∵，A、当添加时，根据两角对应相等的三角形相似可得到，故此选项不符合题意；B、当添加时，根据两角对应相等的三角形相似可得到，故此选项不符合题意；C、当添加，即时，两边对应成比例且它们的夹角相等的三角形相似可得到，故此选项不符合题意；D、当添加时，无法得到，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．3、（2023秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知：在中，P是上一点，连接，当满足条件：或或时，．

【答案】【分析】连接，由图可得，两三角形已有一组角（公共角）对应相等，再加一组角对应相等或两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有此填空即可．【详解】证明：连接，

，∴当或或时，，故答案为：；；．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．4．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）和中，，，，当时，．【答案】/80度【分析】根据相似三角形的判定和三角形内角和定理计算即可证明．【详解】解：当时，，则，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三角形内角和，解题的关键是掌握有两组对应角相等的三角形相似是解题的关键．5．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，已知等腰中，，请用尺规作图法，在上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）．

【答案】见解析【分析】作的垂直平分线，交于点，连接，由此即可得．【详解】解：如图，点即为所求．

理由：由线段垂直平分线的性质得：，，，，，在和中，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．6．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习）如图，在和中，，，求证：

【答案】见详解【分析】由题意易得，然后问题可求证．【详解】证明：∵，∴，即，∵，∴．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关C综合素养1．（2023秋·河北邢台·九年级邢台市第七中学校联考阶段练习）在和中，已知，，如果从下列条件中增添一个条件，与仍不一定相似，那么这个条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理进行分析判断即可．【详解】解：A.由，可以根据两边成比例且夹角相等，证明，该选项不符合题意；B.由，可推导出，根据两角对应相等，证明，该选项不符合题意；C.由，不能判定两个三角形相似，符合题意；D.由，可推导，根据三边对应成比例，证明，该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．2．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习）已知，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【详解】解：如图，

A、当时，又，，故此选项不符合题意；B、当时，又，，故此选项不符合题意；C、当时，又，，故此选项不符合题意；D、无法得到，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．3．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期中）如图，点是的边的延长线上的点，连接，交于点，那么该图形中与相似的三角形共有个．

【答案】【分析】根据平行四边形的对边平行，利用“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”找出相似三角形，然后即可求解．【详解】∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，故答案为：．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟知“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的